兩點(diǎn)間的距離公式-完整版PPT

1、1.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式第1課時兩點(diǎn)間的距離公式問題引航1.數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離公式是什么？2.如何求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離？怎樣用距離解決幾何問題？兩點(diǎn)間的距離公式1.數(shù)軸上：一般地，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為xA，xB，則|AB|=_.2.平面直角坐標(biāo)系中：一般地，若兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=_.|xB-xA|1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)原點(diǎn)O到點(diǎn)P(x，y)的距離為|OP|= .()(2)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與坐標(biāo)順序有關(guān).()(3)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離均可使用兩點(diǎn)間的距離公式.()【解析】(1)正確.由兩點(diǎn)

2、間的距離公式得(2)錯誤.在計(jì)算公式中x2與x1，y2與y1的位置可以互換，不影響計(jì)算結(jié)果.(3)正確.兩點(diǎn)間的距離公式適用于平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)求距離.答案：(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知點(diǎn)A(2，5)，B(2，9)，則線段AB的長度為_.(2)已知點(diǎn)M(-3，2)，N(1，4)，則線段MN的長度為_.(3)已知點(diǎn)A(-1，3)，B(2，a)之間的距離是 ，則實(shí)數(shù)a的值為_.【解析】(1)因?yàn)閤A=xB=2，所以|AB|=|5-9|=4.答案：4(2)|MN|= 答案：2(3)因?yàn)閨AB|= 所以(3-a)2=4，解得a=1或a=5.答案：1或5 【要點(diǎn)探究】

3、知識點(diǎn) 兩點(diǎn)間的距離公式對平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式的說明(1)當(dāng)P1，P2的連線與坐標(biāo)軸垂直時，兩點(diǎn)間的距離公式同樣適用.設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則當(dāng)P1P2x軸時，x1=x2，故|P1P2|= =|y2-y1|.當(dāng)P1P2y軸時，y1=y2，故|P1P2|= =|x2-x1|.(2)兩點(diǎn)間的距離公式的特征：兩點(diǎn)間距離的平方等于兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和.公式可簡記為：“縱差方，橫差方，加起來，開平方”.【微思考】(1)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離與坐標(biāo)的代入順序有關(guān)系嗎？提示：無關(guān).在計(jì)算平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離時，x1與x2，y1與y2的位置可以互換，不影響計(jì)算結(jié)果.(2)

4、式子 的幾何意義是什么？提示：式子 表示平面上的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離.【即時練】1.已知點(diǎn)A(4，12)到x軸上的點(diǎn)P的距離等于13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.2.已知兩點(diǎn)分別為A(10，2)和B(7，-2)，則這兩點(diǎn)之間的距離為_.【解析】1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則有解得x=-1或9.答案：(-1，0)或(9，0)2.由兩點(diǎn)間的距離公式得： 答案：5 【題型示范】類型一 利用兩點(diǎn)間的距離公式求值【典例1】(1)若x軸的正半軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與點(diǎn)(5，-3)到原點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(-2，0) B.(1，0) C.( ，0) D.( ，0)(2)直線2x+my+2=0(m

5、0)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)之間的距離為_.(3)求直線l：y=x被兩條平行直線x+y-2=0和x+y-4=0所截得的線段的長度.【解題探究】1.題(1)中x軸的正半軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有何特征？2.題(2)中如何求直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)？3.所截得的線段與直線的交點(diǎn)有關(guān)嗎？【探究提示】1.x軸的正半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零，橫坐標(biāo)大于0.2.分別令x=0，y=0可得直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn).3.有關(guān).所截線段的長度即直線l與兩平行直線的交點(diǎn)間的距離.【自主解答】(1)選D.設(shè)點(diǎn)M(x，0)(x0)，由題意可知， 解得 (2)直線2x+my+2=0與x軸的交點(diǎn)為(-1，0)，與y軸的交點(diǎn)為 所以兩交點(diǎn)之間的距離為答案

6、： (m0)(3)由 解得交點(diǎn)為(1，1)，由 解得交點(diǎn)為(2，2).所以所求線段的長度為 【方法技巧】1.計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|= (2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可利用距離公式的特殊情況直接求解.2.利用兩點(diǎn)間的距離公式求參數(shù)的值的方法及技巧(1)方法：常用方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程，然后利用方程的思想求解參數(shù).(2)技巧：解決此類問題時，常常需要結(jié)合圖形，來直觀地找出點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線的位置關(guān)系，然后利用相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題.【變式訓(xùn)練】(2014濟(jì)源高一

7、檢測)已知點(diǎn)A(a，-5)與B(0，10)間的距離是17，則a的值為_.【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式可得a2+152=172，解得a=8.答案：8【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)A(-1，2)，B(2， )，在x軸上求一點(diǎn)P，使得|PA|=|PB|，并求|PA|的值.【解析】設(shè)所求的點(diǎn)為P(x，0)，于是有|PA|= |PB|= 由|PA|=|PB|得x=1，所以所求點(diǎn)為P(1，0)，且|PA|= 類型二 兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【典例2】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是x軸、y軸上兩個動點(diǎn)，又有一定點(diǎn)M(3，4)，則|MA|+|AB|+|BM|的最小值是()A.10 B.11 C.12 D.13(2)

8、已知點(diǎn)A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)，試判斷ABC的形狀.【解題探究】1.題(1)中A與B能與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合嗎？2.判斷三角形的形狀要看什么？【探究提示】1.可以，當(dāng)重合時也滿足題意.2.判斷三角形的形狀可以看三邊關(guān)系或看角的關(guān)系.【自主解答】(1)選A.依題意，作圖如下：設(shè)點(diǎn)M(3，4)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P(-3，4)，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q(3，-4)，則|MB|=|PB|，|MA|=|AQ|，當(dāng)A與B重合于坐標(biāo)原點(diǎn)O時，|MA|+|AB|+|BM|=|PO|+|OQ|=|PQ|=10；當(dāng)A與B不重合時，|MA|+|AB|+|BM|=|PB|+|AB|+|AQ|PQ|=10.所以當(dāng)

9、A與B重合于坐標(biāo)原點(diǎn)O時，|MA|+|AB|+|BM|取得最小值10.（2）|AB|AC|BC|因?yàn)閨AB|AC|BC|，所以ABC為等腰三角形.【延伸探究】題(2)條件不變，求AB邊上的中線CM的長.【解析】因?yàn)锳B中點(diǎn)M所以|CM|【方法技巧】1.判斷三角形的形狀(1)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出三角形三邊長度，再觀察三邊長度關(guān)系，從而確定三角形形狀.(2)利用角的關(guān)系，對于特殊的圖形，一些特殊的性質(zhì)應(yīng)加強(qiáng)記憶與應(yīng)用.2.證明三點(diǎn)共線利用兩點(diǎn)間的距離公式先求出已知三點(diǎn)每兩點(diǎn)間的線段長度，若其中一條線段的長度等于另外兩條線段的長度之和，則已知三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練】已知A(-7，0)，B(-3，-

10、2)，C(1，6).(1)判斷ABC的形狀.(2)求ABC的外心的坐標(biāo).【解題指南】要判斷ABC的形狀，可從兩點(diǎn)間的距離公式入手求出|AB|，|BC|，|AC|，再加以判斷.【解析】(1)因?yàn)閨AB|BC|AC|所以|AB|2|BC|2|AC|2.所以ABC是以角B為直角的直角三角形.(2)因?yàn)锳BC為直角三角形，所以其外心為斜邊AC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為 即(-3，3).【補(bǔ)償訓(xùn)練】證明M(1，3)，N(0，1)，P(-3，-5)在同一條直線上.【證明】由兩點(diǎn)間的距離公式，得|MN|= |MP|= |NP|= 故有|MN|+|NP|=|MP|，所以M，N，P三點(diǎn)共線.【拓展類型】坐標(biāo)法的應(yīng)用【備選

11、例題】(1)(2014臨沂高一檢測)甲船在某港口的東50km，北30km處，乙船在同一港口的東14km，南18km處，那么甲、乙兩船的距離是_.(2)已知ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|AM|= |BC|.【解析】(1)以某港口為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則甲船的位置為(50，30)，乙船的位置為(14，-18)，甲、乙兩船的距離為答案：60 km(2)以RtABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(b，0)，(0，c).因?yàn)樾边匓C的中點(diǎn)為M，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)

12、為 即 由兩點(diǎn)間距離公式得|BC|=|AM|= 所以|AM|= |BC|.【方法技巧】1.對解析法的正確理解(1)坐標(biāo)法又稱為解析法，它就是通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)代替點(diǎn)，用方程代替曲線，用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì)的方法.(2)利用坐標(biāo)法可以解決平面幾何中的一些證明問題，一般思路是先用坐標(biāo)表示出幾何問題中相關(guān)的量，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、距離公式等列出相應(yīng)的等式，最后通過坐標(biāo)的運(yùn)算，解決相關(guān)問題.2.解析法證明幾何問題的步驟3.建系原則(1)使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.(2)充分利用圖形的對稱性.【易錯誤區(qū)】對代數(shù)式的幾何意義理解不清而致誤【典例】(2014吉安高一檢測)函數(shù)y=的最小值為_.【解析】函數(shù)可變形為它的幾何意義是：點(diǎn)P(x，0)到兩個點(diǎn)A(-1，1)，B(3，2)的距離之和，即在x軸上求一點(diǎn)P，使得P到A，B的距離之和最小.A關(guān)于x軸對稱點(diǎn)A1(-1，-1).直線A1B與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，如圖.直線A1B方程為3x-4y-1=0.令y=0得P 而最小值即為A1B的長.所以最小值為5.答案：5【常見誤區(qū)】錯解錯因剖析3在處不能正確理解式子的幾何意義而致誤或在處兩點(diǎn)間的距離公式代入時運(yùn)算錯誤【防范措施】1.加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用意識正確理解代數(shù)式的幾何意義是解題時需要注意的技巧，如本例，若用純代數(shù)知識求解，難以求得結(jié)果，而上述解法通過轉(zhuǎn)化，聯(lián)想兩點(diǎn)間的距