機械振動與波動

1、機械振動與波動第1頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四1、簡諧振動的定義X0 x令以彈簧振子研究建 立 如 圖的 坐 標系 物體 質(zhì) 量 m, 坐 標 x 所 受 回 復(fù) 力 為 F.此方程的通解為：有一、簡諧振動第2頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 振幅 周期、頻率彈簧振子周期 周期 頻率 圓頻率周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)注意圖2. 描述簡諧振動的特征量 相位( t + ) 是 t 時刻的相位 ， 是 t =0 時刻的相位 初相第3頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四相位的意義: 相位已知則振動狀態(tài)已知,相位每改變 2

2、振動重復(fù)一次. 相位 2 范圍內(nèi)變化,狀態(tài)不重復(fù). txOA-A = 2 相位差 第4頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四當 = 2k 兩振動步調(diào)相同,稱同相。xtoA1-A1A2- A2x1x2T同相當 = (2k+1) 兩振動步調(diào)相反 , 稱反相。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相第5頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 超前和落后 t xOA1-A1A2- A2x1x2若 = 2- 1 0 , 則 x2 比 x1 早 達到正最大 , 稱 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。End第6頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1

3、分，星期四3. 速度和加速度 第7頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四4.簡諧振動方程的求法第8頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四振動相位逆時針方向 M 點在 x 軸上投影(P點)的運動規(guī)律： 的長度 旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x 的夾角振幅 A振動圓頻率5、旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧振動第9頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四旋轉(zhuǎn)矢量法特點:直觀方便 t + oxxtt = 0va第10頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四6.簡諧振動的合成同方向同頻率的簡諧振動的合成1. 分振動 : 2. 合振動 :解析法結(jié)論：合振動 x

4、 仍是簡諧振動第11頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動 旋轉(zhuǎn)矢量合成法第12頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四討論: (1)若兩分振動同相,即 2 1=2k (k=0,1,2,)則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強，當 A1=A2 時 , A=2A1(2)若兩分振動反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,)則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱，當 A1=A2 時, A=0第13頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 例1 一質(zhì)量為 的物體作簡諧運動，其振幅為 ，周期為 ，起始時刻

5、物體在處，向 軸負方向運動（如圖）.試求 （1） 時，物體所處的位置和所受的力； 解第14頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四代入第15頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四代入上式得第16頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 （2）由起始位置運動到 處所需要的最短時間. 方法一 設(shè)由起始位置運動到 處所需要的最短時間為第17頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四解法二起始時刻 時刻第18頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 2.條件 第二節(jié) 波動一. 機械波的產(chǎn)生 二. 橫波和縱波介質(zhì)質(zhì)點的振動方向與波傳播

6、方向相互垂直的波；如柔繩上傳播的波。介質(zhì)質(zhì)點的振動方向和波傳播方向相互平行的波；如空氣中傳播的聲波。波源：作機械振動的物體橫波：縱波： 1.定義機械波:機械振動以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠地傳播出去，就形成機械波。彈性介質(zhì)：承擔傳播振動的物質(zhì)第19頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四橫波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向相垂直的波. 橫波與縱波 特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.第20頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.第21頁，共43頁，2022年，5月

7、20日，3點1分，星期四振動曲線ty結(jié)論1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9橫 波縱 波(1) 波動中各質(zhì)點并不隨波前進；yx波動曲線(2) 各個質(zhì)點的相位依次落后,波 動是相位的傳播；(3) 波動曲線與振動曲線不同。第22頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四波面三. 波面和波線在波傳播過程中，任一時刻媒質(zhì)中振動相位相同的點聯(lián)結(jié)成的面。沿波的傳播方向作的有方向的線。球面波柱面波波面波線波面波線在各向同性均勻媒質(zhì)中，波線波面。波面波線波前在某一時刻，波傳播到的最前面的波面。波線注意xyz第23頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四

8、同一波線上相鄰兩個相位差為 2 的質(zhì)點之間的距離；即波源作一次完全振動，波前進的距離。四.波長 周期 頻率和波速波前進一個波長距離所需的時間。周期表征了波的時間周期性。單位時間內(nèi)，波前進距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關(guān)系為振動狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播速度。波速與波長、周期和頻率的關(guān)系為波長反映了波的空間周期性。第24頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四(1) 波的周期和頻率與媒質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)；一般情況下，與波源振動的周期和頻率相同 。a. 拉緊的繩子或弦線中橫波的波速為： b. 均勻細棒中，縱波的波速為：(2) 波速實質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度； 其大小主要決定于媒質(zhì)的性質(zhì)

9、，與波的頻率無關(guān)。說明 張力 線密度 固體棒的楊氏模量 固體棒的密度例如：第25頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四波面為平面的簡諧波五. 簡諧波1.簡諧波 簡諧振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播，波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)點作同頻率的諧振動。本節(jié)主要討論在無吸收（即不吸收所傳播的振動能量）、各向同性、均勻無限大媒質(zhì)中傳播的平面簡諧波。2.平面簡諧波平面簡諧波說明簡諧波是一種最簡單、最基本的波，研究簡諧波的波動規(guī)律是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。第26頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四（一） 平面簡諧波的波函數(shù)一般波函數(shù)yxxPO簡諧振動從時間看, P 點 t 時刻的位移是O 點簡

10、諧振動平面簡諧波的波函數(shù)時刻的位移;從相位看，P 點處質(zhì)點振動相位較O 點處質(zhì)點相位落后設(shè)波源在坐標原點P 為任意點(波函數(shù))第27頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四波函數(shù)的其它形式若波沿軸負向傳播時，同樣可得到波函數(shù):其 它 形 式第28頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四（二）. 波函數(shù)的物理意義t1時刻的波形Oyx(2) t 給定，y = y(x) 表示 t 時刻的波形圖(3) y 給定, x和 t 都在變化，表明波形傳播和分布的時空周期性。 (1) x 給定，y = y (t) 是 x 處振動方程t1+t時刻的波形x1第29頁，共43頁，2022年

11、，5月20日，3點1分，星期四 由波函數(shù)可知波的傳播過程中任意兩質(zhì)點 x1 和 x2 振動的相位差為 x2x1, 0，說明 x2 處質(zhì)點振動的相位總落后于x1 處質(zhì)點的振動；討論第30頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四如圖，在下列情況下試求波函數(shù)：(3) 若 u 沿 x 軸負向，以上兩種情況又如何？例1 (1) 以 A 為原點；(2) 以 B 為原點；BA已知A 點的振動方程為：在 x 軸上任取一點P ，該點 振動方程為：波函數(shù)為：解PBA第31頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四(2) B 點振動方程為：(3) 以 A 為原點：以 B 為原點：波函數(shù)為:

12、第32頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為比較法(與標準形式比較）標準形式波函數(shù)為比較可得例2解(1) 波的振幅、波長、周期及波速； (2) 質(zhì)點振動的最大速度。求第33頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四(2)第34頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 知某一時刻波前，可用幾何方法決定下一時刻波前；例如R1R2S1S2O六. 波的傳播與疊加（一）.惠更斯原理：(1) 行進中的波面上任意一點都 可看作是新的子波源；(3) 各個子波所形成的包絡(luò)面，就是原波面在一定時間內(nèi)所傳播到的新波面。(2) 所有

13、子波源各自向外發(fā)出許多子波；第35頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四(二). 波的疊加原理1. 波傳播的獨立性2. 疊加原理當幾列波在傳播過程中在某一區(qū)域相遇后再行分開，各波的傳播情況與未相遇一樣，仍保持它們各自的頻率、波長、振動方向等特性繼續(xù)沿原來的傳播方向前進。 在波相遇區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)點的振動，為各波單獨存在時所引起的振動的合振動。v1v2第36頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四 波的疊加原理 幾列波相遇之后， 仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣. 在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振

14、動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和.第37頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四(三). 波的干涉1.干涉現(xiàn)象 3.相干波2.相干條件頻率相同、振動方向相同、相位差恒定。一般情況下，各個波的振動方向和頻率均不同，相位關(guān)系不確定，疊加的合成波較為復(fù)雜。當兩列（或多列）相干波疊加的結(jié)果，其合振幅 A 和合強度 I 將在空間形成一種穩(wěn)定的分布，即某些點上的振動始終加強，某些點上的振動始終減弱。 波的干涉4.相干波源滿足相干條件的波產(chǎn)生相干波的波源第38頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四5.干涉規(guī)律根據(jù)疊加原理可知，P 點處振動方程為S1S2 合振動的振幅PP P 點處波的強度第39頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四相位差當干涉加強當干涉減弱 空間點振動的情況分析第40頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四討論干涉加強(1) 若(2) 若干涉減弱干涉加強干涉減弱從能量上看，當兩相干波發(fā)生干涉時，在兩波交疊的區(qū)域，合成波在空間各處的強度并不等于兩個分波強度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強度分布是時間上穩(wěn)定的、空間上強弱相間具有周期性的一種分布。第41頁，共43頁，2022年，5月20日，3點1分，星期四A、B 為兩相干波源，距離