熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第九章答案

1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第九章答案【篇一：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理 課后習(xí)題 答案】t8.4求弱簡并理想費(fèi)米玻色）氣體的壓強(qiáng)公式.解：理想費(fèi)米玻色）氣體的巨配分函數(shù)滿足ln?lln1?e?ll?在弱簡并情況下：2?v2?v3/23/22ln?g3?2m?1/2ln1?e?ld?g3?2m?d?3/2ln1?e?l30hh0?2?v3/22?3/2?g3?2m?ln1?e?l3?h?0?3/2dln1?e?l?2?vd?3/22 ?g3?2m?3/2?l 30he?1與（8.2.4）式比較，可知ln?再由（828）式，得3/23/2?1n?h2?1?h2?nkt?1?ln?nkt?1?v2?mkt?2?mkt?42

2、?42?2?u 3?e?n?h2?v?2?mkt?3/2?3/2h2?n? ?e?v?t?2?mkt?n?n v3/23/2?1?n?h2?n?n?h2?p?ln?kt?1?nkt?1?v2?mkt?t2?mkt?t? ?42?42?8.10試根據(jù)熱力學(xué)公式s?熵。解：(8-4-10式給出光子氣體的內(nèi)能為u? cv?u?dt及光子氣體的熱容量c?，求光子氣體的v?t?t?v?2k415c3?4vt-1) 3(2)則可以得到光子氣體的定容熱容量為(2)則可以得到光子氣體的定容熱容量為cv?(33?t15c?根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式(2-4-5)，有 s? cv?p dt?()vdv?

3、s0-)t?t取積分路線為(0，v)至(t，v)的直線，即有 t4?2k44?2k423 s?vtdt?vt-)- 3333?015c?45c?其中已經(jīng)取積分常量s0為零。8.試證明一維和二維理想玻色氣體不存在玻色凝聚現(xiàn)象.1d?d?n（1）v?e?/ktc?11/2對于一維和二維理想玻色氣體，由第六章習(xí)題可知分別有: 2l?m?維：d?d?h?2?d?2?l2md?二維：d?d?2h 解: 0k時(shí)電子的最大能量 ?2?2n?0?3?2m?v?2/3?1.055?10?3?342?312?9.1?10?5.9?10282/3?8.9?10?19j?5.6ev202?8.9?10?19j6?1最

4、大速率 v? ?14?10m?s?31 m9.1?102n?0?2?5.9?1028?2/38.9?10?19?2.1?1010pa5v58.15試求絕對零度下電子氣體中電子的平均速率。0k時(shí)的簡并壓p?證明：根據(jù)式子（8-5-4），絕對零度下自由電子氣體中電子動(dòng)量大 小的分布為f=1p?pff=0ppf-）其中pf是費(fèi)米動(dòng)量，即0k時(shí)電子的最大動(dòng)量。因此電子的平均動(dòng) 量為8?v3h?8vh3?pf0pf14pf3?pfr 134p2dppf3p3dp3p3?f?vf-r-r m4m4因此電子的平均速率為？8.20假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，面密度為n.試求0 k時(shí)二 維電子氣體的費(fèi)米能量、

5、內(nèi)能和簡并壓.4?12d?d?2md?h所以0k時(shí)電子的最大能量由下式確定：?0?4?12?n 2hh2nh2?0?n 24?m14?m內(nèi)能4?12u?0?2mh2?0?4?12?2?0?1?4?m12?212?0? ?d?2m?n?0?n?2?22?hn?2h對于二維電子氣體，v = 121?2?2?12222?1?n?n?2?n?n?xyxy?2m2m?1?v?1?l?l?1?2?2nx2?ny2?v?2?vv?2m?所以0k時(shí)的簡并壓p?all?u1?l?all?n?0? ?vvv2l8.22試根據(jù)熱力學(xué)公式s?cv?tdt及低溫下的熱容量，求金屬中自由電子氣體的熵。解：根據(jù)式(8-5-

6、19)給出低溫下金屬中自由電子氣體的定容熱容量為?2kt(1) cv?nk2?(0)根據(jù)熱力學(xué)關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達(dá)式(2-4-5)，有s?cv?pdt?()vdv?s0(2) t?t取積分路線為(0，v)全(t，v)的直線，即有?2nk2t?2kt(3) s?dt?nk?02?(0)2?(0)其中已取積分常量s0為零。8.23試求低溫下金屬中自由電子氣體的巨配分函數(shù)的對數(shù)，從而求 電子氣體的壓強(qiáng)、內(nèi)能和熵。解：根據(jù)式(8-1-13)，自由電子氣體巨配分函數(shù)的對數(shù)可表達(dá)為ln?lln1?el?l?4?v3/2?3?2m?1/2ln1?e?ld?h0?4?v?3h?2m?3/2?x1/2ln1

7、?e?xldx(1)?其中第二步用了(6-2-17)式，第三步做了變數(shù)變化?=x將上式的積分分為兩段：4?vln?3h?2m?3/2?x1/2ln1?e?xl?dx?x?1/2ln1?e?xldx(2)?在第一個(gè)積分中將對數(shù)函數(shù)改寫為ln1?e?xl?lne?xl?ln1?e?xl?(?x)?ln1?e?xl?(?x)?ln1 ?e?其中?(?x)。在第二個(gè)積分中作變數(shù)變換？?x，(2)式可改寫為?4?vln?3h?2m?3/25415(?)?i1?i2-15其中i1?ln?1?e?(?)?ld?i2?lln1?e(?)d?(4) ?0?在低溫?kt?1的情形下，訂和i2可近似為?li1?i2

8、?ln1?e?(?)d?(?)?0n?1(?1)n?1?n?ed? n?(?)?n?1?(?1)n?2(-_ ?(?)212n16?v于是ln?15h3?2m?3/25?2(?)(1?)-8?23/2根據(jù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)中熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式可得?8?v?2m?ln?3?3h?2? TOC o 1-5 h z (?)(1?)粉-28?u?3ln?ln? ?2?P?1?1ln?ln? ?v?v?5ln?ln?)?k(ln?)-) ?2u?k(ln?由于在低溫下?kt?1，作為第一級近似可以略去式(7)中的第二項(xiàng)而有3/2?8?v?2m?ln?3?3h?(?)?2?(0)2n即? (3?)?2mvkt計(jì)及

9、(7)式的第二項(xiàng)，可將(7)式改寫為222?2?n?2n2?(3?)?(1?2)?(3?)?(1?) 2 2mv2mv8?12? 再將上式中第二項(xiàng)的?用第一級近似代入，得?(0)kt1?2kt2-12-12?(0)或?？(0)1?2kt2-，12?(0)(13)式與(8-5-17) 致。用式(7)除式(6),并將(12)式代入可將ln?表示為，t ?(0) 的函數(shù)2?(0)?2kt2?2kt22?(0)5?2kt2 ln?1?1?1?-(14)5kt12?(0)2?(0)5kt12?(0)代回式(8),(9),(10)即得35?2kt2u?(0)1?口(15)512?(0)【篇二：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)

10、物理課后答案-副本】ass二txt選用教材：汪志誠主編，高等教育出版社第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)？，壓強(qiáng)系數(shù)?和等溫壓縮系數(shù)kt。 1?p?1nr1? ?p?t?vpvt金屬絲的截面積。一般來說，？和尸是t的函數(shù)，對僅有微弱的依 賴關(guān)系。如果溫度變化范圍不大，可以看作常量。假設(shè)金屬絲兩端 固定。試證明，當(dāng)溫度由t1降至t2時(shí)，其張力的增加為：？ ?ya?t2?t1?。解：由 f?l, t? , l t?0，可得：? ?微分為：d?dl?dt，由題意可知：dl?0。 ?l?t?t?l即：d?aydt，積分得：？?-?ay(t2-t1)1.7在 25C下，壓強(qiáng)在0至100

11、0pn之間，測得水的體積為： v?18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2cm3.mol?1。如果保持溫度不變，將1 mol的水從1 pn加壓至1000 pn，求外界所作的功。 解：將體積與壓強(qiáng)的關(guān)系簡記為：v?a?bp?cp2，求導(dǎo)可得： dv?b?2cp?dp溫度不變，將1 mol的水從1 pn加壓至1000 pn,此過程中外界所作的功為：?vbpb2?1?1 w?pdv?p?b?2cp?dp?bp2?cp3?1000?33.1j.mol1vapa3? 2?1.1 0抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入。當(dāng)壓強(qiáng)達(dá) 到外界壓強(qiáng)p0時(shí)將活門關(guān)上。試證明：小匣內(nèi)的空氣

12、在沒有與外界 交換熱量之前，它的內(nèi)能u與原來大氣中的U0之差為u?u0?p0v0 ， 其中v0是它原來在大氣中的體積。若氣體是理想氣體，求它的溫度 和體積。解：假設(shè)氣體沖入小匣之前的狀態(tài)為（p0，v0,t0），內(nèi)能是u0。 氣體沖入小匣后的狀態(tài)為（p0，v,t，這時(shí)的內(nèi)能為u；外界對氣 體所做的功為：p0dv0 o由熱力學(xué)第一定律：?u?q?w ，q?0，可 得：？u?u0?p0dv0 v00即：u?u0?p0v0（證畢），理想氣體的內(nèi)能：u?u0?cv?t?t0?，由物態(tài)方程：p0v0?rt0 ?du?pdv?dv?證明：cn?cv?p?（1）dt?dt?n?n?dt?n由理想氣體的物態(tài)方程

13、pv?rt,可得：pdv?vdp?rdt （2） 以及理想氣體多方過程pvn?c，可得：pnvn?1dv?vndp?0 pndv?vdp?0 （3），用（2）式減（3 ）式可得：pdv?pndv?rdt , rr?dv? （4）,將（4）式代入（1）式可得：cn?cv?（5） ?1?n?dt?n1?npcp1.9試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量cn如果是常數(shù)，該過 程一定是多方過程，多方指數(shù)n?cn?cpcn?cv。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：由熱力 學(xué)第一定律：du?，對于理想氣體：du?cvdt ,而?pdv , ?cndt。 代入可得：cvdt?cndt?pdv即：?

14、cn?cv?dt?pdv （1），理想氣體的物態(tài)方程：rt?pv （2） 由（1）式和（2）式可得：（cn?cv）將理想氣體物態(tài)方程的全微分：dtdv?r （3） tvdpdvdtdt?，代 入（3）式，消去，pvtt可得（cn?cv）dpdvc?cp?（cn?cp）?0 :令： n?n pvcn?cv即：dpdv?n?0，若cn, cp, cv都是常量，則積分得：pvn?c pv 證明了該過程是多方過程。1.17溫度為00的1 kg水與溫度為100C的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫 達(dá)到100 0。試分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從0C升至100C?已

15、知水的 比熱容為 4.18 j?g?1?k?1。解：為了求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源。其 溫度分布在0C與100 0之間。令水依次從這些熱源吸收熱量，使水溫由01升至100C。在這可逆過程中，水的熵變?yōu)椋?73?s水？ mcpdtt273?mcpln373373?103?418?ln?13046j?k?1273273這一過程中水所吸收的總熱量q為：q?mcp?t?1000?4.18?373?273?4.18?105j為求熱源的熵變，假設(shè)熱源向溫度比100 0略低的另一熱源放出熱 量q。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)椋海?，熱?.18?105?j?k?1?1120.6j?k?1

16、, 373整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?s總?s水?s熱源?184j?k?1。為使水溫 從00升至1000而整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，將水逐個(gè)與溫度分布在00與100 0之間的一系列熱源接觸。這一系列熱源的熵變之和為:?，熱 源？mcpdt373373?mcpln?1000?4.18?ln?13046j?k?1273t273273373整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?s總?s水?s熱源?01.18 10的電流通過一個(gè)25 ?的電阻器，歷時(shí)1 &(i)若電阻器 保持為室溫270，試求電阻器的熵增加值。(i)若電阻器被一絕熱 殼包裝起來，其初溫為270，電阻器的質(zhì)量為10 g,比熱容cp為 0.84j?g?1?k?1，

17、問電阻器的熵增加為何？解：(i)以t，p為狀態(tài)參量，該過程是等壓過程，如果電阻器的 溫度也保持為室溫270不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持 不變。(i)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的熱量q將全部被電 阻器吸收使其溫度由t1升為t2,即：i2rt?mcp?t2?t1?。【篇三：熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第四版汪志誠課后答案】xt1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)?，壓強(qiáng)系數(shù)?和等溫壓縮系數(shù)?？。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為pv?nrt, (1)由此易得?1?v?nr1?, (2) ?v?t?ppvt?1?p?nr1?, (3) ?p?t?vpvt?t?1?v?1?nrt?1?.(4) v?p?t?v

18、?p2?p1.2證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量t,p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí) 驗(yàn)測得的體脹系數(shù)?及等溫壓縮系數(shù)?？，根據(jù)下述積分求得： 如果?,？t?1t1，試求物態(tài)方程。p解：以t,p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為v?v?t,p?,其全微分為?v?v?dv?dt?dp. (1) ?t?p?p?t全式除以v，有dv1?v?1?v?dt?dp. ?vv?t?pv?p?t根據(jù)體脹系數(shù)?和等溫壓縮系數(shù)?t的定義，可將上式改寫為1dv?dt?tdp. (2) v上式是以t,p為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 lnv?dt?tdp?. (3)若？ ？t? ,1t1，式(3)可表為p?11?lnv

19、?dt?dp?. (4)p?t選擇圖示的積分路線，從（t0,p0積分到?t,p0?，再積分到（t,P）, 相應(yīng)地體積由v0最終變到v，有l(wèi)nvtp=ln?ln, v0t0p0即pvp0v0，?c （常量）tt0或pv?式（5）就是由所給?,？t?實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。2（5） c. t1t1求得的物態(tài)方程。確定常量c需要進(jìn)一步的p1.3在0?c和1pn下，測得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別 為?5?1?7?4.85?10k和？t?78?10pn?1?.和?t可近似看作常量，今使銅塊 加熱至10?c。問：（a）壓強(qiáng)要增加多少9。才能使銅塊的體積維持不變？（b ）若壓 強(qiáng)增加100pn，銅塊的體積改變多少

20、？?S：（a）根據(jù)1.2題式（2），有dv?dt?tdp. （1） v上式給出，在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差dv,溫度差dt和 壓強(qiáng)差dp之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，dp與dt的關(guān)系為 dp?dt. （2） ?t在?和?t可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得p2?p1?t?t?. （3） ?t21將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過程后，系 統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只 要初態(tài)?v,t1?和終態(tài)? v,t2?是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿 足式（3）。這是因?yàn)?，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具 有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的

21、歷史無關(guān)。本題討論的銅塊加熱的 實(shí)際過程一般不會是準(zhǔn)靜態(tài)過程。在加熱過程中，銅塊各處的溫度 可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和 終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得4.85?10?5p2?p1?10?622pn. ?77.8?10因此，將銅塊由0?c加熱到10?c，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng) 要增強(qiáng)622pn（b）1.2題式（4）可改寫為?v?t2?t1?t?p2?p1?.（4） v1將所給數(shù)據(jù)代入，有3?v?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4.因此，將銅塊由0?c加熱至10?c，壓強(qiáng)由1pn增加100pn，銅塊 體積將增加原體積的4.07?10?4倍。1.4簡單固體和液體的體脹系數(shù)?和等溫壓縮系數(shù)?t數(shù)值都很小，在 一定溫度范圍內(nèi)可以把？和?七看作常量.試證明簡單固體和液體的物 態(tài)方程可近似為v（t,p）?