初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)第四章因式分解本章復(fù)習(xí)與測(cè)試-整合提升密碼

1、專(zhuān)訓(xùn)1.因式分解的七種常見(jiàn)應(yīng)用名師點(diǎn)金：因式分解是整式的恒等變換的一種重要變形，它與整式的乘法是兩個(gè)互逆的過(guò)程，是代數(shù)恒等變形的重要手段，在有理數(shù)計(jì)算、式子的化簡(jiǎn)求值、幾何等方面起著重要作用 用于簡(jiǎn)便計(jì)算1利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：235918.2計(jì)算：2 01624 0342 0162 0172. 用于化簡(jiǎn)求值3已知x2y3，x22xy4y211.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y2xy2. 用于判斷整除4隨便寫(xiě)出一個(gè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字不相等的兩位數(shù)，把它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到另一個(gè)兩位數(shù)，并用較大的兩位數(shù)減去較小的兩位數(shù)，所得的差一定能被9整除嗎？為什么？ 用于判斷三角形的形狀5已知a

2、，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足a2b2c2abbcac0，試判斷ABC的形狀 用于比較大小6已知Aa2，Ba2a7，其中a2，試比較A與B的大小 用于解方程(組)7已知大正方形的周長(zhǎng)比小正方形的周長(zhǎng)多96 cm，大正方形的面積比小正方形的面積多960 cm2.請(qǐng)你求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng) 用于探究規(guī)律8觀察下列各式：12(12)222932，22(23)2324972，32(34)242169132，.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用含有字母n(n為正整數(shù))的等式表示出來(lái)，并說(shuō)明理由專(zhuān)訓(xùn)2.因式分解的六種常見(jiàn)方法名師點(diǎn)金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法與公式法的綜合

3、運(yùn)用在對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式因式分解時(shí)，首先應(yīng)考慮提公因式法，然后考慮公式法對(duì)于某些多項(xiàng)式，如果從整體上不能利用上述方法因式分解，還要考慮對(duì)其進(jìn)行分組、拆項(xiàng)、換元等 提公因式法題型1公因式是單項(xiàng)式的因式分解1若多項(xiàng)式12x2y316x3y24x2y2的一個(gè)因式是4x2y2，則另一個(gè)因式是()A3y4x1 B3y4x1C3y4x1 D3y4x2(2023廣州)分解因式：2mx6my_3把下列各式分解因式：(1)2x2xy；(2)4m4n16m3n28m2n.題型2公因式是多項(xiàng)式的因式分解4把下列各式分解因式：(1)a(bc)cb；(2)15b(2ab)225(b2a)2. 公式法題型1直接用公式法5把下列

4、各式分解因式：(1)16x4y4；(2)(x2y2)24x2y2；(3)(x26x)218(x26x)81.題型2先提再套法6把下列各式分解因式：(1)(x1)b2(1x)；(2)3x724x548x3.題型3先局部再整體法7分解因式：(x3)(x4)(x29)題型4先展開(kāi)再分解法8把下列各式分解因式：(1)x(x4)4；(2)4x(yx)y2. 分組分解法9把下列各式分解因式：(1)m2mnmxnx；(2)4x22xyy2. 拆、添項(xiàng)法10分解因式：x4eq f(1,4). 整體法題型1“提”整體11分解因式：a(xyz)b(zxy)c(xzy)題型2“當(dāng)”整體12分解因式：(xy)24(x

5、y1)題型3“拆”整體13分解因式：ab(c2d2)cd(a2b2)題型4“湊”整體14分解因式：x2y24x6y5. 換元法15分解因式：(1)(a22a2)(a22a4)9；(2)(b2b1)(b2b3)1.專(zhuān)訓(xùn)3.全章熱門(mén)考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：本章的主要內(nèi)容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各類(lèi)考試中，既有單獨(dú)考查因式分解的，也有利用因式分解的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的，題型有選擇題和填空題，也有探索與創(chuàng)新題，命題難易度以基礎(chǔ)和中檔題為主本章主要考點(diǎn)可概括為：一個(gè)概念，兩個(gè)方法，三個(gè)應(yīng)用，三個(gè)技巧，一種思想 一個(gè)概念因式分解1下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()A(a5)(a5)a22

6、5Bmxmy2m(xy)2Cx29(x3)(x3)D2x212x2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2x2) 兩個(gè)方法方法1提公因式法2求下列代數(shù)式的值：(1)x2yxy2，其中xy1，xy2 018；(2)8x3(x3)12x2(3x)，其中xeq f(3,2)；(3)a2b2a2b2ab2，其中abeq f(2,3)，ab2.方法2公式法3把下列各式因式分解：(1)16x225y2；(2)x24xy4y2；(3)(a2b)2(2ab)2；(4)(m24m)28(m24m)16；(5)81x4y4. 三個(gè)應(yīng)用應(yīng)用1應(yīng)用因式分解計(jì)算4計(jì)算：(1)62314.(2)eq blc

7、(rc)(avs4alco1(1f(1,22)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,32)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,42)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,1002)；(3)1011901012952.應(yīng)用2應(yīng)用因式分解解整除問(wèn)題5對(duì)于任意自然數(shù)n，(n7)2(n5)2是否能被24整除？應(yīng)用3應(yīng)用因式分解解幾何問(wèn)題6已知ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2b2acbc，試判斷ABC的形狀7若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a22b2c22ab2bc0，試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由 三個(gè)技巧技巧1分組后用提公因式法8因式分解：(

8、1)a2abacbc；(2)x36x2x6.技巧2拆、添項(xiàng)后用公式法9因式分解：(1)x2y22x4y3；(2)x44.技巧3換元法10因式分解：(m22m1)(m22m3)4. 一種思想整體思想11已知ab1，abeq f(3,16)，求代數(shù)式a3b2a2b2ab3的值答案專(zhuān)訓(xùn)11解：235918(235918)100.2解：2 01624 0342 0162 01722 016222 0162 0172 0172(2 0162 017)21.3解：(1)x2y3，x24xy4y29，(x22xy4y2)(x24xy4y2)119，即2xy2，xy1.(2)x2y2xy2xy(x2y)133

9、.4解：所得的差一定能被9整除理由如下：設(shè)該兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字是a，且ab，則這個(gè)兩位數(shù)是10ab，將十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)是10ba，則這兩個(gè)兩位數(shù)中，較大的數(shù)減較小的數(shù)的差是(10ab)(10ba)9a9b9(ab)，所以所得的差一定能被9整除5解：a2b2c2abbcac0，2a22b22c22ab2bc2ac0.即a22abb2b22bcc2a22acc20.(ab)2(bc)2(ac)20.又(ab)20，(bc)20，(ac)20，ab0，bc0，ac0，即abc，ABC為等邊三角形6解：BAa2a7a2a29(a3)(a3)因?yàn)閍2，所以a30，從而當(dāng)2a

10、3時(shí)，a30，所以AB；當(dāng)a3時(shí)，a30，所以AB；當(dāng)a3時(shí)，a30，所以AB.點(diǎn)撥：根據(jù)a的取值范圍分類(lèi)討論是正確解此題的關(guān)鍵7解：設(shè)大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別為x cm，y cm，根據(jù)題意，得eq blc(avs4alco1(4x4y96，,x2y2960，)由得xy24，由得(xy)(xy)960，把代入得xy40，由得方程組eq blc(avs4alco1(xy24，,xy40，)解得eq blc(avs4alco1(x32，,y8.)答：大正方形的邊長(zhǎng)為32 cm，小正方形的邊長(zhǎng)為8 cm.點(diǎn)撥：根據(jù)目前我們所學(xué)的知識(shí)，還無(wú)法解方程組eq blc(avs4alco1(4x4y96，

11、,x2y2960，)但是我們可以利用因式分解，把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x，y的二元一次方程組的問(wèn)題8解：規(guī)律：n2n(n1)2(n1)2n(n1)12.理由如下：n2n(n1)2(n1)2n(n1)22n22n1n(n1)22n(n1)1n(n1)12.專(zhuān)訓(xùn)21B(x3y)3解：(1)原式x(2xy)(2)原式4m2n(m24m7)點(diǎn)撥：如果一個(gè)多項(xiàng)式第一項(xiàng)含有“”號(hào)，一般要將“”號(hào)一并提出，但要注意括號(hào)里面的各項(xiàng)要改變符號(hào)4解：(1)原式a(bc)(bc)(bc)(a1)(2)原式15b(2ab)225(2ab)25(2ab)2(3b5)點(diǎn)撥：將多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)變形時(shí)，要注意符號(hào)的變化5解：(

12、1)原式x4y416(x2y24)(x2y24)(x2y24)(xy2)(xy2)(2)原式(x2y22xy)(x2y22xy)(xy)2(xy)2.(3)原式(x26x9)2(x3)22(x3)4.點(diǎn)撥：因式分解必須分解到不能再分解為止，如第(2)題不能分解到(x2y22xy)(x2y22xy)就結(jié)束了6解：(1)原式(x1)b2(x1)(x1)(1b2)(x1)(1b)(1b)(2)原式3x3(x48x216)3x3(x24)23x3(x2)2(x2)2.7解：原式(x3)(x4)(x3)(x3)(x3)(x4)(x3)(x3)(2x1)點(diǎn)撥：解此題時(shí)，表面上看不能分解因式，但通過(guò)局部分解

13、后，發(fā)現(xiàn)有公因式可以提取，從而將原多項(xiàng)式因式分解8解：(1)原式x24x4(x2)2.(2)原式4xy4x2y2(4x24xyy2)(2xy)2.點(diǎn)撥：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)此題不能直接分解因式，但運(yùn)用整式乘法法則展開(kāi)后，便可以運(yùn)用公式法因式分解9解：(1)原式(m2mn)(mxnx)m(mn)x(mn)(mn)(mx)(2)原式4(x22xyy2)22(xy)2(2xy)(2xy)10解：原式x4x2eq f(1,4)x2 eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,2)eq sup12(2)x2 eq blc(rc)(avs4alco1(x2xf(1,2)(x2xeq f(1,2)點(diǎn)撥：此

14、題直接分解因式很困難，考慮到添加輔助項(xiàng)使其符合公式特征，因此將原式添上x(chóng)2與x2兩項(xiàng)后，便可通過(guò)分組使其符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而將原多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解11解：原式a(xyz)b(xyz)c(xyz)(xyz)(abc)12解：原式(xy)24(xy)4(xy2)2.點(diǎn)撥：本題把xy這一整體“當(dāng)”作完全平方公式中的字母a.13解：原式abc2abd2cda2cdb2(abc2cda2)(abd2cdb2)ac(bcad)bd(adbc)(bcad)(acbd)點(diǎn)撥：本題“拆”開(kāi)原式中的兩個(gè)整體，重新分組，可謂“柳暗花明”，出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)14解：原式(x24x4)(y26y9)(x2)2(y3)2

15、(xy5)(xy1)點(diǎn)撥：這里巧妙地把5拆成49.“湊”成(x24x4)和(y26y9)兩個(gè)整體，從而運(yùn)用公式法分解因式15解：(1)設(shè)a22am，則原式(m2)(m4)9 m24m2m89 m22m1 (m1)2 (a22a1)2 (a1)4.(2)設(shè)b2bn，則原式(n1)(n3)1 n23nn31 n24n4 (n2)2 (b2b2)2.專(zhuān)訓(xùn)31C2解：(1)x2yxy2xy(xy)把xy1，xy2 018代入上式，原式xy(xy)2 018.(2)8x3(x3)12x2(3x)8x3(x3)12x2(x3)4x2(x3)(2x3)當(dāng)xeq f(3,2)時(shí)，原式4eq blc(rc)(a

16、vs4alco1(f(3,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)3)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(3,2)3)0.(3)a2b2a2b2ab2ab(a2abb)ab(ab)2ab把a(bǔ)beq f(2,3)，ab2代入上式，原式2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)22)9eq f(1,3).3解：(1)原式(4x5y)(4x5y)(2)原式(x2y)2.(3)原式(a2b)(2ab)(a2b)(2ab)(3ab)(3ba)(4)原式(m24m)42(m2)22(m2)4.(5)原式(9x2y2)(9x2y2)(3xy)

17、(3xy)(9x2y2)4解：(1)原式10314.(2)原式eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,100)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,100)eq f(3,2)eq f(1,2)eq f(4,3)eq f(2,3)eq f(

18、5,4)eq f(3,4)eq f(101,100)eq f(99,100)eq f(1,2)eq f(101,100)eq f(101,200).(3)原式1012210195952(10195)236.5解：(n7)2(n5)2(n7)(n5)(n7)(n5)(n7n5)(n7n5)(2n2)1224(n1)因?yàn)?4(n1)中含有24這個(gè)因數(shù)，所以(n7)2(n5)2能被24整除6解：因?yàn)閍2b2acbc，所以(ab)(ab)c(ab)所以(ab)(ab)c(ab)0.所以(ab)(abc)0.因?yàn)閍，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，所以abc0.所以ab0.所以ab.所以ABC為等腰三角形7解：此三角形是等邊三角形理由如下：a22b2c22ab2bc0，a22abb2b22bcc20.即(ab)2(bc)20.ab0且bc0.ab且bc.