電動力學六四相對論理論四維形式

1、6.4 相對論理論的四維形式 1在相對論中時間和空間不可分割，當參考系改變時，時空坐標互相變換，三維空間和一維時間構成一個統(tǒng)一體四維時空。2四維時空理論可用簡潔的四維形式表述出來。利用這種形式可以很清楚地顯示出一些物理量之間的內在聯(lián)系，并且可以把相對性原理用非常明顯的形式表達出來。3先回顧一下三維空間的轉動性質。先看二維平面上的坐標系轉動。設坐標系相對于坐標系轉了一個角 。設平面上一點的坐標在系為x,y; 在系x,y為。新舊坐標之間有變換關系x=xcos+ysin ,y=-xsin+ycos.OP2=x2+y2= x2+ y2=不變量1. 三維空間的正交變換4滿足此式的二維平面上的線性變換稱為

2、正交變換。坐標系轉動屬于正交變換。OP2=x2+y2= x2+ y2=不變量正交變換5設為平面上任意矢量。在系中的分量為x ,y;起彼伏在系中的分量為x ,y 。這些分量有變換關系,矢量長度平方為x =xcos+ ysin,y= - xsin + ycos.| |2= 2x + 2y= 2x +2y =不變量任意矢量的變換與坐標變換具有相同形式6現(xiàn)在討論三維坐標轉動。設系的直角坐標為(x1,x2,x3), 系的直角坐標為(x1,x2,x3) 。三維坐標線性變換一般具有形式x1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3,x2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3,x3=a31 x1+a3

3、2 x2 +a33 x3.7坐標系轉動時距離保持不變,應有x12+ x22+ x32= x12 + x22 + x32滿足此式的線性變換稱為正交變換。空間轉動屬于正交變換, 式中的系數(shù)aij依賴于轉動軸和轉動角。8坐標變換式在一般情形中, 當公式中出現(xiàn)重復下標時(如上式右邊的j), 往往都要對該指標求和。這是現(xiàn)代物理中通用的約定。9愛因斯坦約定: 除特別聲明外, 凡有重復下標時都意味著要對它求和。以后為了書寫方便, 省略求和符號。 變換式可簡寫為正交條件是10正交變換條件11反變換式12轉置矩陣正交條件式可用矩陣乘法寫為其中I為單位矩陣變換系數(shù)矩陣形式13根據(jù)物理量在空間轉動下的變換性質分類2

4、. 物理量按空間變換性質的分類標量、矢量、張量等14在空間中沒有取向關系,當坐標系轉動時保持不變的物理量。如質量、電荷等。設在坐標系中某標量用u表示,在轉動后的坐標系中用u表示。由標量不變性有u= u (1) 標量 15在空間中有一定的取向性，用三個分量表示的，當空間坐標作轉動變換時，三個分量按同一方式變化的物理量。例如速度、力、電場強度和磁場強度等都是矢量。以代表矢量,在坐標系中的分量為i, 在轉動后的系中的分量為i 。與坐標變換式對應, 有矢量變換關系 (2) 矢量 16有些微分算符也具有矢量性質17這類物理量要用兩個矢量指標表示, 有9個分量, 顯示出更復雜的空間取向性質。當空間轉動時,

5、 其分量Tij按以下方式變換具有這種變換關系的物理量稱為二階張量。例如應力張量, 電四極矩等。(3) 二階張量18Tij= Tji二階張量還可以進一步分類對稱張量變換后仍為對稱張量19Tij= -Tji反對稱張量變換后仍為反對稱張量20對稱張量的跡是一個標量21二階張量可以分解為三個部分跡 Tii無跡對稱張量 Tij= Tji , Tii=0,反對稱張量 Tij= -Tji .電四極矩就是一個無跡對稱張量, 它只有5個 獨立分量。22兩矢量和w的標積iwi是一個標量。張量Tij可以和一個矢量j作出乘積Tijjiwi=aijj aikwk = ikjwk = jwj =不變量此式具有矢量的變換關

6、系，因此是一個矢量。Tijj= aik ajl Tkl ajnn = aik lnTkln = aik Tijj23三維坐標轉動是滿足距離不變的線性變換, 即x12+ x22+ x32= x12 + x22 + x32=不變量3. 洛倫茲變換的四維形式24洛倫茲變換是滿足間隔不變的四維時空線性變換x12+ x22+ x32 c2 t2 = x12 + x22 + x32 c2 t2 形式上引入第四維虛數(shù)坐標x4=ict25則間隔不變式可寫為x12+ x22+ x32 + x42 = x12 + x22 + x32 + x42=不變量以后在下角指標中用拉丁字母代表1-3, 希臘字母代表1-4,

7、間隔不變式可寫為x x= xx=不變量26洛倫茲變換是滿足間隔不變性式的四維線性變換x = a x27洛倫茲變換形式上可以看作四維空間的“轉動”, 因而三維正交變換的關系可以形式上推廣到洛倫茲變換中去。須注意的是, 這四維空間的第四個坐標是虛數(shù), 因此它是復四維空間, 不同于實數(shù)的四維歐幾里德(Euclid)空間。28沿x軸方向的特殊洛倫茲變換式的變換矩陣為29逆變換矩陣變換式滿足正交條件30在四維形式中，時間與空間統(tǒng)一在一個四維空間內，慣性參考系的變換相當于四維空間的“轉動”。由于物質在時空中運動，描述物質運動和屬性的物理量必然會反映出時空變換的特點。把三維情形推廣，我們也可以按照物理量在四

8、維空間轉動（洛倫茲變換）下的變換性質來把物理量分類。4. 四維協(xié)變量31四維矢量四維張量u= u洛倫茲標量在慣性系變換下與坐標有相同變換關系32這些物理量(標量、矢量和各階張量)在洛倫茲變換下有確定的變換性質間隔為洛倫茲標量協(xié)變量固有時洛倫茲標量33四維速度矢量U通常意義下的速度ui不是四維矢量的分量通常意義下的速度ui是用參考系的時間量度的位移變換率, ui的變換式不同于洛倫茲變換。因為當坐標系變換時,dxi按四維矢量的分量變換,但dt也發(fā)生改變,因此ui就不按矢量方式變換。34U是用固有時量度的位移變換率U的前三個分量和普通速度聯(lián)系著，當c時即為u,因此稱為四維速度。參考系變換時,四維速度

9、有變換關系35設有一角頻率為,波矢量k為的平面電磁波在真空中傳播。在另一參考系上觀察,該電磁波的頻率和傳播方向都會發(fā)生改變(多普勒效應和光行差效應) 。以和k表示上觀察到的角頻率和波矢量。電磁波的相位因子在另一參考系觀察的相位因子四維波矢量36第一事件：設參考系和的原點在時刻t=t=0重合。在該時刻,兩參考系的原點上都觀察到電磁波處于波峰,相位 = =0。第二事件：在系n個周期(t=2n/ )后,第n個波峰通過系原點,相位 =-2 n 。它在上的時空坐標為(x=0,t= 2n/ ),在上的時空坐標(x,t)可用洛倫茲變換求得,而相位同樣是 = -2n 。相位和的關系37這是因為某個波峰通過某一

10、時空點是一個物理事件,而相位只是計數(shù)問題,不應隨參考系而變。因此,相位是一個不變量相位和的關系38類似x與ict合為四維矢量x,k與i /c合為另一個四維矢量k,它們按四維矢量方式變換,有四維波矢量39在洛倫茲變換下，k的變換式為洛倫茲變換40設波矢量k與x軸方向的夾角為,k與x軸的夾角為,有相對論的多普勒效應和光行差公式41若為光源的靜止參考系，則=0,0為靜止光源的輻射角頻率。運動光源輻射的角頻率其中為光源的運動速度, 為上觀察者看到輻射方向與光源運動方向的夾角。當c時， 1,得經(jīng)典多普勒效應公式42 在垂直于光源運動方向觀察輻射時,經(jīng)典公式給出=0,而相對論公式給出即在垂直于光源運動方向

11、上,觀察到的角頻率小于靜止光源的輻射頻率。這現(xiàn)象稱為橫向多普勒效應。橫向多普勒效應為LvesStilwell實驗所證實,它是相對論時間延緩效應的證據(jù)之一。43設在參考系上觀察,由光源輻射出的光線在xy面上,與x軸有夾角,則設系相對于以速度沿x軸方向運動,在系上觀察到光線與x軸有夾角,光行差公式也可以由速度變換公式導出44光行差較早為天文觀測所發(fā)現(xiàn)(Bradley于1728年) 。如設地球相對于太陽參考系的運動速度為,在上看到某恒星發(fā)出的光線的傾角為=-,在地球上用望遠鏡觀察該恒星時,傾角變?yōu)?- 。由于c,得45 由于地球繞太陽公轉，一年之內地球運動速度的方向變化一個周期，因此，同一顆恒星發(fā)出的光線的表觀方向也變化一個周期。天文觀測證實了這種周期變化，并且由光線表觀方向的改變比較準確地導出光的傳播速度。 在相對論以前的以太理論中，光行差的存在表明地球相對于“以太”運動，但以后的邁克爾孫實驗卻否定了地球相對于“以太”的運動。正是這會總矛盾最后導致以太和絕對參考系的被否定，從而建立狹義相對論的時空觀。465.物理規(guī)律的協(xié)變性四維矢量在參考系變換