彩色圓環(huán)circle命題報告

1、【命題思路試題 A：一個環(huán)上有 N 個點，每個點染為 M【命題思路試題 A：一個環(huán)上有 N 個點，每個點染為 M 種顏色之一，求相鄰兩點均不同色的（N1018j 的方案數(shù)，故有fi, j = jj fi 1, j；fi, j, ki jk 故有fi,j,k = kk fi 1,j,k。若令f_sumi,j = k fi,j,k 前ifigi-1;gifi-1*(M-+ gi-1*(M-2)O(1) A B試題 B：一個環(huán)上有 N 個點，每個點染為 M 種顏色之一，求同色連續(xù)段長度均不K 的方案數(shù)（N1018M109B 與試題A AO(N3)fi, f_len, l_leniB 與試題A AO(

2、N3)fi, f_len, l_leni 第fi,f_len,l_len = fi 1,f_len,l_len1 (l_len Kgi 1,f_len,len (l_len = fi,f_len,l_len = gi,f_len,l_len = gi1,f_len,l_len 1(l_len Kfi 1,f_len,len + (M gi,f_len,l_len = (M1) Kgi 1,f_len,len (l_len = 如進(jìn)一步使用部分和優(yōu)化即令f_sumi,j,k len len B C B A NOI 試題 C：一個環(huán)上有 N 個點，每個點隨機(jī)染為 M 種顏色之一。求環(huán)上同色連續(xù)段之

3、積的期望（N200, fi, f_col, l_col,l_lenil_coll_lenfi, f_len, l_leni 續(xù)段顏色相同時所求的期望值(續(xù)段的長度)gif_len,l_leni相異時所求的期望值(續(xù)段的長度),_,_ ,_,_ (_ ,_, 續(xù)段顏色相同時所求的期望值(續(xù)段的長度)gif_len,l_leni相異時所求的期望值(續(xù)段的長度),_,_ ,_,_ (_ ,_, ,_,_ (_ = ,_,_ ,_,_ (_ () ,_,+,_,) (_ = _,_ =,_, ,_ _,_,_ 上述計算完畢后，只需再計算_,_,_ (_ + _) _,_ _ _ , _= ,_,_ =

4、 ( _ +_ ,_,_ (_ = _ = ,_,_ = ( _ +_ O(N3)O(1)C fi+j+kjkj, k O(N)和降為 O(1)C 即最終的試題彩色圓環(huán)(circle)C O(N)C D試題D：一個環(huán)上有N 個C 即最終的試題彩色圓環(huán)(circle)C O(N)C D試題D：一個環(huán)上有N 個點，每個點染為 M 種顏色之一。求所有環(huán)狀上同續(xù)段長度之積的期望值，結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)形式（N2000, C 簡潔地實現(xiàn)。本題是試題 C 【考查要點【數(shù)據(jù)設(shè)計103060 【期望得分NOI NOI 30%20 5%10 【感謝B 的【期望得分NOI NOI 30%20 5%10 【感謝B 的 【

5、附錄一彩色圓環(huán)(circle)彩色圓環(huán)時間限制：1 秒AN 顆彩色寶石，閃A 很愛惜這個圓環(huán)，天天把它帶在身邊。A 突然發(fā)現(xiàn)圓環(huán)上寶石的顏色是會變化的。他十分驚訝，仔細(xì)觀概率地MA發(fā)現(xiàn)了這個又經(jīng)過了一段時間，小 A 發(fā)現(xiàn)因為圓環(huán)上寶石的顏色不斷變化，圓環(huán)有時A 這樣定義圓環(huán)的“美觀程度1. 設(shè)圓環(huán)上相同顏色的連續(xù)段a1a22. 定義圓環(huán)的“美觀程度Ra1 *a2 * 2. 定義圓環(huán)的“美觀程度Ra1 *a2 * ana1= 3,a2 = 2, a3 = 1R= 6A想知道，在上述前提下，圓環(huán)的“美觀程度”的期望值E(R)是多少。因為如果知道了 E(R)，他就可以判斷每天變化出的新圓環(huán)是否比一般

6、情況circle.out E(R)，表示圓環(huán)的“美 3 200 20%1N, M 50%1N, M 100%1N 200, 1 M 109對每個測試點，若你給出的 E(R)與標(biāo)準(zhǔn)程序給出的 E(R)的相對誤差不超10-7，則該測試點得滿分；否則該測試點。 10-7，則該測試點得滿分；否則該測試點。 .說明：相對誤二彩色圓環(huán)(circle)【時空限制1 64M【問題描述N M 【數(shù)據(jù)規(guī)模和約定20%1NM50%1NM100%1N200, 1 M109【算法描述 續(xù)段的顏色col，長度len 所求的期望值(暫不乘續(xù)段的長度)。遞推公式fi 1,col,len (len =M 續(xù)段的顏色col，長度

7、len 所求的期望值(暫不乘續(xù)段的長度)。遞推公式fi 1,col,len (len =M fi1,col,lencol fi,col,len (len = M_, , 續(xù)段的顏色為f_colf_len，當(dāng)前最續(xù)段顏色為 l_col，長度為 l_len 時所求的期望值(暫不乘續(xù)段的長度)遞推公式和鏈的遞推公式大致相同樣可以使用部分和優(yōu)化和最注意到這樣的遞推設(shè)計使得僅狀態(tài)總數(shù)就高達(dá) O(N3M2)f_col 確定的情況下，任何f_col 不等l_col 的值都是等價的。進(jìn)一關(guān)的只f_coll_col的異同，而并非f_col l_col 的具體取值fi, f_len, l_len表示考慮了i 個點

8、續(xù)段的長度為 f_len，當(dāng)前最后一連續(xù)段的長l_len續(xù)段顏色相同時所求的期望值(暫不續(xù)段與最續(xù)段的長度)gi, f_len, l_len表示考慮了i 個點以第一個和續(xù)段的長度為 f_len，當(dāng)前最續(xù)段的長度為 l_len續(xù)段與續(xù)顏色相異時所求的期望值(暫不乘以第一個和最續(xù)段的長度)。從而有遞推fi 1,f_len,l_lenfi,f_len,l_len (l_len Mgi 1,f_len,len Mfi,f_len,l_len (l_len = gi1,f_len,l_len (l_len gi,f_len,l_len M1gi,f_len,gi 1,f_len,len Mfi,f_le

9、n,l_len (l_len = gi1,f_len,l_len (l_len gi,f_len,l_len M1gi,f_len,l_len (M2)gi1,f_len,lenlen +(MMfi 1,f_len,len len + fi 1,f_len,i (l_len = ,_, _,_ =,_ _,_,_ 上述計算完畢后，只需再計算_,_,_ (_ + _) _= _,_ _ _ , fi,f_len,l_len = 0 (i f_len+l_len 1fi,f_len,l_len (f_len = l_len = gi,f_len,l_len = 0 (i f_len+ l_len

10、O(N3)O(1)考慮到試題的思維難度和編寫難度，本題的數(shù)據(jù)規(guī)模使得 O(N3)首先 可以發(fā)現(xiàn),_ ,_ (_ )l_len 嘗試削去冗余，用fi, f_len表示考慮了前i 個點，續(xù)段長度為 f_len，第一連續(xù)段與第i 個點之后的續(xù)段同色時所求的積的和gi, f_len表示考慮了前i 個點續(xù)段長度為 f_len，續(xù)段與第i 個點之后的第續(xù)段異色時所求的的和。從而= gi,f_len (i gi,f_len = (M2)gi,f_len(ii)+(M1)fi,f_len (i iifi,fi,f_len f_sumi,f_len = mi,f_len = iigi,gi,iifi,fi,f_len f_sumi,f_len = mi,f_len = iigi,gi,f_len g_sumi,f_len = mi,f_len = ,_ = ,_ (_ )f_len f_len 用 fi表示考慮了續(xù)段之后的i個點，續(xù)段與第 i 個點之后的第連續(xù)