統(tǒng)計物理公開課一等獎優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎?wù)n件

1、系綜理論參考書：汪志誠，“熱力學(xué)統(tǒng)計物理”（第三版），第九章，高教出版社。R.K.Pathria，“Statistical Mechanics”（第二版），第一章第四章，世界圖書出版企業(yè)。F.Schwabl， “Statistical Mechanics”（第二版），第一章第三章，科學(xué)出版社。Landau， “Statistical Physics”（Part 1），第一章第三章，世界圖書出版企業(yè)。第1頁相空間&劉維爾定理 在第六、七、八章最概然分布方法只能處理近獨立粒子系統(tǒng)，系綜理論能夠研究有相互作用粒子系統(tǒng)，是平衡態(tài)統(tǒng)計物理普遍理論。 宏觀系統(tǒng)是由大量微觀粒子組成，微觀粒子能夠用經(jīng)典方式描

2、寫，也能夠用量子力學(xué)方法。我們先看系統(tǒng)微觀狀態(tài)經(jīng)典描述。 假設(shè)系統(tǒng)有N個粒子，每一個粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時刻微觀運動狀態(tài)，用f個廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個廣義動量（正則動量）在該時刻數(shù)值確定，以這2f個變量為直角坐標(biāo)，組成一個2f維空間，稱為相空間。系統(tǒng)在某一時刻運動狀態(tài)，對應(yīng)于想空間中一點，這點稱為系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)代表點。第2頁經(jīng)過相空間中任意點，只能有一條軌道。系統(tǒng)從任意一初態(tài)出發(fā)，代表點在相空間中軌道或者是一條封閉曲線，或者是一條本身永不相交曲線。系統(tǒng)從不一樣初態(tài)出發(fā)，代表點沿著相空間中不一樣軌道運時，不一樣軌道互不相交。 正則坐標(biāo)和

3、正則動量演化滿足哈密頓正則方程，當(dāng)系統(tǒng)代表點在相空間中移動時，它軌道由正則方程確定，利用微分方程理論，軌道有以下特點：第3頁劉維爾定理構(gòu)想有N 個結(jié)構(gòu)完全相同系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)，獨立沿著正則方程所要求軌道運動，這些系統(tǒng)代表點將在相空間形成一個分布。相空間一個體積元為：則t 時刻，運動狀態(tài)在這個體積元內(nèi)代表點數(shù)：第4頁劉維爾定理意義在于：假如我們沿著一個代表點在相空間中走正則軌道，則我們周圍代表點密度是常數(shù)。劉維爾方程是可逆，所以完全是力學(xué)規(guī)律結(jié)果。量子力學(xué)中引入密度矩陣后，能夠得到量子劉維爾方程。第5頁微正則分布一、能否確定系統(tǒng)微觀狀態(tài)？不能！ 熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)都是研究由大量微觀粒子組成

4、宏觀系統(tǒng)，統(tǒng)計物理學(xué)從微觀出發(fā)。 假設(shè)系統(tǒng)有N個粒子，每一個粒子自由度為r，那么宏觀物質(zhì)系統(tǒng)總自由度為：f=Nr。系統(tǒng)在任意時刻微觀運動狀態(tài)，用f個廣義坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）以及和它共軛f個廣義動量（正則動量）在該時刻數(shù)值確定。只要給定了初始條件，正則坐標(biāo)和正則動量數(shù)值由哈密頓正則方程確定。系統(tǒng)能量以及其它物理量是正則坐標(biāo)和正則動量函數(shù)。所以，求解2f 個哈密頓正則方程是根本問題，不過，這是個不可能任務(wù)。因為普通情況下，fNA第6頁 愈加主要是，我們研究系統(tǒng)，總能量E 并沒有確定數(shù)值，經(jīng)過其表面分子不可防止和外界發(fā)生作用，使得在能量E 附近有一個狹長范圍，即對宏觀系統(tǒng)，表面分子遠小于總分子數(shù)，故系統(tǒng)

5、和外界作用很弱，故有：第7頁系統(tǒng)和外界微弱作用影響系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿著正則方程所確定軌道運動，經(jīng)過一定時間（可能很短）之后，外界作用使得系統(tǒng)躍遷到另外一個狀態(tài)，從而沿著另外一條正則軌道運動，所以，系統(tǒng)微觀狀態(tài)發(fā)生極其復(fù)雜改變。在給定宏觀條件下，我們不能必定系統(tǒng)在某一時刻處于或者是不處于某一微觀狀態(tài)。統(tǒng)計物理學(xué)基本想法是：退一步，試圖找到系統(tǒng)處于某個微觀狀態(tài)概率。而宏觀量是對應(yīng)微觀量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值。第8頁二、各態(tài)歷經(jīng)假說 作為研究宏觀系統(tǒng)物理性質(zhì)統(tǒng)計力學(xué)，其最初目標(biāo)實際上是作為熱力學(xué)一個擴展，這種擴展來自于下面兩個原因： （1）熱力學(xué)是一個宏觀方法，這種方法和牛頓力學(xué)不一樣。 （2）宏

6、觀系統(tǒng)是有大量微觀粒子組成。當(dāng)初已經(jīng)有原子思想，而且積累了各種各樣間接數(shù)據(jù)（尤其是化學(xué)、電磁學(xué)等）。 從微觀角度研究宏觀物體性質(zhì)，實際上是熱力學(xué)理論牛頓回歸！第9頁 不過，數(shù)學(xué)上巨大困難，使得我們沒有方法求解正則方程，更因為系統(tǒng)和環(huán)境交換能量，使得這種求解沒有任何意義。 怎樣建立微觀量和宏觀量關(guān)系呢？或者說，怎樣從微觀角度建立宏觀觀察量呢？ 很自然想法是，實際上宏觀察量，我們測量都是物理量對時間平均，即：測量時間應(yīng)該是遠遠大于系統(tǒng)微觀粒子碰撞特征時間，也就是說使用測量儀器完成時系統(tǒng)已經(jīng)完成了很屢次碰撞過程，經(jīng)歷了很多個可能微觀狀態(tài)。由此，玻耳茲曼在1871年提出了“各態(tài)歷經(jīng)假說”。第10頁各態(tài)

7、歷經(jīng)假說（ergodic hypothesis） 一個孤立系統(tǒng)從任一初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠長時間后將經(jīng)歷一切可能微觀狀態(tài)。1884年，玻耳茲曼首次用“各態(tài)歷經(jīng)”這個名稱。企圖把統(tǒng)計規(guī)律還原為力學(xué)規(guī)律一個假設(shè)。數(shù)學(xué)上能夠證實，各態(tài)歷經(jīng)假說不成立，比如：對孤立系統(tǒng)，力學(xué)系統(tǒng)代表點軌道不可能經(jīng)過能量曲面上每一個點。19，P.厄任費斯脫夫婦證實了嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)不存在，于是又提出了準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說，把上述假說中“歷經(jīng)”修改為“能夠無限靠近”。各態(tài)歷經(jīng)假說或準(zhǔn)各態(tài)歷經(jīng)假說基本思想是，認(rèn)為系統(tǒng)處于平衡態(tài)宏觀性質(zhì)是微觀量在足夠長時間平均值，企圖用力學(xué)理論證實統(tǒng)計物理學(xué)基本假設(shè)。 當(dāng)研究對象從少許個體(如分子、原子)變

8、為由大量個體組成群體時，后者所遵照統(tǒng)計規(guī)律與前者所遵照力學(xué)規(guī)律本質(zhì)上是不一樣，統(tǒng)計規(guī)律不是力學(xué)規(guī)律結(jié)果，不能由力學(xué)規(guī)律推導(dǎo)出來。所以，這類假說不能代替統(tǒng)計規(guī)律作為統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ)。 第11頁三、系綜概念引入以及統(tǒng)計物理學(xué)誕生 實際上，1871年，玻耳茲曼就首次引入相空間概念，而且把含有相同結(jié)構(gòu)且相互獨立質(zhì)點系在相空間分布作為研究課題，這是系綜思想最初萌芽。19，吉布斯在系綜基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)計力學(xué)理論體系。 當(dāng)代統(tǒng)計物理學(xué)（又稱統(tǒng)計力學(xué)），將物理量測量值直接用物理量系統(tǒng)平均值來代替，不需要各態(tài)歷經(jīng)這個假設(shè)。也就是說，統(tǒng)計物理學(xué)需要統(tǒng)計假設(shè)和力學(xué)假設(shè)。第12頁 在經(jīng)典理論中，可能微觀狀態(tài)在相空間組成一

9、個連續(xù)分布，那么在t 時刻，系統(tǒng)微觀狀態(tài)處于相空間一個體積元中概率為：當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時，微觀量B數(shù)值為B（q,p），微觀量B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值為：就是與微觀量B相對應(yīng)宏觀物理量。第13頁 以上討論直接能夠換成系綜語言。構(gòu)想有N 個結(jié)構(gòu)完全相同、獨立系統(tǒng)（這N 個思維復(fù)本mental copies，就稱為系綜ensemble），各自從其初態(tài)出發(fā)，獨立沿著正則方程所要求軌道運動，這N 個系統(tǒng)代表點將在相空間形成一個分布。相空間一個體積元為：t 時刻，系統(tǒng)處于這個體積元內(nèi)概率為：則t 時刻，運動狀態(tài)在這個體積元內(nèi)代表點數(shù)：第14頁當(dāng)微觀狀態(tài)處于d范圍內(nèi)時，微觀量B數(shù)值為B（q,p），

10、微觀量B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值，稱為系綜平均值：要依據(jù)上述式子求宏觀量，必須知道分布函數(shù) ，這么，確定分布函數(shù)成為最根本問題。就是與微觀量B相對應(yīng)宏觀物理量。第15頁四、孤立系統(tǒng)分布函數(shù)：等概率原理（微正則分布） 對于孤立系統(tǒng)，總能量E為常數(shù)。 不過，即使對于孤立系統(tǒng)，可能因為漲落，會使得E發(fā)生改變，或者因為真正孤立系統(tǒng)并不存在，總是和外界發(fā)生微小作用，使得E 發(fā)生改變，所以，考慮能量在一個小范圍內(nèi)愈加方便，顯然，在這個能量范圍內(nèi)，微觀狀態(tài)數(shù)依然是大量，我們需要確定系統(tǒng)在這些微觀狀態(tài)上概率分布。劉維爾定理說明：在同一條正則軌道上，系統(tǒng)出現(xiàn)概率是一樣，也不隨時間改變。不一樣軌道概率密度是否相

11、同？劉維爾定理無法回答。第16頁 等概率原理：對全部軌道，概率密度都相等，且不隨時間改變。換句話說，對于孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)全部可能微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率是相等。數(shù)學(xué)表示式為：第17頁五、量子統(tǒng)計力學(xué) 量子力學(xué)中，在給定宏觀條件下，系統(tǒng)可能微觀狀態(tài)是大量，用s=1,2,標(biāo)識系統(tǒng)各個可能微觀狀態(tài)，用 表示t 時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)s 概率，滿足歸一化條件：以Bs 表示微觀量B 在量子態(tài)s 上數(shù)值，則B在一切可能微觀狀態(tài)上平均值（即和B相對應(yīng)宏觀物理量）為：第18頁六、全同粒子微觀狀態(tài)數(shù) 假如把經(jīng)典統(tǒng)計了解為量子統(tǒng)計經(jīng)典極限，對于含有N個自由度為r 全同粒子系統(tǒng)，在能量 范圍內(nèi)系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 假如有N 種不一樣粒

12、子，第i 種粒子自由度為ri , 粒子數(shù)為Ni ，則有： 第19頁七、最概然法和系綜方法關(guān)系 最概然法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在最概然分布下數(shù)值。 系綜法：認(rèn)為宏觀量是微觀量在給定宏觀條件下一切可能微觀狀態(tài)上系綜平均值。 假如相對漲落很小，即： 概率分布必定含有非常陡極大值分布函數(shù)，所以最概然值和平均值是相等。普通宏觀系統(tǒng)，相對漲落比較小，所以兩種方法統(tǒng)計平均值是相同。 第20頁微正則分布熱力學(xué)公式 對于孤立系統(tǒng)，因為不和外界交換物質(zhì)，粒子數(shù)確定，外界不做功，所以體積確定（假設(shè)只有體積改變功），所以有：第21頁一、微觀狀態(tài)數(shù)和熱力學(xué)量關(guān)系A(chǔ)1A2第22頁 依據(jù)等概率原理，平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能微

13、觀狀態(tài)出現(xiàn)概率都相等，所以，當(dāng)A1能量取某一個值時，孤立系統(tǒng)總微觀狀態(tài)數(shù)取極大值，這意味著對應(yīng)E1和E2是最概然能量分配。對于宏觀系統(tǒng)，最概然微觀狀態(tài)數(shù)實際上能夠看成是總微觀狀態(tài)數(shù)，所以其它能量分配出現(xiàn)概率遠遠小于最概然能量分配出現(xiàn)概率，由此能夠認(rèn)為最概然微觀狀態(tài)數(shù)對應(yīng)E1和E2就是A1和A2到達熱平衡時內(nèi)能。第23頁熱力學(xué)中，兩個系統(tǒng)到達熱平衡條件為：第24頁第25頁第26頁二、理想氣體和玻耳茲曼常數(shù) 對于經(jīng)典理想氣體，一個分子出現(xiàn)在空間中某一個位置概率和其它分子位置無關(guān)；一個分子出現(xiàn)在容器內(nèi)，可能微觀狀態(tài)數(shù)和容器體積成正比，所以N 個分子出現(xiàn)在容器V 中可能微觀狀態(tài)數(shù)為:第27頁三、微正則

14、分布求熱力學(xué)函數(shù)程序 實際上，這種計算方法相當(dāng)復(fù)雜。有一個例子：單原子經(jīng)典理想氣體。這個計算更詳細(xì)分析參考Pathria書。第28頁正則分布以及熱力學(xué)公式 微正則分布考慮是孤立系統(tǒng)分布函數(shù)?，F(xiàn)在考慮正則分布，即含有確定粒子數(shù)N，體積V和溫度T系統(tǒng)分布函數(shù)，（N,V,T）確定系統(tǒng)相當(dāng)于一個和大熱源接觸而到達平衡系統(tǒng)。系統(tǒng)和大熱源組成一個復(fù)合孤立系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)和熱源作用很弱，熱源很大。第29頁系統(tǒng)處于能量為Es狀態(tài)s 上概率：上式中，T 為熱源溫度，因為熱源很大，交換能量不會改變熱源溫度。T 當(dāng)然也是系統(tǒng)溫度。利用等概率原理，上式中右邊第一項是常數(shù)，所以有：第30頁這就是含有確定N,V,T 系統(tǒng)處

15、于能量為Es微觀狀態(tài)s 上概率，式中，Z 稱為配分函數(shù)。第31頁正則分布熱力學(xué)公式內(nèi)能是在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)能量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值；廣義力是在給定N,V,T條件下， 統(tǒng)計平均值；第32頁第33頁能量漲落 在給定N,V,T條件下，系統(tǒng)內(nèi)能為能量在一切可能微觀狀態(tài)上平均值： 我們將能量偏差平方平均值定義為能量漲落：第34頁實際氣體物態(tài)方程&經(jīng)典集團展開介紹 氣體在低密度下能夠忽略分子間相互作用，高密度下應(yīng)該考慮分子間相互作用。系綜理論能夠處理相互作用粒子體系，為了簡單，我們現(xiàn)在只考慮單原子分子經(jīng)典氣體。第一項代表分子之間動能，第二項代表分子之間相互作用勢能，此處已經(jīng)假設(shè)：相互作用能

16、量能夠表示為各分子正確相互作用能量之和，而且，分子之間相互作用只和分子之間距離相關(guān)系。第35頁定義函數(shù)（梅逸函數(shù)）：第36頁 實際上，分子之間相互作用力為短程力，力程約為分子直徑三四倍，所以梅逸函數(shù)僅僅在極小空間范圍內(nèi)不為零。第37頁第38頁對于低密度氣體有: 第39頁也就是說，稀薄實際氣體物態(tài)方程為 稱為第二維里系數(shù) 第40頁分子力半經(jīng)驗公式及其圖象f (10-10 N)r (10-10 m)r0rao0.5-0.5引力斥力rm第41頁 列納德瓊斯用以下半經(jīng)驗公式（1924年）表示兩分子間相互作用勢： 0和r0是兩個參量，當(dāng)兩分子之間距離為r0時，相互作用勢能取極小值-0 。第42頁剛球模型

17、第43頁，所以有：在普通情況下，上面得到a、b和溫度無關(guān)，實際氣體和溫度相關(guān)。第44頁 上面方法適合用于稀薄實際氣體，上面只是推出了物態(tài)方程。普通地，將系統(tǒng)各種物理量寫成級數(shù)展開形式，級數(shù)主要項表示對應(yīng)理想系統(tǒng)結(jié)果，而后面各項則表示由粒子間相互作用引發(fā)修正。這種方法稱為集團展開法。 梅逸等人在20世紀(jì)30年代完成了對經(jīng)典系統(tǒng)進行級數(shù)展開系統(tǒng)方法，以后由Kahn，Uhlenbeck，李政道和楊振寧等將這方法推廣到量子系統(tǒng)。 經(jīng)典集團展開能夠深入詳細(xì)參看： 張先蔚，“量子統(tǒng)計力學(xué)”（第二版）第三章第一節(jié)。第45頁固體熱容量&聲子和元激發(fā)&朗道費米液體理論初步 固體中相鄰原子距離很小（1埃），原子間

18、存在很強相互作用，在這相互作用下，各原子有一定平衡位置，原子在其平衡位置附近做微振動。設(shè)固體有N個原子，每個原子有3個自由度，則整個固體自由度為3N。以 表示第i個自由度偏離其平衡位置位移，對應(yīng)動量為 ，則系統(tǒng)能量能夠表示為：上式中， 稱為簡正坐標(biāo)，它是將全體原子坐標(biāo)加以線性組合而得到一個集體坐標(biāo)，與全體原子坐標(biāo)都相關(guān)系，由上式還能夠看出，這3N個簡正坐標(biāo)運動是相互獨立簡諧振動，簡稱為簡正振動，其特征頻率為:第46頁 這么，強耦合N個原子微振動變換為3N個近獨立簡諧振動，在勢能展開式中，假如保留三次項，簡正振動之間將有相互作用。上式中， 是描述第i個簡正坐標(biāo)量子數(shù)，由此可得系統(tǒng)配分函數(shù)為：第4

19、7頁 要詳細(xì)依據(jù)上式求出內(nèi)能，需要知道簡諧振動頻率分布，這就是簡正振動頻譜，最簡單假設(shè)是假設(shè)3N個簡諧振動頻率都相同，這就是愛因斯坦模型。 德拜主要觀點以下： （1）將固體看作連續(xù)彈性媒質(zhì)，3N個簡正振動是彈性媒質(zhì)基本波動，固體上任意彈性波都能夠分解為3N個簡正振動疊加。 （2）固體上傳輸彈性波有縱波（膨脹壓縮波）和橫波（扭轉(zhuǎn)波）兩種，橫波有兩種振動方式（因為在垂直于傳輸方向有兩個相互垂直方向）。 （3）能夠用波矢和偏振標(biāo)志3N個簡正振動。 用cl 和ct 分別表示縱波和橫波傳輸速度，二者圓頻率和波矢大小分別滿足以下關(guān)系：第48頁 因為固體只有3N個簡正振動，所以必定存在一個最大圓頻率D（德拜

20、頻率,19）:第49頁第50頁 對于非金屬固體，上式和試驗符合；金屬在3K以上也符合上述規(guī)律，不過在3K以下，不能忽略自由電子對熱容量貢獻，上式只是固體熱容量原子部分。 德拜理論缺點：忽略了固體中原子離散結(jié)構(gòu)，在高頻范圍內(nèi)和試驗不符合。第51頁聲子和元激發(fā) 以上是從波動觀點角度討論原子熱振動，也能夠從粒子觀點角度討論。 波矢為k,含有某一偏振簡正振動能量為：能量以 為單元，能夠把簡正振動能量量子看作一個準(zhǔn)粒子，稱為聲子，聲子準(zhǔn)動量和能量為：第52頁 含有某一波矢和偏振簡正振動處于量子數(shù)為n激發(fā)態(tài)，相當(dāng)于產(chǎn)生了含有某一準(zhǔn)動量和偏振n個聲子。不一樣簡正振動，含有不一樣波矢和偏振，對應(yīng)于狀態(tài)不一樣聲

21、子。 因為簡正振動量子數(shù)可取零或者任意正整數(shù)，處于某一狀態(tài)（一定準(zhǔn)動量和偏振）聲子數(shù)是任意，所以聲子恪守玻色分布。 溫度為T 時處于能量為 一個狀態(tài)上平均聲子數(shù) 從微觀角度看，平衡態(tài)下各簡正振動能量不停改變，相當(dāng)于各狀態(tài)聲子不停被產(chǎn)生和毀滅，所以聲子數(shù)不是恒定，聲子氣體化學(xué)勢為零。第53頁 以上對固體中原子熱運動討論在物理上很有啟發(fā)性： （1）組成固體真實粒子是原子，因為原子間存在很強相互作用，直接討論原子熱運動是很困難。 （2）將原子3N個振動自由度變換為3N個近獨立簡諧振動，問題便于處理。 （3）假如深入把簡正振動激發(fā)量子看成一個“元激發(fā)”或者“準(zhǔn)粒子”聲子，便把相互作用原子系統(tǒng)簡化為“準(zhǔn)

22、粒子”理想氣體，能夠用最概然分布方法處理。這個觀念在研究有相互作用粒子系統(tǒng)時有廣泛應(yīng)用。第54頁 用元激發(fā)方法計算熱力學(xué)量需要知道系統(tǒng)能譜。在低溫下，系統(tǒng)處于高激發(fā)態(tài)概率很小，能夠只考慮低激發(fā)態(tài)。在許多情況下，能夠把系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量表示為元激發(fā)能量之和： 上式說明，處于低激發(fā)態(tài)系統(tǒng)能夠等效看作是某種元激發(fā)理想氣體，假如知道元激發(fā)能量動量關(guān)系，而且能夠確定元激發(fā)遵從是玻色或者費米統(tǒng)計，就能夠用最概然分布討論系統(tǒng)在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第55頁朗道費米液體理論初步 第八章第五節(jié)說明： （1）在0K時理想費米氣體處于基態(tài)，粒子占滿了動量空間中半徑為費米動量大小費米球，動量大于費米動量狀態(tài)完全沒有被占據(jù)。

23、 （2）費米氣體處于低激發(fā)態(tài)時，有少許粒子躍遷到動量大于費米動量狀態(tài)，而在費米球中留下空穴。 （3）費米動量大小由氣體數(shù)密度決定：第56頁 液體和氣體沒有嚴(yán)格界限，基于此，朗道認(rèn)為： （1）假如在理想費米氣體中逐步加入粒子之間相互作用，理想費米氣體將過渡到費米液體，氣體粒子過渡到液體準(zhǔn)粒子。液體中準(zhǔn)粒子數(shù)和原來氣體或者液體中實際粒子數(shù)相同。 （2）對于均勻系統(tǒng)，準(zhǔn)粒子狀態(tài)仍可有動量為p和自旋S 描述。 （3）0K時費米液體處于基態(tài)，準(zhǔn)粒子占滿了動量空間中半徑為費米動量費米球，這里費米動量仍由 確定，不過n 是液體粒子數(shù)密度。 （4）費米液體處于低激發(fā)態(tài)時，有少許準(zhǔn)粒子躍遷到動量大于費米動量狀態(tài)

24、，而在費米球中留下空穴。第57頁 因為費米液體準(zhǔn)粒子之間存在相互作用，單個粒子能量 和其它準(zhǔn)粒子所處狀態(tài)相關(guān)，也就是說和準(zhǔn)粒子分布相關(guān)，所以和理想費米氣體不一樣，費米液體能量不能表示為單個準(zhǔn)粒子能量之和，而是分布函數(shù) 泛函，準(zhǔn)粒子能量 由定義以下：第58頁 處于平衡狀態(tài)理想費米氣體熵為：上式兩項能夠分別了解為因為粒子含有分布 和空穴含有分布 所造成熵。上式不但適合用于平衡態(tài)，也適合用于非平衡態(tài)。假如 是某非平衡態(tài)下粒子分布，對應(yīng)熵就由上式表示。在總粒子數(shù)、總能量和給定體積情形下，平衡態(tài)分布使得熵取極大值。能夠證實，平衡態(tài)下分布有以下形式：第59頁 溫度為OK時，分布函數(shù)、準(zhǔn)粒子能量、化學(xué)勢分別

25、為： ，所以分布函數(shù)是一個階躍函數(shù)。這和理想費米氣體完全一致。第60頁 對于理想費米氣體，有一樣能夠引入準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量概念，定義：第61頁 對于理想費米氣體，僅僅在費米面附近電子對低溫?zé)崛萘坑胸暙I，為所以，依據(jù)費米液體和理想費米氣體相同性，能夠直接寫出低溫下費米液體熱容量為：第62頁 例子（習(xí)題8.25）：He-3是費米子，在液He-3中原子有很強相互作用，按照朗道理論，能夠?qū)⒁篐e-3看作是和原子數(shù)目相同He-3準(zhǔn)粒子組成費米液體。已知He-3密度為81kg每立方米，在0.1K以下定容熱容量為由此，能夠估算He-3準(zhǔn)粒子有效質(zhì)量為：第63頁液4He性質(zhì)&朗道超流理論 氦有兩種同位素，3He和

26、4He，3He是費米子，4He自旋為零，是玻色子，它們在通常壓強下直到靠近于絕對零度依然能夠保持為液態(tài)（量子效應(yīng)主導(dǎo)），以下是4He相圖。第64頁4He相圖性質(zhì)有兩個完全不一樣相：He-I和He-II，He-I有通常液體特征。當(dāng)He-I沿著它氣液兩相平衡曲線降溫到2.17K時，He-IHe-II，這是連續(xù)相變，無潛熱和體積突變。從兩側(cè)趨于相變點，比熱容以對數(shù)形式發(fā)散，比熱容伴隨溫度改變曲線形狀酷似希臘字母，所以也稱為相變。第65頁He-II奇特效應(yīng)超流動性：毛細(xì)管；粘滯系數(shù)為零； （1937年，卡皮查（Kapitza）首次發(fā)覺，1978年，Nobel Prize）。存在臨界速度；阻尼；1938

27、年蒂薩二流體模型，超流體和正常流體密度比值取決于溫度；1946年安東尼卡什維里試驗。熱力效應(yīng)；力熱效應(yīng)（零粘滯性，零熵）；噴泉效應(yīng)（Fountain Effect）是熱力效應(yīng)。熱導(dǎo)率高，不沸騰，蒸發(fā)僅僅在表面發(fā)生。表面膜效應(yīng)（來自超流動性和高導(dǎo)熱率）。第66頁第一聲和第二聲朗道依據(jù)二流體模型預(yù)言，在4He-II中能夠傳輸兩種不一樣波動。假如正常成份和超流成份振動同相，總密度疏密振動對應(yīng)聲波（第一聲）。假如二者振動有180度相位差，則兩種成份在保持總密度不變情況下各自有疏密振動，因為超流成份比熵為零，所以正常成份振動給出比熵或者溫度振動，這種熵波或者溫度波稱為第二聲。第67頁朗道超流理論 朗道把

28、溫度不十分靠近臨界溫度He-II看成是處于弱激發(fā)狀態(tài)量子玻色系統(tǒng)，在基態(tài)背景下（超流成份）產(chǎn)生了元激發(fā)組成理想氣體（正常成份）。 以p 和 表示元激發(fā)動量和能量， 表示元激發(fā)數(shù)，系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)能量和動量能夠表示為：第68頁 溫度遠低于臨界溫度時，熱容量正比于溫度三次方，這是聲子氣體特征；而當(dāng)溫度較高時，熱容量含有行為exp(-/kT)項（為常數(shù)）,考慮到這一點，朗道對元激發(fā)能譜作了以下列圖猜測。這得到了試驗證實。第69頁第70頁第71頁 熱平衡下，元激發(fā)存在于能量取極小值附近。 在能量取零點位置，對應(yīng)元激發(fā)就是He-II中聲子，能量和動量關(guān)系是線性，比值就是聲速。 在p0附近，能量能夠展開成冪級

29、數(shù)，對應(yīng)元激發(fā)稱為旋子，稱為能隙： 聲子和旋子都遵從玻色分布，因為元激發(fā)數(shù)不確定，它們化學(xué)勢為零。依據(jù)元激發(fā)譜能夠計算He-II在低溫下熱力學(xué)性質(zhì)。第72頁朗道超流判據(jù)超流體流速在臨界速度以上時，超流動性被破壞，朗道超流判據(jù)是計算這個臨界速度。對于聲子和旋子激發(fā)，能夠分別計算出臨界速度。朗道理論比試驗結(jié)果偏大，R. Feynman認(rèn)為，臨界速度是由另外一個激發(fā):量子化渦旋來決定，相關(guān)理論計算和試驗結(jié)果大致相符。第73頁3He超流1971年，奧舍羅夫在2.6mK以下低溫發(fā)覺了3He超流現(xiàn)象。零磁場下有兩個超流相：A相和B相，A相是兩個He原子以自旋相同方式結(jié)合成束縛對而形成玻色子，所以是各項異性

30、；B相是He原子自旋反向配正確方式結(jié)合成玻色子，所以是各項同性。正常相和超流相轉(zhuǎn)變是連續(xù)相變。AB相之間轉(zhuǎn)換是一級相變。第74頁稀釋致冷原理能夠維持2mK低溫。第75頁Ising模型平均場理論 本節(jié)討論相變問題。 統(tǒng)計物理學(xué)經(jīng)過對配分函數(shù)求導(dǎo)數(shù)能夠求得系統(tǒng)熱力學(xué)函數(shù)，從而確定系統(tǒng)全部平衡性質(zhì)，不過在相變點一些熱力學(xué)量會發(fā)生突變或者出現(xiàn)無窮尖峰，那么從單一配分函數(shù)表示式能否同時描述各相和相轉(zhuǎn)變呢？這是從20世紀(jì)30年代中葉開始發(fā)生爭論問題。 回答這個問題一個方法是，建立包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征簡化模型，嚴(yán)格導(dǎo)出在其相變點宏觀特征。這個領(lǐng)域經(jīng)過半個多世紀(jì)研究，已經(jīng)形成統(tǒng)計物理學(xué)一個專門研究方向：相變和臨

31、界現(xiàn)象（參考于祿、郝柏林著“相變和臨界現(xiàn)象”）。 本節(jié)考慮最簡單模型-Ising模型，這個模型能夠近似描述單軸各向異性鐵磁體鐵磁-順磁相變，稍微改變還能夠描述氣體-液體相變，合金有序無序相變等。 第76頁Ising模型介紹 考慮N 個磁性原子定域在晶體格點上，假設(shè)原子總角動量量子數(shù)為1/2,原子磁矩大小為 。 1929年，Heisenberg提出，鐵磁性起源于電子交換作用（鐵磁體：ferromagnetism ），交換作用是一個量子力學(xué)效應(yīng)，是庫侖排斥作用和泡利不相容原理共同結(jié)果，這么，兩個近鄰原子相互作用能量和電子自旋狀態(tài)相關(guān)，這就是Heisengerg模型。 對于單軸各向異性鐵磁體，原子自

32、旋平行（=1）或者反平行（= -1）于一個晶軸，我們用z 軸表示這個晶軸方向，這么，鐵磁體原子相互作用能量為：第77頁 假如J 0, 則當(dāng)全部自旋含有相同取向時系統(tǒng)含有最低能量，對應(yīng)于絕對零度下狀態(tài)；在足夠低溫度下，也會有較多自旋含有相同取向，這就是無外磁場時鐵磁體含有自發(fā)磁化原因。 最主要是，即使交換作用是短程力，只存在近鄰自旋之間，不過系統(tǒng)中能夠出現(xiàn)長程有序。第78頁系統(tǒng)配分函數(shù)是： Ising模型即使簡單，不過嚴(yán)格求解極為困難。 1925年，Ising本人求得了一維嚴(yán)格解，一維沒有相變。 1946年昂薩格求得了二維情形嚴(yán)格解，他工作是統(tǒng)計物理學(xué)最主要成就之一，因為第一次清楚證實，從沒有奇

33、異哈密頓量出發(fā)，在熱力學(xué)極限下熱力學(xué)函數(shù)在臨界點附近有奇異性。 三維Ising模型當(dāng)前有許多近似解，不過嚴(yán)格解至今依然沒有得到。第79頁Ising model（From Wikipedia）The Ising model is a mathematical model of ferromagnetism in statistical mechanics. It was invented by the physicist Wilhelm Lenz who gave it as a problem to his student Ernst Ising after whom it is named.

34、 The model consists of discrete variables called spins that can be in one of two states. The spins are arranged in a lattice or graph, and each spin interacts only with its nearest neighbors.The 1-dimensional Ising model has no phase change and was in 1925 already solved by Ernst Ising himself. The

35、2-dimensional square lattice Ising model is much harder and, in the case of zero magnetic field, was given a complete analytic description much later, by Onsager (1944). In fact, the two-dimensional model has a phase change, and is one of the simplest statistical models with this property. The two-d

36、imensional model is usually solved by a transfer-matrix method, although there exist different approaches, more related to quantum field theory.In three dimensions, the Ising model was shown to have a representation in terms of non-interacting Fermionic lattice strings by Alexander Polyakov. In dime

37、nsions near four, the critical behavior of the model is understood to correspond to the renormalization behavior of the scalar phi-4 theory (see Kenneth Wilson). In dimensions five and higher, the phase-transition of the Ising model is described by mean field theory.Istrail () showed that computing the free energy of an arbitrary subgraph of an Ising model on a lattice of dimension three or more is computationally intractable. This means that in dimensions