山東省濟(jì)南市歷城區(qū)第二中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1在區(qū)域內(nèi)任意取一點(diǎn)，則的概率是（ ）A0BCD2已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立，需要用到的與之間的關(guān)系式是（ ）ABCD3若對任意的，不等式

2、恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD4在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（）ABCD5復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（ ）ABCD6在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）ABCD7將兩枚骰子各擲一次，設(shè)事件兩個點(diǎn)數(shù)都不相同，至少出現(xiàn)一個3點(diǎn)，則（ ）ABCD8已知袋中有編號為1、2、3、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，則所取3只球的最大編號是5的概率等于（ ）ABCD9某班級在一次數(shù)學(xué)競賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，且獎品的單價分別為：一等獎20元、二等獎10元、三等獎5元、參與獎2元，獲獎人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法正確的是（ ）A參與獎總費(fèi)用最

3、高B三等獎的總費(fèi)用是二等獎總費(fèi)用的2倍C購買獎品的費(fèi)用的平均數(shù)為9.25元D購買獎品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元10復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD11已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為AB2C或2D或12定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”分別為那么的大小關(guān)系是 （ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在半徑為2的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離不大于1的概率為_.14參數(shù)方程（為參數(shù)，且）化為普通方程是_；15已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，則的最大值是_16已知直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時，(、是橢

4、圓的兩個焦點(diǎn))，若此時在中，的平分線的長度為，則實(shí)數(shù)的值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2（1+sin2）2，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（，）（1）求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線C1與曲線C2相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求|MN|的值18（12分）足球是世界普及率最高的運(yùn)動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172

5、018足球特色學(xué)校y（百個）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個數(shù)（精確到個）.參考公式和數(shù)據(jù)：，.19（12分）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：溫度x/212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777經(jīng)計(jì)算得：，線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，（1）若用

6、線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).試與1中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35時該用哪種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為，；相關(guān)指數(shù).20（12分）已知.猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.21（12分）f(x)的定義域?yàn)?0，)，且對一切x0，y0都有ff(x)f(y)，當(dāng)x1時，有f(x)0。(1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明； (3)若f(6)1，解不等式f(x3)f2； (4)若f(4)2，求

7、f(x)在1,16上的值域。22（10分）已知點(diǎn)P(2,2),圓，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及POM的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求得區(qū)域的面積，x2+y21表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計(jì)算公式，可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域?yàn)橐哉叫蜲ABC的內(nèi)部及邊界，其

8、面積為1；x2+y21表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計(jì)算公式，可得點(diǎn)P（x，y）滿足x2+y21的概率是；故選C【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的圖形的面積，進(jìn)而由其公式計(jì)算2、C【解析】分別根據(jù)已知列出和，即可得兩者之間的關(guān)系式.【詳解】由題得，當(dāng)時，當(dāng)時，則有，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟表示，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由已知可得對任意的恒成立，設(shè) 則 當(dāng)時在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又 在上 不合題意；當(dāng)時，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使 ，在上恒成立，只要，令 可知在上單調(diào)遞增，在上

9、單調(diào)遞減，又，故選A.4、B【解析】先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定其圓心的直角坐標(biāo)再化成極坐標(biāo)即可【詳解】圓化為,，配方為 ，因此圓心直角坐標(biāo)為，可得圓心的極坐標(biāo)為故選B【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)5、A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部【詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查復(fù)數(shù)的虛部，對于復(fù)數(shù)問題的求解，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】分別討論三種情況，然后求并集得到答案.【詳解】當(dāng)

10、時：函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)圖形知：或 當(dāng)時：不成立當(dāng)時：函數(shù)單調(diào)遞減根據(jù)圖形知：綜上所述：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的讀圖能力.7、A【解析】分析：利用條件概率求.詳解：由題得所以故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2) 條件概率的公式: , =.8、B【解析】先求出袋中有編號為1、2、3、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有多少種取法，再求出所取3只球的最大編號是5有多少種取法，最后利用古典概型概率計(jì)算公式，求出概率即可.【詳解】袋中有編號為1、2、3、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有種方

11、法.所取3只球的最大編號是5，有種方法，所以所取3只球的最大編號是5的概率等于，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率計(jì)算方法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、D【解析】先計(jì)算參與獎的百分比，分別計(jì)算各個獎勵的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】參與獎的百分比為：設(shè)人數(shù)為單位1一等獎費(fèi)用： 二等獎費(fèi)用： 三等獎費(fèi)用： 參與獎費(fèi)用： 購買獎品的費(fèi)用的平均數(shù)為： 參與獎的百分比為，故購買獎品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了平均值，中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.10、C【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù).【詳解】，故選C.【點(diǎn)睛】

12、本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】由1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，得到m=1當(dāng)m=1時，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)m=1時，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率【詳解】1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，m2=19，則m=1當(dāng)m=1時，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當(dāng)m=1時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為故選A【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用12、D【解析】由已知得到：，對于函數(shù)h（x）=lnx，由于h（x）=令，可知r（1）0，r（2）0，故12， 且，選D

13、.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過計(jì)算對應(yīng)面積，即可求得概率.【詳解】該點(diǎn)取自圓內(nèi)，占有面積為，而該點(diǎn)到圓心的距離不大于1占有面積為：，故所求概率為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的相關(guān)計(jì)算，難度不大.14、【解析】利用消去參數(shù)可得普通方程。【詳解】由題意，即，又，所求普通方程為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，應(yīng)用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會出錯。15、12.【解析】分析：畫出不等式組表示的可行域，平移，結(jié)合所畫可行域，可求得的最大值.詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當(dāng)時，平移直線，由圖可得直線經(jīng)過點(diǎn)時，取

14、得最大值，且，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.16、【解析】分析：求出切線方程，可得三角形面積，利用基本不等式求出最小值時切點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，由三角形面積公式可得，根據(jù)與橢圓的定義即可的結(jié)果.詳解：由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時，為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小，設(shè)，由余弦定理可

15、得，的內(nèi)角平分線長度為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的切線方程、橢圓的定義、橢圓幾何性質(zhì)以及利用基本不等式求最值、三角形面積公式定義域、余弦定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于難題.在解答與橢圓兩個焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問題時，往往綜合利用橢圓的定義與余弦定理解答.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）M的極坐標(biāo)為（1，），C2的直角坐標(biāo)方程為x2+2y22（2）【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，得到M的直角坐標(biāo)，利用，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得到，而所求的，從而得到答案.【詳解】（1） 由

16、點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（，），可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，），由2（1+sin2）2，得2+2sin22，xcos，ysin，C2的直角坐標(biāo)方程為x2+2y22；（2）把（t為參數(shù)）代入x2+2y22，得7t2+24t+161設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，又N點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，|MN|【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1） ，y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)（2），244【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算出r，再比較即得解；（2）根據(jù)已知求出線性回歸方程，再令x=2020即得解.【詳解】（1）由題得所以，y與x線性相關(guān)性很強(qiáng).（2），關(guān)于的線性回歸方

17、程是.當(dāng)時，即該地區(qū)2020年足球特色學(xué)校有244個.【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1） （2）用非線性回歸模型擬合效果更好；190個【解析】（1）求出、后代入公式直接計(jì)算得、，即可得解；（2）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；（3）直接把代入，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意，則，y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）對于線性回歸模型，相關(guān)指數(shù)為 因?yàn)?，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.當(dāng)，時（個）所以溫度為時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190個.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求解、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用以及非

18、線性回歸方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.20、證明見解析【解析】首先計(jì)算，猜想， 再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】 猜想， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，猜想成立； 假設(shè)時猜想成立，即則時，由及得 又=, 時猜想成立.由知.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的歸納推理能力和計(jì)算能力.21、 (1)1,(2)見解析(3)(4)【解析】（1）利用賦值法令x=y，進(jìn)行求解即可（2）利用抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可（4）根據(jù)（2）的結(jié)論，將值域問題轉(zhuǎn)化為求最值，根據(jù)f（4）=2，結(jié)合f（）=f（x）f（y），賦值x=16，y

19、=4，代入即可求得f（16），從而求得f（x）在1，16上的值域【詳解】（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）f（x）=1，x1（2）設(shè)1x1x2，則由f（）=f（x）f（y），得f（x2）f（x1）=f（），1，f（）1f（x2）f（x1）1，即f（x）在（1，+）上是增函數(shù)（3）f（6）=f（）=f（36）f（6），f（36）=2，原不等式化為f（x2+3x）f（36），f（x）在（1，+）上是增函數(shù)，解得1x故原不等式的解集為（1，）（4）由（2）知f（x）在1，16上是增函數(shù)f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（16）f（4）=2，由f（）=f（x）f（y），知f（）=f（16）f（4）， f（16）=2f（4）=4， f（x）在1，16上的值域?yàn)?，