計算方法復化求積公式

1、第三節(jié) 復化求積公式背景：由于 的Newton-Cotes不穩(wěn)定，一般不宜使用；而在較大的積分區(qū)間上采用低階的Newton-Cotes公式進行計算，精度又比較低。改進：把積分區(qū)間分成若干相等的子區(qū)間（分段），在每個子區(qū)間上使用低階求積公式，最后把結果加起來。定步長積分法1稱 為復化梯形公式，下標n表示將區(qū)間n等分。2稱 為復化Simpson公式，下標n表示將區(qū)間n等分。類似地，我們有復化Simpson公式的余項：（N=2，三點插值）33 復化Cotes公式（N=4，五點插值）4（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式）5例3.1解：由復化梯形公式的截斷誤差，有67.第4節(jié) 變步長復化求積

2、法逐次分半算法變步長積分法8.綠 藍 紅（由粗到細逐次減半）誤差的這種估計法稱為事后估計（或后天估計）9.10.第5節(jié) 龍貝格（Romberg）求積法-逐次分半加速收斂算法提出問題：能否通過求積公式的截斷誤差，構造出一個新的序列，它逼近I的階更高？或者如何提高收斂速度以節(jié)省計算量？11.“修正”的想法！這說明用梯形法二分前后的兩個積分值Tn與T2n的線性組合的結果得到復化辛普森法求積公式復化梯形公式復化辛普森公式12.復化Simpson公式復化Cotes公式Romberg公式13.1）同一行每個公式都是節(jié)點數(shù)目相同的求積公式；2）同一列求積公式的代數(shù)精度相同；3）表中對角線上相鄰元素之差小于允

3、許誤差時，停止計算。加速公式在變步長的過程中運用加速公式，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛普森值Sn 、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn .14第6節(jié) 高斯（Gauss）求積公式在構造Newton-Cotes公式時，限定用積分區(qū)間a,b的等分點作為求積節(jié)點(等距劃分)，這樣做雖簡化了問題的處理過程，但同時也限制了精度。在節(jié)點數(shù)目固定為n+1的條件下，能否通過適當選取求積節(jié)點xk的位置以及相應的求積系數(shù)Ak，使求積公式具有盡可能高(最高)的代數(shù)精度(記為,m）？ 提出問題：1)2)為了使問題具有一般性，我們主要考慮如下帶權積分：問 (1) 最高可達多少？ (2) 如何構造這樣的公式？插值型

4、求積公式(*)15求積公式含有2n+2個待定參數(shù)xk、Ak(k0,1,n)若用待定系數(shù)法確定它們, 則最好需要2n+2個獨立的條件, 根據(jù)代數(shù)精度的定義, 令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 ，代入上面求積公式, 得到非線性方程組若解存在(? 可證), 求解. 從而求積公式的代數(shù)精度從n次提高到2n+1次. 這類求積公式稱為高斯（Gauss）求積公式. 將節(jié)點 x0 xn 以及系數(shù) A0 An 都作為待定系數(shù)。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入上面公式求解（解存在?。?，得到的公式具有2n+1 次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為Gauss 點，公式稱為Gau

5、ss 型求積公式。定義6.1. 分析上面的公式，易見問題6. 方法一令公式對于f (x) = 1, x, x2, x3 ，準確成立，則有兩點Gauss公式16第一步第二步1）3）2）4）1）2）3）4）代入1）、2）第三步17稱上面的公式為兩點Gauss求積公式。注釋：從上面的例子，可看到求解非線性方程組較復雜，通常n2就很難求解故一般不通過解方程來求待定 系數(shù)xk 及 Ak (k0,1, , n) 從分析高斯點的特性著手，來構造Gauss 求積公式. 怎么辦？即方法二18由于前面的求積公式是插值型的，故至少具有1次代數(shù)精度，從而有另一方面，易見于是故要使只需據(jù)正交多項式的性質可知從幾何直觀上

6、看，是尋找兩點，使通過該兩點的直線在-1,1上圍成的面積與f(x)在該區(qū)間上圍成的面積相等！19解之，得上面所得到的求積公式稱為Gauss-Legendre求積公式.20一般積分區(qū)間a,b上的兩點Gauss-Legendre求積公式:例：用兩點高斯公式求 的近似值。解：21定理6.1.節(jié)點xk(k=0,1,n)為Gauss點一、一般的高斯(Gauss)求積公式關鍵在于求高斯點.22這就是高斯(Gauss)點所應滿足的條件!換一句話說，在a,b上帶權(x)的n+1次正交多項式的零點就是求積公式的Gauss點.有了高斯點xk，再使用如下線性方程組可解得Ak.23二、高斯求積公式的余項/* 設H為f 的過x0 xn的插值多項式 */*只要H 的階數(shù)不大于2n+1，則下一步等式成立*/插值多項式的余項Q：什么樣的插值多項式在 x0 xn 上有 2n+1 階？A：Hermite 多項式！滿足24二、高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性定理6.2. Gauss求積公式的系數(shù)都是正的，且25定理6.3. 設f(x) Ca,b，則Gauss求積公式是收斂的，即26三、常用的高斯求積公式 Gauss-Legendre求積公式：其中直接計算上式比較困難。我們可得到更簡便的系數(shù)公式：由于Ak與f(x)無關，我們可?。?n次多項式注意