矩陣三角分解法

1、一、直接法概述直接法是將原方程組化為一個或若干個三角形方程組的方法，共有若干種對于線性方程組其中系數(shù)矩陣未知量向量1根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若determinantal行列式的記號若用初等變換法求解,則對其增廣矩陣作行初等變換:經(jīng)過n-1次2同解即以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法則都是三角形方程組上述方法稱為直接三角形分解法32 Matrix Factorization Doolittle 道立特分解法 /* Doolittle Factorization */： LU 分解的緊湊格式 /* compact form */反復(fù)計(jì)算,很浪費(fèi)哦 通過比較法直接導(dǎo)出L 和 U 的

2、計(jì)算公式。思路42 Matrix Factorization Doolittle固定 i :對 j = i, i+1, , n 有l(wèi)ii = 1a固定 j ，對 i = j, j+1, , n 有b5上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的 Doolittle法例1. 用Doolittle法解方程組解:由Doolittle分解6Doolittle法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運(yùn)算仍需要較大的存儲空間:7因此可按下列方法存儲數(shù)據(jù):8直接三角分解的Doolittle法可以用以下過程表示:存儲單元(位置)9緊湊格式的Doolittle法10例2. 用緊湊格式的Doolittle法解方

3、程組(例1)解:11所以12Matrix Factorization Choleski 平方根法 /* Choleskis Method */： 對稱 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩陣的分解法定義一個矩陣 A = ( aij )nn 稱為對稱陣，如果 aij = aji 。定義一個矩陣 A 稱為正定陣，如果 對任意非零向量 都成立?；仡櫍簩ΨQ正定陣的幾個重要性質(zhì) A1 亦對稱正定，且 aii 0若不然，則存在非零解，即存在非零解。對任意 , 存在 , 使得 ,即 。 其中第 i 位 A 的順序主子陣 /* leading princip

4、al submatrices */ Ak 亦對 稱正定對稱性顯然。對任意 有 , 其中 。 A 的特征值 /* eigen value */ i 0 設(shè)對應(yīng)特征值 的非零特征向量為 ，則 。 A 的全部順序主子式 det ( Ak ) 0因?yàn)?3一、對稱正定矩陣的三角分解(Cholesky分解)記為14Diagonal:對角15因此所以綜合以上分析,則有16定理1. (Cholesky分解)且該分解式唯一這種關(guān)于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解17二、對稱正定線性方程組的解法線性方程組則線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組18對稱正定方程組的平方根法19例1.用平方根法解對稱正定

5、方程組解:20即21三、平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對稱正定方程組時(shí)不需選取主元由可知因此平方根法是數(shù)值穩(wěn)定的事實(shí)上,對稱正定方程組也可以用順序Gauss消去法求解而不必加入選主元步驟222 Matrix Factorization Tridiagonal System 追趕法解三對角方程組 /* Crout Reduction for Tridiagonal Linear System */Step 1: 對 A 作Crout 分解直接比較等式兩邊的元素，可得到計(jì)算公式。Step 2: 追即解 ：Step 3: 趕即解 ：與G.E.類似，一旦i = 0 則算法中斷，故并非任何三對角陣都可以用此方法分解。23有一類方程組,在今后要學(xué)習(xí)的插值問題和邊值問題中有著重要的作用,即三對角