高中數(shù)橢圓焦半徑公式及應(yīng)用3

1、智愛高中數(shù)學(xué) 橢圓焦半徑公式及應(yīng)用 在橢圓曲線中, 焦半徑是一個(gè)特殊重要的幾何量, 的熱點(diǎn),故值得我們深化爭論； 思路 1： 由橢圓的定義有： r1 r2 2a 1與其有關(guān)的問題是各類考試 故只要設(shè)法用 x0 , a, c 等表示出 r1 r2 （或 r1 r2 ）,問題就可迎刃而解； 由題意知 r1 2x0 c 2y0 2, r2 2x0 c 2y0 2兩式相減得 r1 r2 r1 r2 4cx0r1 r2 4cx0 4cx0 2ex0 2r1 r2 2a 聯(lián)立 , 解得： r1 a ex0 , r2 a ex0 點(diǎn)評(píng)： 在 r1 a ex0 與 r2 a ex0 中, ex0 前的符號(hào)不表

2、示正,負(fù),真正的 正,負(fù)由 x0 確定； 思路 2： 設(shè)焦點(diǎn) F1 ae, 0 , F2 ae, 0 x0 ae 22 y0 2a 31就 r1 r2 2a ,即 x0 2 ae 2 y0 4 aex0 2ex0 2另有 x0 ae 22 y0 x0 ae 22 y0 得： x0 2 ae 2 y0 x0 ae 22 y0 ,聯(lián)立解得： x0 ae 22 y0 r1 a ex0 x0 ae 22 y0 r2 a ex0 點(diǎn)評(píng)： 把 , 兩式左邊的兩個(gè)根式看成兩個(gè)未知數(shù),構(gòu)建方程組得解； 思路 3：推敲 r1 x0 c 22 y0 a ex0 的溝通渠道, 應(yīng)從排除差異做起, 根 式中 y 理應(yīng)

3、代換； 0第 1 頁,共 19 頁由點(diǎn) M 在橢圓上,易2 y b 2 12 x0 aa2知 就 r x 0 22cx c2 b2 b22 x 01b22 x 0c 2a ax 0a2a2a2ex0 22aex0 a2由 0 e1, ax0 a ,知 ex0 a0故 r1 aex0 同理 r2 aex0 點(diǎn)評(píng)： 上述思路表達(dá)了先消元 2 y0 轉(zhuǎn)換成關(guān)于 x0 的二次三項(xiàng)式,再化成完全 a x0 a ,簡潔推出 r1max a c （ x0 平方式的思想；由 a, e 是常數(shù)與 時(shí)取得）, r1min ac （ x0 a 時(shí)取得）； 思路 4： 橢圓的其次定義為求焦半徑 r1 鋪設(shè)了溝通的橋梁

4、； 如圖,作橢圓的左準(zhǔn)線 l,作 MH l于 H 點(diǎn) x0 a2 e aex0 就 MF1 e即 r1 MF 1 MH e MH c 同理可求得： r2 a ex0 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用橢圓的其次定義求焦半徑的優(yōu)越性是將兩點(diǎn) M, F1 的距離等價(jià)轉(zhuǎn)化 成平行于 x 軸的直線上點(diǎn) M, H 的距離輕松得解,是上述四條思路中的正確途徑； 2 2請(qǐng)你獨(dú)立探求焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 y x 1 a b 0 上任一點(diǎn) M x , y 0的兩條焦半徑（ a ey0）； a 2 b 2 第 2 頁,共 19 頁一,橢圓焦半徑公式 P 是橢圓 x 2 2 y 2 2 1 a b 0 上一點(diǎn), E, F 是左,右焦點(diǎn),

5、 e 是橢圓的離 a b心率,就（ 1） | PE | a exP ,（ 2） | PF | a exP ； 2 2P 是橢圓 y x 1 a b 0 上一點(diǎn), E, F 是上,下焦點(diǎn), e 是橢圓的離 a 2 b 2 心率,就（ 3） PE a eyP , 4| PF | a eyP ； 以上結(jié)論由橢圓的其次定義及第確定義和橢圓的方程易得； （一）用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式 例 1 已知點(diǎn) P（x , y）是橢圓 x2 2 y2 2 1 上任意一點(diǎn), F1（ -c,0 ）和 F2c,0 是 a b橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) . 求證： |PF 1|=a+ c x ； |PF 2|=a - c x .

6、 a a【分析】 可用距離公式先將 |PF 1| 和 |PF 2| 分別表示出來 . 然后利用橢圓的方程 “消 y”即可 . 【解答】 由兩點(diǎn)間距離公式,可知 |PF 1|= x c 2 y 2 1 2 2 2從橢圓方程 a x 2b y 2 1 解出 y2 ba 2 a 2 x2 2 代（ 2）于（ 1）并化簡,得 |PF 1|= a c x -a x a a同理有 |PF 2|= a c x -a x a a【說明】 通過例 1,得出了橢圓的焦半徑公式 r 1=a+ex r 2=a-ex e= c a從公式看到,橢圓的焦半徑的長度是點(diǎn) P（x,y ）橫坐標(biāo)的一次函數(shù) . r 1 是 x 的

7、 增函數(shù), r 2 是 x 的減函數(shù),它們都有最大值 a+c, 最小值 a-c. 從焦半徑公式,仍可 得橢圓的對(duì)稱性質(zhì)（關(guān)于 x,y 軸,關(guān)于原點(diǎn)） . （二）,用橢圓的定義求橢圓的焦點(diǎn)半徑 用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式,雖然過程簡便,但簡潔使人誤會(huì),以為焦半徑公 式的成立是以橢圓方程為其依靠的 圓定義直接導(dǎo)出公式來 . . 為了看清焦半徑公式的基礎(chǔ)性,我們考慮從橢 橢圓的焦半徑公式,是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物 , 按橢圓定義,對(duì)焦半徑直接 第 3 頁,共 19 頁用距離公式即可 . 例 2 P x,y 是平面上的一點(diǎn), P 到兩定點(diǎn) F1（-c , 0）,F2（ c, 0）的距離的和 為 2a（

8、ac0） . 試用 x, y 的解析式來表示 r 1=|PF 1| 和 r 2=|PF 2|. 【分析】 問題是求 r 1=f （ x）和 r 2=g（ x） . 先可視 x 為參數(shù)列出關(guān)于 r 1 和 r 2 的方程組,然后從中得出 r 1 和 r 2. 【解答】 依題意,有方程組 r1 r2 2a r 1 2 x c 2y 2 r 2 2x c 2y 2 - 得 r1 2r 2 4cx 2c 代于并整理得 r 1-r 2= x a聯(lián)立,得 r1 a c a x c r2 aa x 【說明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導(dǎo)出, 對(duì)橢圓的方程有自 己的獨(dú)立性 . 由于公式中含 c 而無

9、b,其基礎(chǔ)性明顯 . 二, 焦半徑公式與準(zhǔn)線的關(guān)系 用橢圓的其次定義,也很簡潔推出橢圓的焦半徑公式 . 如圖右,點(diǎn) P（ x, y）是以 F1（ -c,0 ）為焦點(diǎn), 2以 l 1 ： x=- a 為準(zhǔn)線的橢圓上任意一點(diǎn) .PD l 1 于 D.按 c 橢圓的其次定義, 就有 | PF | e | PF | e| PD | e x a 2 a ex | PD | c 即 r 1=a+ex, 同理有 r 2=a-ex. 橢圓的這個(gè)其次定義有很大的 “人為性” . 準(zhǔn)線 x a 2缺乏定義的 “客 c 觀性” . 因此,把橢圓的其次定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合規(guī)律性 . 例 3 P（ x, y

10、）是以 F1（ -c , 0）,F2（ c, 0）為焦點(diǎn),以距離之和為 2a 的橢 2圓上任意一點(diǎn) . 直線 l 為 x=- a,PD1 l交 l于 D1. 求證： | PF | e . c | PD1 | 【解答】 由橢圓的焦半徑公式 |PF 1|=a+ex. 第 4 頁,共 19 頁2 2對(duì) |PD1| 用距離公式 |PD 1|=x- a =x+ a . c c 2 a故有 | PF1 | a ex ex c e . | PD1 | a 2 a2 x x c c 【說明】 此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn),到定點(diǎn) F1（-c,0 ）（ F2（ c,0 ） 與定直線 l 1:x=- a2 l 2

11、：x= a 2 的距離之比為定值 e（ 0e1） . c c 三,用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程 在橢圓部分,只完成了“從曲線到方程”的單向推導(dǎo),實(shí)際上這只完成了任務(wù) 的一半 . 而另一半,從“方程到曲線” ,卻留給了同學(xué)（關(guān)于這一點(diǎn),被許多同學(xué)所 忽視了可逆推導(dǎo)過程并不簡潔 , 特殊是逆過程中的兩次求平方根） . 其實(shí),有了焦半徑公式, “證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明 . 2 2例 4 設(shè)點(diǎn) P（ x ,y）適合方程 x y 1 . 求證： 點(diǎn) P（ x,y ）到兩定點(diǎn) F1（ -c,0 ） a 2 2 2 b2 2和 F2（ c, 0）的距離之和為 2a（c =a -b ） .

12、【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程 . 利用例 2 導(dǎo)出的 焦點(diǎn)半徑公式,很快可推出結(jié)果 . 【解答】 P （ x, y）到 F1（ -c,0 ）的距離設(shè)作 r 1=|PF1|. 由橢圓的焦點(diǎn)半徑公式可知 rr1=a+ex 即 |PF 同理仍有 2=a-ex + 得 r1+r 2=2a 1|+|PF 2|=2a. 即 P（ x, y）到兩定點(diǎn) F1（ -c , 0）和 F2（ c,0 ）的距離之和為 2a. 【說明】 橢圓方程是二元二次方程,而橢圓的焦半徑公式是一元一次函數(shù) . . 因此,環(huán)圍著橢圓焦半徑的問題,運(yùn)用焦半徑公式比運(yùn)用橢圓方程要顯得簡便 四,橢圓焦半徑公式的

13、變式 2 P 是橢圓 x 2 a 的角為 , PF2 y 2 1a bbx 軸所成的角為 0 上一點(diǎn), E,F 是左,右焦點(diǎn), PEx 軸所成 與 , c 是橢圓半焦距, 與 第 5 頁,共 19 頁2 2就（ 1） | PE | b； （ 2） | PF | b； a c cos a c cos 2 2P 是橢圓 y 2 x 2 1a b 0 上一點(diǎn), E,F 是上,下焦點(diǎn), PE 與 x 軸所a b 成 的角為 , PF x 軸所成的角為 , c 是橢圓半焦距, 與 2 2就（ 3） | PE | b；（ 4） | PF | b； a csin a c sin 證明：（ 1）設(shè) P 在 x

14、 軸上的射影為 Q,當(dāng) 不大于 90時(shí),在三角形 PEQ 中,有 cos | PQ| x P c | PE | | PE | 由橢圓焦半徑公式（ 1）得 | PE | a ex P ； 2消去 x P 后,化簡即得（ 1） | PE | a ccos b； 而當(dāng) 大于 90時(shí),在三角形 PEQ中, 有 cos | PQ| c x P cos x P c , | PE | | PE | | PE | 以下與上述相同； （ 2）,（ 3）,（4）的證明與（ 1）相仿,從略； 五,變式的應(yīng)用 對(duì)于橢圓的一些問題,應(yīng)用這幾個(gè)推論便可簡潔求解； 例 5. P 是橢圓 2 x 2y 1a b 0 上一點(diǎn),

15、 E, F 是左右焦點(diǎn),過 P 作 x b 2 F,如三角形 PEF 是等腰直角三角形,就橢圓的離心率是 軸的垂線恰好通過焦點(diǎn) a 2 ； 解：由于 PFEF,所以由（ 2）式得 | PF | a b2b2； ccos90 a第 6 頁,共 19 頁再由題意得 | EF | | PF| 2c b 2 aa22 c 2ac 2 c 2ac a20e2 2e 10 ； 留意到 0 e e 1 解得 21 ； 例 6. P 是橢圓 x 2 100 y 2 64 1 上且位于 x 軸上方的一點(diǎn), E, F 是左右焦點(diǎn),直線 PF 的斜率為 4 3 ,求三角形 PEF 的面積； 解：設(shè) PF 的傾斜角,

16、就： tan 4 3, cos 1 , sin 7743； 7為 由于 a 10, b 8, c6,由變式（ 2）得 | PF | 826 1 710 所以三角形 PEF 的面積 S 1| PF |EF |sin 2143 7 2 6 7224 3例 7經(jīng)過橢圓 x 2 2 y 2 2 1a b 0 的左焦點(diǎn) F1 作傾斜角為 60的直線和橢圓 a b相交于 A,B 兩點(diǎn),如 | AF1 | 2| BF1 |,求橢圓的離心率； 解：由題意及變式（ 2）得 a ccos60 b 2 2 a cos60b 2 180 化簡得 2a c a 1c 3c 2a e c 2； 2 a 32例 8設(shè) F

17、是橢圓 x 2 y 2 1 的上焦點(diǎn), PF 與 FQ 共線,MF 與 FN 共線,且 第 7 頁,共 19 頁P(yáng)F MF 0；求四邊形 PMQN面積的最大值和最小值； a解：設(shè) PF 傾斜角,就由題意知 PF MF,所以 MF 傾斜角90,而 為 2 , b 1, c 為 1 ,由題意及（ 3）式得 | PQ| | PF | |FQ | 1 12 sin 2 sin 1802 222 sin 同理得 | MN | 222；由題意知四邊形 PMQN面2 cos 積 1S | PQ|MN | 21 2 2 2 2222 2 sin 2 cos 4 16 2 2 2 22 sin cos 8 4

18、sin cos 16 32 28 sin 2 17 cos4 所以當(dāng) cos4 1 Smax 32 2 ； 時(shí), 17 1當(dāng) cos4 1 時(shí), Smin 32 16 ； 17 1 9四,利用焦半徑公式解橢圓題 橢圓的焦半徑公式：設(shè) Px 0 ,y 0 是橢圓上的任意一點(diǎn), F1 , F 2 分別是橢圓 的左,右焦點(diǎn),對(duì)于橢圓 x 2 2a+ y 2 2 b= 1 a b 0 而言,有 | PF1 | = a ex0 , | PF2 |= a ex0 在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的一些問題,用焦半徑公式解題可以簡化運(yùn)算 過程下面介紹其應(yīng)用 第 8 頁,共 19 頁例 9,在橢圓 2 x + 2 y

19、=1 上求一點(diǎn),使它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線相互垂直； 5, 45 20 解：由橢圓方程可知 a = 3 5 ,b =2 5 ,并求得 c = 5 ,離心率 e= 3設(shè) P x0 , y0 ,依焦半徑公式, 得： | PF 1 | = 3 5 + 5x 0 , 3| PF 2| =3 5 5x 0（ 33解得： x 0 =3 或 x 0 = 3,故知 3 , 4 5 + 5 x +（ 3 5 2 5 x 0 =100； 23 3, 3, 4 , 3, 4 , 3 , 4 為所求； 評(píng)析：一般地, 涉及到橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連結(jié)線段時(shí), 均可以用焦半徑公式來解； 例 10,在橢圓 x 2 y 2 =1 上

20、求一點(diǎn) P, 使它到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為它到另一焦點(diǎn)距 4 8離的 3 倍； 解：由橢圓方程可知 a = 2 2,b =2 , c =2 ,焦點(diǎn)在 y 軸上, e= 2,設(shè) 2P x0 , y0 ,依焦半徑公式,得： | PF1 |= 2 2 + 2y 0 ,| PF2 | =2 2 2y 0 , 2 2依題意有： |PF 1 |=3| PF 2 | 或 | PF 2 |=3|PF 1 | ； 即： 2 2 + 2y 0 =32 2 2 y 或 0 2 2 2y =32 0 2 + 2y 02 2 2 2解得： y 0 =2 或 y 0 = 2； 由此可知所求點(diǎn) P 為 2 , 2 或 2 , 2

21、 或 2 , 2 或 2 , 2 評(píng)析：在涉及到橢圓上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離,假如直接用兩點(diǎn)間距離公式,運(yùn) 算將特殊復(fù)雜,而選用焦半徑公式使得運(yùn)算走向合理化 例 11, 設(shè) F1 ,F 2 為橢圓 x 2 9 y 2 4= 1 的兩個(gè)焦點(diǎn), P 為橢圓上的一點(diǎn)已 知 P, F1 , F2 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且 | PF1 | | PF2 | ,求 | PF2 | | PF1 | 的值 解：由橢圓方程可知 a =3 , b = 2 ,并求得 c = 5 ,離心率 e = 5, 3由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè) Px 0 , y 0 x 0 0, y 0 0 是橢圓上的一點(diǎn),就由 第 9 頁,共 1

22、9 頁題意知 | PF 1 | 應(yīng)為左焦半徑, | PF 2| 應(yīng)為右焦半徑 5 3x 0 由焦半徑公式,得 | PF 1 | = 3 5x 0 , | PF 2 | = 3 3如 P F 2 F 1 為直角,就 2 2 | PF 1 | = | PF 2 | | F 1 F 2 | 2, x = 05 , 即 3 + 5x 02= 3 5x 0 2 25 2,解得 33故 | PF1 | = 3| PF2 | 35= 7； 3 523如 F1 P F 為直角,就 | PF1 | 2| PF 2 | 2= | F1 F 2 | 2,即 3 5 2 5 + 3 x 0 3 3| PF1 | 3

23、1故 = =2 | PF2 | 312 x 0 = 2 2 5 , 5 解得 3x 0= 1 , 評(píng)析： 當(dāng)題目中顯現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離時(shí), 化,此例就利用焦半徑公式成功地求出 x 0 值 常利用焦半徑公式把問題轉(zhuǎn) 2 2例 12, 已知橢圓 C： x + y = 1 , F , F 為其兩個(gè)焦點(diǎn),問能否在橢圓 1 2 C 上找 4 3一點(diǎn) M,使點(diǎn) M 到左準(zhǔn)線的距 | MN | 是| M F 1 | 與 | M F 2 | 的等比中項(xiàng)？如存在, 離 求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；如不存在,說明理由 解：設(shè)存在點(diǎn) Mx 0 ,y 0 ,使 | MN | 2= | M F 1 | | M F 2 |

24、 , 由已知得 a = 2 , b = 3 , c = 1 ,左準(zhǔn)線為 x = 4, 就 | x0 4| 2 = a ex0 a ex0 = a 2 e 2 x 02= 4 1x0 , 242 12 即 5x0 32 x0 48 = 0 ,解得 x0 = 4 2, 2 ,或 x0 = 2,2 , 5因此,點(diǎn) M 不存在 評(píng)析：在涉及到橢圓上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離,發(fā)覺用焦半徑求解優(yōu)越于其它解法； 三. 求變量范疇 例 13,. 橢圓 的焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) P 為其上動(dòng)點(diǎn),當(dāng) 為鈍角 第 10 頁,共 19 頁時(shí),點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范疇是 ； 解：設(shè) ,就 為鈍角 代入解得 四. 求最值 是橢圓 的兩個(gè)

25、焦點(diǎn), P 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn), 求 例 14,. 的最大值和最小值； 解：設(shè) ,就 在橢圓上 的最大值為 4,最小值為 1 五. 求弦長 例 15. 求過橢圓 的左焦點(diǎn) ,傾斜角為 的弦 AB 的長度 ； 解：由已知可得 ,所以直線 AB 的方程為 ,代入橢圓方 程得 設(shè) ,就 ,從而 六 . 用于證明 例 16. 設(shè) Q 是橢上任意一點(diǎn), 求證： 以 為直 圓 徑的圓 C 與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切； 第 11 頁,共 19 頁證明：設(shè) ,圓 C 的半徑r為 即 也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差； 故兩圓相內(nèi)切 同理可證以 為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切； 以上只是簡潔介紹了橢圓的一種形

26、式的焦半徑公式的應(yīng)用, 期望同學(xué)們能觸類 旁通,靈敏運(yùn)用焦半徑公式解決其他有關(guān)問題,提高解題效率； 例 17,點(diǎn) P 是橢圓 16x 225 y 2 1600 上一點(diǎn), F 1, F 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn), 又點(diǎn) P 在 x 軸上方, F2 為橢圓的右焦點(diǎn), 直線 PF2 的斜率為 4 3 ,求 PF1 F2 的面積； 解析： 設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x, F1 F2 P 由條件 a 10, b 8 , c 6 ,得： PF1 10 5 3x, PF2 10 35 x 依題意得： tan 43所以 cos 1 , sin 437 7第 12 頁,共 19 頁2 2 2由 cos F1 F2 PF2

27、PF1 得： 2 F1 F2 PF2 x 5, PF1 13, PF2 7故 S PF F 1 2 1F1 F2 PF2 sin 112 7 4324 32 2 7點(diǎn)評(píng)： 也可先求直線 PF2 方程 y 43 x 6 ,與已知橢圓方程聯(lián)立,解二 元二次方程組求出點(diǎn) P 的縱坐 標(biāo) y,就 S F F P 1 2 2 1F1 F2 y y 0 ； 圓錐曲線的焦半徑巧用 圓錐曲線的焦半徑概念,是圓錐曲線中的一個(gè)重要的概念許多圓錐曲線的 求解問題,往往都牽涉到它,且運(yùn)用圓錐曲線的焦半徑分析問題可給解題帶來生 機(jī)因此,把握它是特殊重要的 橢圓焦半徑： R 左 = a + x e , R右 = a- x

28、 e , x 0 , = - x e + a , R 右 = - - x e - a 左支雙曲線焦半徑： R 左 拋物線焦半徑： R 拋 = x + P 2對(duì)于這些結(jié)論我們無須花氣力去記, 種定義,可直接推得如對(duì)雙曲線而言：當(dāng) 只要把握相應(yīng)的準(zhǔn)線方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的兩 P x0 , y0 是雙曲線 b x - a y = a b a 0, b 0 右支上的一點(diǎn), F1, F 2 是其左右焦點(diǎn) 就有 左準(zhǔn)線方程為 x a2 | PF | e x 1 0a2ex 0a; c 由雙曲線的其次定義得,左焦半徑為 c 由 |PF 1|- |PF 2| =2 a,得 |PF 2| = |PF 2| - 2a

29、= ex 0 - a |PF 2| 亦可由第 二定義求得 例 1 已知 F1,F2 是橢圓 E 的左,右焦點(diǎn),拋物線 C 以 F1 為頂點(diǎn), F2 為焦點(diǎn),設(shè) P 為橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),假如橢圓 E 的離心率 e 中意 |PF 1| = e| PF 2| ,就 e 的值為 3D 2 2 A 2 B 2 3C 23第 13 頁,共 19 頁解法 1 設(shè) F1 - c, 0 ,F2c , 0 ,P x0 , y0 , l ： x = - 3 c, 于是,拋物線的方程為 2 y = 2 4 c x + c , 拋物線的準(zhǔn)線 橢圓的準(zhǔn)線 m： x a2, d1 = | PF2 | , c 設(shè)點(diǎn) P

30、 到兩條準(zhǔn)線的距離分別為 d1 , d2于是,由拋物線定義,得 又由橢圓的定義得 |PF 1| = ed2,而 |PF 1| = e | PF2 | , 由得 d2 = | PF 2 |, 故 d1 = d2,從而兩條準(zhǔn)線重合 e | PF 2 | , 3c, 3c a2e21e3應(yīng)選 C c 33解法 2 由橢圓定義得 |PF 1| + | PF 2| = 2 a,又 |PF 1| = | PF 2| 1+ e = 2 a, 又由拋物線定義得 | PF2 | = x0 + 3c, 即 x0 = | PF2 | - 由橢圓定義得 | PF 2| = a- ex0 , | PF2 | 1+ 由

31、得 | PF2 | = a- e | PF2 | + 3ec,即 e = a + 3ec, 由得 2 a = a + 3ec,解得 e3,應(yīng)選 C 3點(diǎn)評(píng) 結(jié)合橢圓,拋物線的定義,并充分運(yùn)用焦半徑是解答此題的基本思想 2 2 2 2 2 2 例 2 設(shè)橢圓 E： b x + a y = a b a b 0 ,的左,右焦點(diǎn)分別為 F 1, F 2,右頂 3 2 點(diǎn)為 A, 假如點(diǎn) M 為橢圓 E 上的任意一點(diǎn),|MF 1| |MF2| 的最小值為 a 且 41 求橢圓的離心率 e； 2 設(shè)雙曲線 Q：是以橢圓 E 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且在第一象限內(nèi)任 取 Q 上一點(diǎn) P,試問是否存在常數(shù)

32、0 ,使得 PAF1= PF1A 成立？試證明 你的結(jié)論 分析 對(duì)于 1 可利用焦半徑公式直接求解而 2 是一探究型的命題,解題 應(yīng)留意探究由于在解析幾何中對(duì)角的問題的求解,往往要主動(dòng)聯(lián)想到斜率而 o o PF1A 明顯是一銳角, 又易知 PAF1是0, 120 內(nèi)的角,且 90 是斜率不存在的角 于 o 是,抓住 90 這一特殊角摸索,可得解法 1,如留意斜率的爭論,考查所兩角差的 正切,可得解法 2；如轉(zhuǎn)變角的角度來觀看,將 PF1A 變?yōu)?PNF1,使 PAF1變成 PNA 的外角, 可得解法 3；如考查角平分線的性質(zhì)可得解法 4；如從圖像與所求式 第 14 頁,共 19 頁的特點(diǎn)分析得

33、知,所求的 必需是大 1 的正數(shù), 從常規(guī)看來可以猜想到它可能是 于 二倍角或三倍角的關(guān)系由此先探究一下二倍角的情形,考查角平分線定理,可得 解法 5；如是考查 PF1A 與 PAF1的圖形位置,直接解三角形 PAF1,可得到解法 6 1 解 設(shè) Mx0, y0, 由橢圓的焦半徑定義得 2|MF1| = a + ex0, |MF2| = a- ex0, |MF1| |MF2| = a + ex0 a- ex0 = a - 2 2e x0 , 3 2 |MF 1| |MF2| 的最小值為 a , 且 | x0| a, 4 a - 2e x0 2 2 a - 2e a = 2 2 3 a ,解得

34、2e 1 4 22 解法 1 由題意得 雙曲線的離心率 e = 2, 且雙曲線的實(shí)半軸長為 c , 半 2 2焦距為 2c, 故 設(shè)雙曲線 Q 的方程 x 2 y 2 1 , 為 c 3c 假設(shè)存在適合題意的常數(shù) 0 , 考慮特殊情形的 PA x 軸時(shí),點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2c, 值當(dāng) 從而點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 y = 3 c,而 |AF 1| = 3 c, PAF1是等腰直角三角形,即 PAF1= , PF1A = , 2 4從而可得 = 2 PA 不與 x 軸垂直時(shí),就要證 PAF1 = 2 PF1A 成馬上可 由于點(diǎn) P x1, y1 在第一象限內(nèi),故 PF1 , PA 的斜率均存在,從而

35、,有 k PF 1 y1 tan PF1 A , k PA y1 tan PAF1 , x1 c x1 2c 且有 y1 2 3 x1 c x1 c , 又 tan2 PF A 1 2kPF 2 1 2 x1 2 c y1 2, 1 k PF1 x1 c y1 將代入得 tan 2 PF1 A 2 x 12 c y 12 y 1 k PA , x c y 1 x1 2c 由此可得 tan2 PF1A = tan PA F 1, P 在第一象限, A2 c, 0, PAF 0, 2 2 , 2, 3 又 PF1A 為銳角,于是,由正切函數(shù)的單調(diào)性得 2 PF1A = PA F1 綜合上述得,當(dāng)=

36、 2 時(shí),雙曲線在第一象限內(nèi)全部點(diǎn)均有 PAF1 = 2 PF1A 第 15 頁,共 19 頁成立 解法 2 由題意得 雙曲線的離心率 e = 2, 且雙曲線的實(shí)半軸長為 c , 半焦距為 2c, 2 2故 設(shè)雙曲線 Q 的方程 x 2 y 2 1 , 為 c 3c 由于點(diǎn) P x1, y1 在第一象限內(nèi),故 PF1 , PA 的斜率均存在且 PF1A 為銳角 又 y1 23 x1 c x1 c , 設(shè) PF1A = ,就 tan k PF 1 y1 , x1 c 設(shè) PAF1=, 90 時(shí), 就 otan k PA y1 , x1 2c y1 y1 而 tan - 1 tan tan tan

37、 tan 1 x1 y1 2c x1 y1 c x 2cx y1 2x1 1 2c 2 c y 1 2x1 2c x1 c y1 2x1 c y1 2 x1 c y1 x1 2c x1 c 3 x1 c x1 c x1 c c 2 x1 x1 c tan - = tan PF1A =為銳角,P A F1 = 0, 2 , tan - = tan 又 30, 故 - 是銳角, 由正切函數(shù)的單調(diào)性得 = 2 o明顯,當(dāng) = 90 時(shí)亦成立 故存在 = 2 ,使得雙曲線在第一象限內(nèi)全部點(diǎn)均 2 PF1A = PA F 1 成立 有 解法 3 由上述,得 = 2,設(shè) P 是射線 PA 上的一點(diǎn) , 其

38、橫坐標(biāo)為 x0 x0 c , 在 x 軸上取一點(diǎn) N 2 x0 +c , 0,使 PF1N為等腰三角形, P F1N = P NF1故當(dāng) P AF1= 2 PF1A 時(shí),有 P AF1= 2 P NA, 從而 APN = P NA, 就 |AN| = |AP | , F1 y HP Nx 又 A2 c ,0 ,于是 |AN| = |AP | = 2x0- c 過 P 作 P H 垂直于準(zhǔn)l于 H,如圖 9-5 D線 O F2 A 就 |P H| = x0-1 c 2故 | P A| 2x 0c = 2 = e | P H | x0 c 2圖 9-5 故 點(diǎn) P 是雙曲線上的點(diǎn),且與 P 重合

39、第 16 頁,共 19 頁由 x0 c 的任意性得,當(dāng) = 2 時(shí),雙曲線在第一象限內(nèi)全部點(diǎn)均有 2 PF1A = PAF1成立 解法 4 由題意得,設(shè)點(diǎn) Px1 , y1 , 點(diǎn) P 是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),又 A2c, 0 是一焦點(diǎn), |AP| = 2 x1- c,|AF 1| = 3 c,設(shè) AD 為 F1AP 的平分 線, c 3c x1 由角平分線性質(zhì)及定比分點(diǎn)公式,得 x D 2 x1 c c 2x1 c 3x1 c , 1 3c 2x1 2c 22 x1 c 由此可得,點(diǎn) D 在雙曲線的右準(zhǔn)線上,從而可得準(zhǔn)線 AF1 的中垂線, 是 故 AF1D 為等腰三角形,且 PF1A =

40、 DAF1, 又由得 PAF1= 2 PAD =2 DAF1, PA F1 = 2 PF1A,故 解法 5 由題意得,設(shè)點(diǎn) Px1 , 2 y1 ,由于點(diǎn) P 是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn), 又 A2c, 0 是一焦點(diǎn),于是,有 |AP| = 2 x1- c,|AF 1| = 3 c, 2| PF 1| 2= 2 2 2 2x1 + c + y1 = x1 + 2 x 1c+ c + 3 2 x1 - 2 23 c = 4 x 1 + 2 x 1c- 2c , 在 APF1中 2 2 2 2有 cos F1 9c 4x 1 2 x c 1 2c 2 x 1 c 6c x1 c x1 c , 2 3

41、c 4x1 22 x1c 2c 2 6c 2 2x1 c x1 c 2 2x1 c 2 2 2 2cos A 9c 2 x1 c 4x1 2x1c 2c 6c x1 2c 2c x1 , 2 3c 2x1 c 2 3c 2x1 c 2x1 c 于是,有 2 x1 c - 21 = 2c x1 , 22x1 c 2x1 c 2即 2cos F1 - 1 = cos 2 F1 = cos A, A, F1 是 APF1 中的內(nèi)角,且 F1 是銳角,故有 2 F1 = A, 即 PA F1= 2PNF1, 所以 = 2 時(shí),能使得雙曲線在第一象限內(nèi)全部點(diǎn)均有 PA F 1 = 2 PF1A 設(shè)點(diǎn) P x1 , y