人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 《用頻率估計概率》概率初步

1、用頻率估計概率 （1）在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個數(shù)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，那么我們可以通過列舉試驗結(jié)果的方法，求隨機(jī)事件的概率。（2）我們常用列表和樹狀圖兩種方法列舉試驗的結(jié)果。知識回顧以舊引新探究一：通過頻率估計概率活動1 周末，在我市體育館有一場精彩的籃球比賽，但是老師手里只有一張票，作為籃球迷的小強(qiáng)和小明都想去，這樣老師很為難。請大家?guī)屠蠋熛胍粋€公平的辦法，來決定把這張票給誰。有這么多可用的方法，那現(xiàn)在我們從中抽選出擲硬幣的方法。抓鬮、抽簽、猜拳、擲硬幣、為什么要用擲硬幣的方法呢？ 擲硬幣公平，能保證小強(qiáng)和小明得到球票的可能性一樣大。問題探究探究一：通過頻率估計

2、概率 用擲硬幣的方法分配球票是一個隨機(jī)事件，盡管事先不能確定結(jié)果是“正面向上”還是“反面向上”，但大家很容易感受到這兩種隨機(jī)事件的發(fā)生的可能性是一樣，各為0.5，所以對于小強(qiáng)和小明來說這個方法是公平的。 但是，我們的直覺是可靠的嗎？ 擲硬幣出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的嗎？ 有什么方法可以驗證呢？ 擲硬幣，觀察隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率 的變化趨勢。 課前，我們每個同學(xué)都進(jìn)行了擲硬幣的試驗，并計算了“正面向上”的頻率，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？ 匯總你們小組的拋擲數(shù)據(jù)你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？ 如果將我們?nèi)嗟臄?shù)據(jù)統(tǒng)計起來又能發(fā)現(xiàn)什么呢？大膽操作，探究新知探究一：通過頻率估計概率

3、活動2拋擲次數(shù)n50100150200250300350400“正面向上”的頻數(shù)m“正面向上”的頻率 根據(jù)數(shù)據(jù)生成折線統(tǒng)計圖：探究一：通過頻率估計概率隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率 有什么規(guī)律？ 試驗次數(shù)比較小時，頻率 波動比較大，但試驗次數(shù)較大時，頻率 比較穩(wěn)定。隨著試驗次數(shù)的增大，頻率 穩(wěn)定在0.5的附近。探究一：通過頻率估計概率 擲圖釘，觀察隨著拋擲次數(shù)的增加，“針尖向上”的頻率 的變化趨勢。探究一：通過頻率估計概率活動3 可能有同學(xué)會覺得老師用大量重復(fù)試驗的方法得到擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的概率未免也太大費(fèi)周章了，而且最終還只是一個概率的近似值！ 誰都知道擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面

4、向上”的概率為0.5，那么這種用試驗的方法求隨機(jī)事件的概率還有什么優(yōu)點(diǎn)呢？ 大家知道隨機(jī)拋擲一枚圖釘出現(xiàn)“針尖向上”的概率是多少嗎？ 有的同學(xué)回答“針尖向上”概率為0.5，其實由于圖釘不是均勻物體，所以“針尖向上”和“針尖向下”兩種事件的結(jié)果出現(xiàn)的可能性不一樣大。 你能想辦法得到“針尖向上”的概率嗎？探究一：通過頻率估計概率拋擲次數(shù)n50100150200250300350400“針尖向上”的頻數(shù)m“針尖向上”的頻率 類似拋擲硬幣的活動，通過大量重復(fù)試驗的頻率估計“針尖向上”的概率。根據(jù)數(shù)據(jù)生成折線統(tǒng)計圖：探究一：通過頻率估計概率隨著試驗次數(shù)的增加，“針尖向上”的頻率 有什么規(guī)律？ 試驗次數(shù)比

5、較小時，頻率 波動比較大，但試驗次數(shù)較大時，頻率 比較穩(wěn)定。隨著試驗次數(shù)的增大，頻率 穩(wěn)定在的附近。探究一：通過頻率估計概率總結(jié)：（1）隨機(jī)事件在一次試驗中是否發(fā)生不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗中，一個事件發(fā)生的頻率總在一個固定的數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，這個固定的數(shù)就是隨機(jī)事件發(fā)生的概率，因此我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。（2）概率與頻率之間是有區(qū)別和聯(lián)系的：區(qū)別：頻率是個試驗值，試驗結(jié)果不相同頻率也就不相同，頻率只能近似地反映事件發(fā)生的可能性的大小；而概率是一個理論值，是由事件的本質(zhì)決定的，其大小是個固定值，概率能精確的反映事件發(fā)生的可能性的

6、大小。探究一：通過頻率估計概率聯(lián)系：可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。（3）用試驗法通過頻率估計概率的方法可以不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機(jī)事件的范圍擴(kuò)大。探究一：通過頻率估計概率 例1：一個袋子中有兩個黃球，三個白球，它們除顏色外均相同，小明隨機(jī)從袋子中摸出一個球，恰好摸到了一個白球，則下列說法正確的是（ ）A.小明從袋子中取出白球的概率是1B.小明從袋子中取出黃球的概率是0C.這次試驗中，小明取出白球的頻率是1D.由這次試驗的頻率可以去估計取出白球的概率是1基礎(chǔ)性例題探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用活動1解：A.小明從

7、袋子中取出白球的概率是 ，故A選項錯誤；B.小明從袋子中取出黃球的概率是 ，故B選項錯誤；C.這次試驗里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以這次試驗中，小明取出白球的頻率是1，故C選項正確；D.僅進(jìn)行了一次試驗，試驗次數(shù)太少，頻率不能估計概率，故D選項錯誤。【思路點(diǎn)撥】本題需理清頻率與概率的關(guān)系，概率是一個理論值，是由事件的本質(zhì)決定的，其大小是個固定值；頻率是個試驗值，試驗結(jié)果不相同頻率也就不相同。在大量重復(fù)試驗中，一個事件發(fā)生的頻率總在一個固定的數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性， 這個固定的數(shù)就是隨機(jī)事件發(fā)生的概率，因此我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。不能將

8、頻率、概率混為一談。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用練習(xí)：已知拋一枚普通硬幣擲得反面向上的概率為 ，它表示（ ）A.連續(xù)拋擲硬幣兩次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B.每拋擲硬幣兩次，就一定有一次反面朝上C.連續(xù)拋擲硬幣200次，一定會出現(xiàn)100次反面朝上D.大量反復(fù)擲硬幣，平均每兩次會出現(xiàn)一次反面朝上解：A.擲兩次硬幣，偶然性較大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A選項錯誤；B.每拋擲硬幣兩次偶然性較大，不一定有一次反面朝上，故B選項錯誤；C.連續(xù)拋擲硬幣200次，試驗次數(shù)較大，會出現(xiàn)100次左右的反面朝上，但也不能確定是100次，故C選項錯誤；D.大量反復(fù)擲硬幣，出現(xiàn)反面

9、朝上的頻率應(yīng)該會穩(wěn)定在0.5的附近，即平均每兩次會出現(xiàn)一次反面朝上，故D選項正確。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用例2：小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時，做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，她們共做了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)798111510（1）計算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率；（2）小穎說：“根據(jù)試驗，一次試驗中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大”。 小紅說：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次” 小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用例2：小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時，做投擲骰子

10、（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，她們共做了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：（1）計算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率；朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)798111510解：（1）“3點(diǎn)朝上”出現(xiàn)的次數(shù)是8次，“3點(diǎn)朝上”的頻率是 ；又“5點(diǎn)朝上”出現(xiàn)的次數(shù)是15次，“5點(diǎn)朝上”的頻率是 。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：（2）小穎和小紅的說法都不正確。 但是由于60次試驗次數(shù)較小，頻率并不一定穩(wěn)定在概率的附近，不能直接將此時的頻率當(dāng)成概率，因此小穎的說法是錯誤的。 如果擲600次，雖然試驗次數(shù)較大，但頻率也只是穩(wěn)定在概率 的附近，約為100次，不一定正好是100次，因此小紅的說法也

11、是錯誤的。 【思路點(diǎn)撥】本題一定要弄清頻率與概率的關(guān)系，理解它們的區(qū)別與聯(lián)系：頻率不能簡單等同于概率，但試驗次數(shù)較大時，頻率穩(wěn)定在概率的附近，因此可以用反復(fù)試驗后的頻率估計概率。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 練習(xí)：為了看一種圖釘落地后針尖著地的概率有多大，小明和小華做了多次試驗，并將結(jié)果記錄在下表：拋擲次數(shù)52050100200針尖著地的頻數(shù)29234589針尖著地的頻率0.40.450.45（1）分別計算拋擲次數(shù)為50次和200次時，針尖著地的頻率；（2）根據(jù)計算結(jié)果，小明認(rèn)為：“拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45”，小華認(rèn)為：“每拋擲100次這種圖釘，一定出現(xiàn)45次針

12、尖著地”。你認(rèn)為他們的說法正確嗎？為什么？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：（1）拋擲50次時，“針尖著地”的頻數(shù)是23，“針尖著地”的頻率是 ；又拋擲200次時，“針尖著地”的頻數(shù)是89，“針尖著地”的頻率是 。（2）小明的說法正確，因為根據(jù)表格中頻率的變化趨勢，當(dāng)試驗次數(shù)增加時，頻率穩(wěn)定在0.45的附近，因此可以估計拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45； 小華的說法錯誤，因為拋擲這種圖釘，針尖著地的概率大約是0.45，所以每拋擲100次這種圖釘，只能說大約出現(xiàn)45次針尖著地，不能說一定是45次。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 例1：下表是某機(jī)器人做9999次“

13、 拋硬幣”游戲時記錄下的出現(xiàn)正面朝上的頻數(shù)和頻率。拋擲次數(shù)550300800320060009999出現(xiàn)正面朝上的頻數(shù)131135408158029805006出現(xiàn)正面朝上的頻率20%62%45%51%49.4%49.7%50.1%（1）由這張頻數(shù)和頻率表可知機(jī)器人拋擲完5次時，得到_次正面朝上，正面朝上出現(xiàn)的頻率是_。（2）由這個頻數(shù)和頻率表可知機(jī)器人拋擲完9999次時，得到次正面朝上，正面朝上出現(xiàn)的頻率約是。（3）觀察上面表格中頻率的變化趨勢，你能發(fā)現(xiàn)什么？提升型例題探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用活動2解：（1）直接根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，機(jī)器人拋擲完5次時，有1次正面朝上，正面

14、朝上的頻率是20%；（2）直接根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，機(jī)器人拋擲完9999次時，有5006次正面朝上，正面朝上的頻率是50.1%；（3）觀察頻率的變化趨勢發(fā)現(xiàn)：當(dāng)機(jī)器人拋擲次數(shù)較小時，出現(xiàn)正面朝上的頻率波動較大；當(dāng)機(jī)器人拋擲次數(shù)較大時，出現(xiàn)正面朝上的頻率比較穩(wěn)定，穩(wěn)定在50%的附近?！舅悸伏c(diǎn)撥】試驗次數(shù)較大時的頻率具有穩(wěn)定性。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 練習(xí)：一粒木質(zhì)中國象棋子“兵”，它的正面雕刻一個“兵”字，它的反面是平的。將它從一定高度下擲，落地反彈后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子的兩面不均勻，為了估計”兵”字面朝上的概率，某實驗小組做了棋子下擲實驗，

15、實驗數(shù)據(jù)如下表：實驗次數(shù)20406080100120140160“兵“字面朝上的頻數(shù)14384752667888“兵“字面朝上的頻率0.70.450.630.590.520.560.55（1）請你數(shù)據(jù)表補(bǔ)充完整；（2）如果實驗繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，這個實驗的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請你估計這個概率是多少？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：（1）試驗總次數(shù)為40，而“兵”字面朝上的頻率為0.45，“兵”字面朝上的頻數(shù)400.4518。又試驗總次數(shù)為120，而“兵”字面朝上的頻數(shù)為66，“兵”字面朝上的頻率661200.55。（2）觀察表格中頻率的變化趨勢，隨著試驗次數(shù)的增加

16、，“兵”字面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定在0.55的附近，因此估計“兵”字面朝上的概率為0.55。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 例2：在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球。若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為_。解：由于通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，所以，摸到紅球的概率就為20%。因為，一共有a個除顏色外完全相同的球，其中只有3個紅球所以，摸到紅球的概率為 。解得：a15所以，a的值為15【思路點(diǎn)撥】抓住等可能性隨機(jī)事件概率既可以通過大量重

17、復(fù)試驗得到，也可以通過古典概型的計算公式得到。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 練習(xí)：為了估計暗箱里白球的數(shù)量（箱內(nèi)只有白球），將5個紅球放進(jìn)去，隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸出一個球記下顏色，多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)紅球出現(xiàn)的頻率約為0.2，那么可以估計暗箱里白球的數(shù)量大約為_個。解：因為多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)紅球出現(xiàn)的頻率約為0.2，所以，摸到紅球的概率就為0.2。設(shè)一共有x個白球，其中有5個紅球，所以一共有（x5）個球，所以，摸到紅球的概率為 0.2解得：x20所以，有20個白球。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 例1：某園林公司要考察某種幼苗在一定條件下的移植存活率，應(yīng)采

18、用什么具體做法？（1）如圖是一張模擬統(tǒng)計表，請補(bǔ)全表中的空缺，并完成表下的填空：移植總數(shù)n成活數(shù)m成活的頻率 （結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）1080.80050472702350.870400369750662150013350.890350032030.915700063359000807314000126280.902探究型例題探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用活動3（2）從上表可以發(fā)現(xiàn)，隨著移植數(shù)的增加，幼苗移植成活的頻率越來越穩(wěn)定，當(dāng)移植總數(shù)為14000時，成活的頻率為0.902，于是估計該幼樹移植成活的概率為_。（3）若某校需要移植500棵該種幼樹，估計需要向這個園林公司購買多少棵

19、幼樹？（結(jié)果保留整數(shù)） 設(shè)計的方案為：在同樣條件下，對這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，計算成活的頻率。隨著移植數(shù)n越來越大，成活頻率 會越來越穩(wěn)定，于是就可以把頻率作為成活率的估計值。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：（1）直接用成活數(shù)m除以移植總數(shù)n，即可得到對應(yīng)的頻率，因此空白表格從上往下依次為：0.940 0.923 0.883 0.905 0.897；（2）觀察頻率的變化趨勢發(fā)現(xiàn)，隨著移植數(shù)的增加，幼苗移植成活的頻率越來越穩(wěn)定在0.9的附近，因此可以估計該幼樹移植成活的概率為0.9；（3）根據(jù)表格，估計該幼樹移植成活的概率為0.9假設(shè)需要購買x課該種幼樹，則由題意可得

20、：解得： 需要購買556課該種幼樹。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 練習(xí)：某地區(qū)林業(yè)局要考察一種樹苗移植的存活率，對該地區(qū)這種樹苗移植成活情況進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解決下列問題：（1）這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在_，成活的概率估計值為_。（2）該地區(qū)已經(jīng)移植這種樹苗5萬棵估計這種樹苗成活了_萬棵；如果該地區(qū)計劃成活18萬棵這樣的樹苗，那么還需要移植這種樹苗約多少萬棵？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：（1）觀察統(tǒng)計圖可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)移植數(shù)量較多時，成活的頻率穩(wěn)定在0.9的附近，因此估計這種樹苗的成活概率為0.9；（2）50.94.5（萬棵）所以

21、估計這種樹苗成活了4.5萬棵。 184.513.5（萬棵）， 還需移植13.50.915（萬棵）?！舅悸伏c(diǎn)撥】首先觀察統(tǒng)計圖估計出這種樹苗成活的概率為0.9，然后利用成活概率和移植總數(shù)就可以計算出成活的樹苗，也可以用計劃成活的樹苗和概率求出應(yīng)移植的樹苗。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用 例2：某水果公司以2元/kg的成本價新進(jìn)10000kg的柑橘。銷售人員首先從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄在下表中，請你幫忙完成此表。柑橘總質(zhì)量n/kg損壞柑橘質(zhì)量m/kg 柑橘損壞的頻率 （結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）505.500.11010010.500.10

22、515015.1520019.4225024.2530030.9335035.3240039.2445044.5750051.54 如果公司希望這批柑橘能夠獲得利潤5000元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用解：表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103。根據(jù)表格中的頻率變化規(guī)律，可以估計柑橘損壞的概率為0.1，即柑橘完好的概率為0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為：100000.99000（kg）完好柑橘的實際成本為： （元/kg）設(shè)每千克柑橘的售價為x元，則解得： 因此，出售柑橘時，每千克定價大約2.8元就可以獲利5000元。【思路點(diǎn)撥】先計算柑橘損壞的頻率，再觀察頻率的變化趨勢，根據(jù)頻率估計出損壞柑橘的概率，得到銷售商實際銷售的完好的柑橘數(shù)量，計算出完好柑橘的實際成本，再根據(jù)利潤為5000元建立方程即可。探究二：頻率估計概率在生活實際問題中的應(yīng)用練習(xí)：某制衣廠對該廠生產(chǎn)的名牌襯衫抽檢結(jié)果如下表：抽檢件數(shù)1020100150200300不合格件數(shù)013469不合格頻率00.050.030.03（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留2位小數(shù)）（2）