插值與擬合模型

1、插值與擬合1多項(xiàng)式插值問題已知函數(shù)在n+1個(gè)互異結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，如下表所示：xix0 x1xnyi=f(xi)y0y1yn求一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(x)，使得Pn(xi)=yi，i=1,2,n。并利用Pn(x)近似未知函數(shù)f(x)。從幾何上看就是尋找一條n次多項(xiàng)式曲線y= Pn(x)，使其通過平面上已知的n+1個(gè)點(diǎn)：一、Lagrange插值其中，二、Newton插值其中， 隨著插值結(jié)點(diǎn)的增多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)也增加。然而多項(xiàng)式次數(shù)越高，近似效果未必越好，反而容易出現(xiàn)高次插值的Runge現(xiàn)象，為此需要考慮下面的分段插值問題。三、分段插值1、分段線性插值在相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)xk,xk+1內(nèi)，求一條線段近似函

2、數(shù)f(x)，xxk,xk+1。2、分段拋物插值在相鄰三個(gè)結(jié)點(diǎn)之間用拋物線近似未知函數(shù)。四、樣條插值分段線性插值雖然避免了高次多項(xiàng)式插值的Runge現(xiàn)象，然而在插值結(jié)點(diǎn)處又產(chǎn)生了新問題：不光滑。為了克服這一現(xiàn)象，引入三次樣條插值：在相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間用三次多項(xiàng)式函數(shù)si(x)近似未知未知函數(shù)，并保證在插值結(jié)點(diǎn)處滿足銜接條件：xi-1 xiab五、Matlab插值命令 yi=interp1(x，y，xi，method) (x，y)：插值節(jié)點(diǎn)；xi：被插值點(diǎn)；yi：xi處的插值結(jié)果；method：插值方法；nearest 最鄰近插值；linear 線性插值；spline 三次樣條插值；cubic 立方

3、插值。缺省時(shí)：分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。例1：在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值。Matlab命令hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degr

4、ees Celsius)練習(xí)：下列數(shù)據(jù)表示從1790年到2000年的美國人口數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)給出1790年2000年每隔5年的美國人口數(shù)據(jù)，并預(yù)測2005年、2010年人口數(shù)，與實(shí)際值比較。（人口單位：千人）年份179018001810182018301840人口39295308724096381286617069年份185018601870188018901900人口231923144338558501566294875995年份191019201930194019501960人口91972105711122755131669150697179323年份197019801990200020

5、052010人口203212226505248710281416？2二維插值問題 已知函數(shù)在若干結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，找一個(gè)簡單二元函數(shù)使其通過已知的mn個(gè)結(jié)點(diǎn)，并用此函數(shù)近似f(x, y)。一、結(jié)點(diǎn)類型1、網(wǎng)格型結(jié)點(diǎn)xyO2、散亂結(jié)點(diǎn)yx0二、插值方法1、最鄰近插值x(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)Oy 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。2、分片線性插值(xi+1, yj+1)(xi, yj+1)xOy(xi+1, yj)(xi, yj)將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)

6、）處的函數(shù)值依次簡記為：f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足插值函數(shù)為：第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足插值函數(shù)為：注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；3、雙線性插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)O(x2, y2)雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)

7、方程，正好確定四個(gè)系數(shù)。三、用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)method：插值方法nearest表示最鄰近插值；linear表示雙線性插值；cubic表示雙三次插值； 缺省時(shí)表示雙線性插值；（x0,y0,z0）表示插值節(jié)點(diǎn)；（x，y）表示被插值點(diǎn)；z表示被插值點(diǎn)的函數(shù)值。要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。例2：測得平板表面3*5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分

8、布曲面z=f(x,y)的圖形。1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值.再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. 練習(xí) 山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測得一些地點(diǎn)的高程如下表。平面區(qū)域?yàn)?1200 x4000,1200y36

9、00)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進(jìn)行比較。XY12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013

10、001200980通過此例對最鄰近點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較。四、用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算插值函數(shù)griddata格式為:cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）（cx，cy）表示被插值結(jié)點(diǎn)；（x，y，z）表示插值節(jié)點(diǎn)；cz表示被插值結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值；method：插值方法nearest最鄰近插值；linear雙線性插值；cubic雙三次插值；v4- Matlab提供的插值方法；缺省時(shí),雙線性插值例 3在某海域測得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要

11、避免進(jìn)入。xyz 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.59 9 8 8 9 4 9 1、輸入插值結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)；2、在矩形區(qū)域（75，200）*（-50，150）作二維插值，采用三次插值法；3、作海底曲面圖；4.作出水深小于5的海域范圍,即z=5的等高線。命令如下clearx=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162

12、 162 117.5;y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5;z=-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9;cx=75:0.5:200;cy=-70:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(2),contour(cx,cy,cz,-5 -5);gridhold onplot(x,y,+)xlabel(X),

13、ylabel(Y)練習(xí) 山區(qū)地貌：在某山區(qū)測得一些地點(diǎn)的高程如下表：(平面區(qū)域1200=x=4000,1200=y=3600)，試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進(jìn)行比較。36003200280024002000160012001500 1550 1510 1430 1300 1200 9801550 1600 1550 1600 1600 1600 15501200 1100 1550 1600 1550 1380 10701200 1100 1350 1450 1200 1150 10101390 1500 1500 1400 900 1100 1060 9501320 14

14、50 1420 1400 1300 700 900 8501130 1250 1280 1230 1040 900 500 700Y/x1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 40003曲線擬合在科學(xué)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法研究中，往往要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系。在第一節(jié)中我們已經(jīng)給出了一種方法：多項(xiàng)式插值。這種方法要求用來近似未知函數(shù)f的n次插值多項(xiàng)式準(zhǔn)確無誤地經(jīng)過已知的n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。然而當(dāng)結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)是由某種實(shí)驗(yàn)或者計(jì)算方法得出的，就難免帶有誤差，要求多項(xiàng)式嚴(yán)格經(jīng)過這些結(jié)點(diǎn)，無形中就會將誤差保留下來，而且如果每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有誤差的話，由于誤差累積的

15、效應(yīng)，也會導(dǎo)致整體的近似效果較差。這促使我們尋求一種新的方法近似未知函數(shù)，這一方法并不要求用來近似的函數(shù)嚴(yán)格通過已知結(jié)點(diǎn)，而只要求在結(jié)點(diǎn)處誤差，按某一標(biāo)準(zhǔn)最小。為了計(jì)算方便，通常就采用誤差的平方和最小作為度量誤差的標(biāo)準(zhǔn)。一、基于最小二乘原理的曲線擬合問題已知函數(shù)已知函數(shù)在m+1個(gè)互異結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，如下表所示：xix0 x1xmyi=f(xi)y0y1ym在給定的函數(shù)類中求一個(gè)函數(shù)，使得取得最小值。并利用S(x)近似未知函數(shù)f(x)。稱S(x)為最小二乘擬合函數(shù)。特別地當(dāng)S是一個(gè)n次多項(xiàng)式時(shí)，稱為最小二乘多項(xiàng)式擬合。注意：（1）插值和擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不

16、同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。而面對一個(gè)實(shí)際問題，究竟應(yīng)該用插值還是擬合，有時(shí)容易確定，有時(shí)則并不明顯。 （2）用最小二乘原理擬合數(shù)據(jù)時(shí)，首先要確定擬合函數(shù)S(x)的形式，這往往是最重要也是最困難的一步，它不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問題，還與所研究的變化規(guī)律及所得觀測數(shù)據(jù)有關(guān)；通常應(yīng)從問題的變化規(guī)律、給定數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖以及實(shí)際問題的背景綜合分析加以確定。（3）當(dāng)發(fā)現(xiàn)有多種類型曲線均符合樣本點(diǎn)變化特征時(shí)，可以分別采用不同類型曲線進(jìn)行擬合，最后通過某一評價(jià)指標(biāo)確定最優(yōu)的擬合結(jié)果。（4）加權(quán)的最小二乘曲線擬合方法其中是權(quán)重函數(shù)，它表示不同點(diǎn)處的數(shù)據(jù)比重（對最優(yōu)擬合曲線的影響程度）不同。例如，權(quán)重可以用在點(diǎn)

17、處的重復(fù)觀測次數(shù)表示。 例4： 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，水泥預(yù)期銷售量與價(jià)格的關(guān)系如下表：單價(jià)250260270280290300310320售量（104）200190176150139125110100確定水泥預(yù)期銷售量與價(jià)格的近似函數(shù)關(guān)系。例5：在某化學(xué)反應(yīng)里，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得生成物的濃度與時(shí)間的關(guān)系數(shù)據(jù)見下表，求濃度y與時(shí)間t的擬合曲線t（時(shí)間）12345678y（濃度）4.006.408.008.809.229.509.709.86t（時(shí)間）910111213141516y（濃度）10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60例6：CUMCM 92A 例7：CUMC

18、M 2004C二、Matlab作曲線擬合1、多項(xiàng)式擬合p=polyfit(x,y,n)其中x,y為給出的數(shù)據(jù)，n為多項(xiàng)式的次數(shù)。 輸出變量p是一個(gè)向量，其元素給出了擬合多項(xiàng)式的系數(shù)（按從高到低排列）多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算： y=polyval（a,x） 2用MATLAB作非線性最小二乘擬合 Matlab的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：curvefit和leastsq。兩個(gè)命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義擬合函數(shù)S(x)。 （1）c = curvefit (fun,a,b,x,y); （2）c=leastsq(fun,a,b);例題: 水泥價(jià)格、廣告費(fèi)與利潤問題 推銷商品的重要手段之一是做廣告，而做廣告要出錢，利弊得失如何估計(jì)，需要利用有關(guān)數(shù)學(xué)模型作定量的討論。某建材公司有一大批水泥需要出售，根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，零售價(jià)增高，則銷量減少，具體數(shù)據(jù)見表三；如果做廣告，可使銷售量增加，具體增加量以售量提高因子k表示，k與廣告費(fèi)