浮點數(shù)的運算方法

1、浮點數(shù)的運算方法第1頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)在計算機內(nèi)的格式浮點數(shù): X = MS ES Em-1 .E2 E1 M-1M-2.M-n 符號位 階碼位 尾數(shù)數(shù)碼位 總位數(shù) 短浮點數(shù): 1 8 23 32長浮點數(shù): 1 11 52 64 臨時浮點數(shù): 1 15 64 80IEEE 標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2；尾數(shù)用原碼X = MX * 2EX浮點數(shù)的階碼的位數(shù)決定數(shù)的表示范圍， 尾數(shù)的位數(shù)決定數(shù)的有效精度。第2頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)在計算機內(nèi)的格式浮點數(shù): X = M E E .E E M M .M ssm-110-

2、1-2-nIEEE 標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼X = MX * 2EX 浮點數(shù)是數(shù)學(xué)中實數(shù)的子集合，由一個純小數(shù)乘上一個指數(shù)值來組成。在計算機內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱為浮點數(shù)的尾數(shù)，對非 0 值的浮點數(shù)，要求尾數(shù)的絕對值必須 = 1/2，稱滿足這種表示要求的浮點數(shù)為規(guī)格化表示； 把不滿足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿足這一要求的尾數(shù)的操作過程，叫作浮點數(shù)的規(guī)格化處理，通過尾數(shù)移位和修改階碼實現(xiàn)。第3頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)在計算機內(nèi)的格式浮點數(shù): X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2-nIEEE 標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼X = MX * 2EX 按國

3、際電子電氣工程師協(xié)會規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，浮點數(shù)的尾數(shù)要用原碼表示，即符號位 Ms: 0 表示正，1 表示負，且非 0 值尾數(shù)數(shù)值的最高位 M-1 必為 1, 才能滿足浮點數(shù)規(guī)格化表示的要求； 既然非 0 值浮點數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為 1，則在保存浮點數(shù)到內(nèi)存前，通過尾數(shù)右移, 強行把該位去掉, 用同樣多的尾數(shù)位就能多存一位二進制數(shù)，有利于提高數(shù)據(jù)表示精度，稱這種處理方案使用了隱藏位技術(shù)。 當(dāng)然，在取回這樣的浮點數(shù)到運算器執(zhí)行運算時，必須先恢復(fù)該隱藏位。第4頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)在計算機內(nèi)的格式X = Ms Es Em-1 .E1 E0 M-1 M-2 .M-

4、n IEEE 標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2X = MX * 2EX 按國際電子電氣工程師協(xié)會規(guī)定的國際通用標(biāo)準(zhǔn)，浮點數(shù)的階碼用整數(shù)給出，并且要用移碼表示，用作為以 2為底的指數(shù)的冪。既然該指數(shù)的底一定為 2 ，可以不必在浮點數(shù)的格式中明確表示出來， 只需給出階碼的冪值即可。 移碼表示只用于表示整數(shù)，只用在浮點數(shù)的階碼部分，其定義類似于整數(shù)的補碼定義，差別在符號位。 移碼的符號位是 0 表示負，1 表示正，與補碼的符號位正好相反，移碼是指機器數(shù)在數(shù)軸上有個移位關(guān)系； 移碼的數(shù)值位則與補碼的數(shù)值位完全相同。第5頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)格式：關(guān)于移碼的知識浮點數(shù):

5、 X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2-nX = MX * 2EX移碼表示只用于表示整數(shù)，只用在浮點數(shù)的階碼部分。一位符號位和 n 位數(shù)值位組成的移碼, 其定義為；E移 = 2n + E -2n=E2n 表示范圍： 00000000 111111110負數(shù)正數(shù)機器數(shù)X補 =X 0 X 2n 2n+1 + X -2n X 0第6頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)格式：關(guān)于移碼的知識一位符號位和 n 位數(shù)值位組成的移碼, 其定義為；E移 = 2n + E -2n=E2n 表示范圍： 00000000 11111111 負數(shù) 正數(shù) 機器數(shù)0

6、 移碼只執(zhí)行二數(shù)的加減運算與增 1、 減 1 操作。加減運算時，符號位計算結(jié)果求反后, 才是加減運算的正確符號位的值。注意:當(dāng)用雙符號位時，00代表負，01代表正，而不是11代表正 8 位的階碼能表示-128+127，當(dāng)階碼為-128時，其補碼表示為 00000000，該浮點數(shù)的絕對值2-128,人們規(guī)定此浮點數(shù)的值為零，若尾數(shù)不為 0 就清其為 0，并特稱此值為機器零。8 位移碼表示的機器數(shù)為數(shù)的真值在數(shù)軸上向右平移了 128 個位置-128+127第7頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)在計算機內(nèi)的格式浮點數(shù): X = M E E .E E M M .M ssm

7、-110-1-2-nIEEE 標(biāo)準(zhǔn)：階碼用移碼，基為2；尾數(shù)用原碼X = MX * 2EX階碼用移碼，尾數(shù)用原碼表示浮點數(shù)的好處：(1) 機器零為浮點數(shù)的所有各位均為零； (2) 二浮點數(shù)比大小時，可不必區(qū)分階碼位 和數(shù)據(jù)位，可視同比二定點小數(shù)一樣對待第8頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)算術(shù)運算（1）對階操作，求階差： E= EX -EY， 使階碼小的數(shù)的尾數(shù)右移E位， 其階碼取大的階碼值；（2）尾數(shù)加減；（3）規(guī)格化處理；（4）舍入操作，可能帶來又一次規(guī)格化；（5）判結(jié)果的正確性，即檢查階碼上下溢出EXX = MX * 2 EYY = MY * 2 浮點數(shù)加減

8、運算第9頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)加運算舉例X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100）寫出X、Y的正確的浮點數(shù)表示： 階碼用 4 位移碼 尾數(shù)用 9 位原碼 （含符號位 ） （含符號位 ） X浮 = 0 1010 11011011 Y浮 = 1 1100 10101100為運算方便，尾數(shù)寫成模 4 補碼形式： MX補= 00 11011011 MY補= 11 01010100 第10頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)加運算舉例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10

9、101100）（1）計算階差： E = EX -EY= EX +(-EY) = 1 010 + 0 100 = 0 110 注意：階碼計算結(jié)果的符號位在此變了一次反，結(jié)果為 -2 的 移碼，是X的階碼值小，使其取 Y 的階碼值1100（即 +4）； 因此，修改 MX補 =00 0011011011（即右移 2 位）（2）尾數(shù)求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011第11頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)加運算舉例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100）（3）規(guī)格化處理： 相加結(jié)

10、果的符號位與數(shù)值的最高位同值，應(yīng)執(zhí)行一次左規(guī)操作,故得 MX補 = 1 000101011，EX移 = 1 011（4）舍入處理：采用 0 舍 1 入方案，要入，在最低位加 1 11 00010101 + 00 00000001 11 00010110 （其原碼表示為 1 11101010） （5）檢查溢出否：和的階碼為 1011，不溢出計算后的 X移 = 1 1011 11101010 ，即 23*(-0.11101010)第12頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)算術(shù)運算(1) 階碼加、減：乘：EX+EY ，除：EX- EY(2) 尾數(shù)乘、除：乘：EX*EY ，

11、 除：EX / EY(3) 規(guī)格化處理；(4) 舍入操作，可能帶來又一次規(guī)格化；(5) 判結(jié)果的正確性，即檢查階碼上下溢出EXX = MX * 2 EYY = MY * 2 浮點數(shù)乘除運算第13頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)乘法運算舉例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101）寫出X、Y的正確的浮點數(shù)表示： 階碼用 4 位移碼 尾數(shù)用 9 位原碼 （含符號位 ） （含符號位 ） X浮 = 0 1010 1011 Y浮 = 1 1100 1101第14頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)乘運算舉例 X=2010*

12、0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）階碼相加： 積的階碼 = EX + EY = 1 010 + 1 100 = 1 110 注意：計算結(jié)果的階碼符號位在此變了一次反， 結(jié)果為 +6 的 移碼 （2）尾數(shù)相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是規(guī)格化數(shù), 不必舍入, 也不溢出 最眾乘積 MX移 = 1 1110 10001111， 即 26 * （-0.10001111）第15頁，共16頁，2022年，5月20日，12點32分，星期四浮點數(shù)除運算舉例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）階碼相減： 積的階碼 = EX - EY = EX + (-EY) = 1 01