垂直關系的判定-完整版PPT

1、6垂 直 關 系6.1垂直關系的判定問題引航1.直線與平面垂直的概念及判定定理的內容是什么？2.二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？3.平面與平面垂直的概念及判定定理的內容是什么？1.直線與平面垂直的概念及判定定理(1)定義：條件：一條直線和一個平面內的_直線都_.結論：這條直線和這個平面垂直.(2)畫法：通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的_垂直，如圖.任何一條垂直橫邊(3)直線與平面垂直的判定定理：文字語言：條件：一條直線和一個平面內的_都垂直.結論：該直線與此平面垂直.符號語言：條件：直線a 平面，直線b ，直線la，lb，_.結論：_.兩條相交直線ab=Al2.平面與

2、平面垂直(1)概念的產(chǎn)生過程(2)有關概念半平面：一個平面內的一條直線，把這個平面分成_，其中的_都叫作半平面.二面角：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫作二面角，_叫作二面角的棱，這_叫作二面角的面.二面角的記法：以直線AB為棱、半平面，為面的二面角，記作二面角_.兩部分每一部分兩個半平面這條直線兩個半平面-AB-二面角的平面角：以二面角的棱上_為端點，在兩個半平面內分別作_的兩條射線，這兩條射線所成的角.直二面角：平面角是_的二面角.任一點垂直于棱直角(3)平面與平面的垂直定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直.畫法：把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平

3、面的平行四邊形的橫邊垂直(如圖).記作：_.直二面角面面垂直的判定定理文字語言：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條_，那么這兩個平面互相垂直.符號表示：若直線AB 平面，_，則(如圖).垂線AB平面1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)l與平面內的兩條直線垂直，則直線l平面.()(2)l與平面內的所有直線都垂直，則l平面.()(3)二面角的平面角的范圍為(0，).()【解析】(1)錯誤.如圖所示在長方體中有a ，b ，且la，lb，但是l與平面不垂直.(2)正確.由線面垂直的定義知.(3)錯誤.二面角的平面角的范圍為0，.答案：(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1

4、)已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面?zhèn)€數(shù)為_.(2)經(jīng)過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有_個.(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中二面角B1-AB-C1的大小為_.【解析】(1)當m，n異面但不垂直時，不能作出；當m，n垂直時只能作出一個.答案：0或1(2)當兩點連線與垂直時有無數(shù)個，當兩點連線與不垂直時只有1個.答案：1或無數(shù)(3)如圖，由二面角的平面角的定義知B1BC1即為二面角B1-AB-C1的平面角，其大小為45.答案：45【要點探究】知識點1 直線和平面垂直1.對直線和平面垂直定義的四點說明(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注

5、意理解，實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義.(2)直線和平面垂直是直線與平面相交的特例.(3)由定義可得線面垂直線線垂直，即若a，b ，則ab.(4)在畫線面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.2.對直線與平面垂直的判定定理的三點說明(1)引進判定定理的必要性用線面垂直的定義可以證明線面垂直，但是要說明直線與平面內所有直線都垂直，在實際運用時有困難，所以需要引進一種容易操作，應用廣泛的證明方法.(2)關鍵詞“兩條相交直線”的理解雖然平面內直線有無數(shù)多條，但它卻可以由兩條相交直線完全確定.由公理4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內的一條直線垂直，那么它與這

6、個平面內平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直.(3)所體現(xiàn)的數(shù)學思想直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉化”的數(shù)學思想，即將線面垂直轉化為線線垂直.【微思考】(1)線面垂直判定定理中，平面內兩條相交直線和已知直線l必須有公共點嗎？提示：用線面垂直判定定理判定直線與平面垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則是無關緊要的.(2)若將條件中的ab=A去掉，結論是否成立？提示：不成立.如果兩條直線平行，則直線l不一定與平面垂直，如圖：如果兩條直線相交，則直線l一定與平面垂直.【即時練】下列說法中錯誤的個數(shù)是()若直線m

7、平面，直線lm，則l.若直線l和平面內的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面必相交.過平面外一點有且只有一條直線和平面垂直.過直線a外一點有且只有一個平面和直線a垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】選C.錯誤.若直線m平面，直線lm，則l與平行、相交或l在內都有可能.錯誤.若直線l和平面內的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面平行、相交或l在內都有可能.正確.如圖.假如l1與l2都過點P，且都與平面垂直，設垂足分別為A與B.在平面PAB內，有兩條直線l1，l2與已知直線垂直.這是不可能的.所以l1和l2重合.正確.不論點A是否在直線a上(如圖)，設過點A與直線a垂直的平面為.如果還有一個平面過點A與直線

8、a垂直，且=l，設過點A和直線a且不過l的平面為，且=b，=c.因為a，a，所以ab，ac，這樣在同一平面內，過一點A就有兩條直線b，c都與a垂直，這是不可能的.所以，過點A和直線a垂直的平面只有一個.知識點2 二面角與面面垂直1.對二面角的平面角的三點說明(1)二面角的平面角可以表示二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.(2)構成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內”“垂直”.二面角的平面角的大小是唯一確定的，與棱上點的位置無關，解題時可以把平面角的頂點選在有利于解題的特殊位置上.(3)平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內，且兩邊都與二面角的棱垂直.由這個角所確定的平

9、面和二面角的棱是垂直的.2.兩方面剖析平面與平面垂直(1)兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況.例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的.(2)兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的.3.對平面與平面垂直的判定定理的三點說明(1)本質：面面垂直線面垂直.(2)關鍵：尋找其中一個平面的垂線.(3)找平面垂線的方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若不存在則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論依據(jù)，并有助于證明，不能隨意添加.【微思考】(1)在作二面角的平面角時，它的大小隨著頂點O的選取而改變嗎？提示：不改變，由等角定理可以保證平面角的大小的確定性.(2)面面垂

10、直的判定定理的條件有幾個，減少一個條件，定理是否成立？提示：判定定理有兩個條件，若去掉一個條件，則定理不一定成立.【即時練】1.(2014西安高二檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小為_.2.設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列三個命題，其中正確命題的序號是_.(1)若m，n，則mn.(2)若，m，則m.(3)若m，n，則mn.【解析】1.如圖所示.ADAB，AD1AB，所以D1AD即為二面角D1-AB-D的平面角，由正方體性質知D1AD=45.答案：452.(1)若m，n，則mn.正確.(2)若，m，則m，滿足直線和平面垂直的判定，正確.(3

11、)兩條直線可能相交也可能異面，錯誤.答案：(1)(2)【題型示范】類型一 線線垂直和面面垂直的轉化【典例1】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB(2)如圖，在四面體S-ABC中，BSC=90，ASB=ASC=60，SA=SB=SC，求證：平面ABC平面SBC.【解題探究】1.題(1)中與AD1垂直的平面應具備什么特點？2.題(2)中，證明平面ABC平面SBC的關鍵點是什么？【探究提示】1.平面內的兩條相交直線都與AD1垂直.2.利用已知條件探求線線垂直關系，進而得到線面垂直.【自主解答】

12、(1)選B.AD1A1D，A1B1AD1，又A1DA1B1=A1，所以AD1平面A1DB1.(2)如圖所示，取BC的中點D，連接AD，SD.如圖，由題意知ASB與ASC為等邊三角形，則AB=AC，所以ADBC，SDBC，令SA=a，在SBC中，SD= a，又AD= 所以AD2+SD2=SA2，即ADSD.又ADBC，BCSD=D，所以AD平面SBC.因為AD 平面ABC，所以平面ABC平面SBC.【方法技巧】1.線線垂直和線面垂直的相互轉化2.證明線面垂直的四種常用方法(1)線面垂直的定義.(2)線面垂直的判定定理.(3)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平

13、面.(4)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.3.證明面面垂直的方法與技巧(1)兩個平面垂直的判定定理可簡述為“線面垂直，則面面垂直”.(2)應用定理的關鍵是在一個平面內找到另一個平面的垂線.(3)要證明平面與平面垂直的問題，只需轉化為直線與平面垂直的問題，這充分說明了線面垂直與面面垂直的密切關系.【變式訓練】(2014蚌埠高一檢測)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，B1A1C1=90，D為BB1的中點.求證：AD平面A1DC1.【證明】因為AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，所以AA1平面A

14、1B1C1，所以A1C1A1A，又B1A1C1=90，所以A1C1A1B1，而A1B1AA1=A1，所以A1C1平面AA1B1B，又AD 平面AA1B1B，所以A1C1AD，由已知計算得AD= ，A1D= ，AA1=2，所以AD2+A1D2=AA12，所以A1DAD，因為A1C1A1D=A1，所以AD平面A1DC1.【補償訓練】如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O平面MBD.【證明】因為A1ABD，ACBD，A1AAC=A，所以BD平面A1AO.又A1O 平面A1AO.所以BDA1O.設正方體的棱長為a，連接OM，A1M，A1C1.因為

15、A1O2=A1A2+AO2=a2+ OM2=MC2+OC2= A1M2=A1C12+C1M2= 所以A1O2+OM2=A1M2，所以A1OOM.又BDOM=O，所以A1O平面MBD.類型二 二面角的平面角【典例2】(1)如圖所示，在三棱錐S-ABC中，SBC，ABC都是等邊三角形，且BC=1，SA= ，則二面角S-BC-A的大小為_.(2)(2014南昌高二檢測)在棱長都相等的四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點，連接AF，CE，DF，如圖所示.證明：平面AFD平面BCD.求二面角A-FC-E的余弦值.【解題探究】1.題(1)中二面角S-BC-A的平面角怎樣找？2.題(2)中，證

16、明平面AFD與平面BCD垂直的方法是什么？中怎樣尋找二面角A-FC-E的平面角？【探究提示】1.取BC的中點O，連接AO，SO可得SOA為二面角的平面角.2.先證BC平面AFD，然后證明平面AFD平面BCD.充分利用棱長相等的四面體的特點結合二面角平面角的定義尋找.【自主解答】(1)取BC的中點O，連接AO，SO，因為AB=AC，O是BC的中點，所以AOBC，同理可證SOBC，所以SOA是二面角S-BC-A的平面角，在AOB中，AOB=90，ABO=60，AB=1，所以AO=1sin60= ，同理可求SO= ，又SA= ，所以SOA是等邊三角形，故SOA=60.所以二面角S-BC-A的大小為6

17、0.答案：60(2)因為AB=AC，BF=CF，所以BCAF，同理得BCDF.又AF 平面AFD，DF 平面AFD，AFDF=F，所以BC平面AFD.又因為BC 平面BCD，所以平面AFD平面BCD.因為BC平面AFD，EF 平面AFD，所以BCEF.因為平面AFC平面EFC=BC，又BCEF，BCAF，所以AFE是二面角A-FC-E所成的平面角.設四面體的棱長為1，則AF=FD= ，AE= AD= ，EF= ，cosAFE=所以二面角A-FC-E的余弦值是 .【延伸探究】題(2)中，求二面角A-BC-D的余弦值.【解析】設四面體棱長為1，因為該四面體的棱長都相等，且F是棱BC的中點，所以AF

18、BC，DFBC，所以AFD是二面角A-BC-D的平面角，因為頂點A在底面的射影O是底面三角形的中心，恰好是DF的一個靠近F點的三等分點，在RtAOF中，cosAFD= ，即二面角A-BC-D的余弦值是 .【方法技巧】求二面角大小的基本步驟【變式訓練】已知D，E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1和BB1上的點，且A1D=2B1E=B1C1.求過點D，E，C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.【解析】如圖所示，在平面AA1B1B內延長DE和A1B1交于點F，則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點.于是C1F為這兩個平面的交線.因而，所求二面角即為二面角D-C1F-A1.因為A1DB1E，且A1D=2B1E，所以E，B1分別為DF和A1F的中點.因為A1B1=B1C1=A1C1=B1F，所以FC1A1C1.又因為CC1平面A1B1C1，F(xiàn)C1 平面A1B1C1，所以CC1FC1.又因為A1C1，CC1為平面AA1C1C內的兩條相交直線，所以FC1平面AA1C1C，所以FC1DC1.所以DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由已知A1D=A1C1，則DC1A1=45.故所求二面角的大小為45.【易錯誤區(qū)】對定理理解不準