2022年山西省晉中市平遙中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，

2、則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）ABCD2已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是（ ）ABCD3甲、乙、丙、丁4個(gè)人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（ ）A6種B12種C18種D24種4我國(guó)古代典籍周易用“卦”描述萬(wàn)物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是ABCD5將1000名學(xué)生的編號(hào)如下：0001，0002，0003，1000，若從中抽取50個(gè)學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣的方法從第一部分0001，0002，0020中抽取的號(hào)碼為0015時(shí)，抽取的第40個(gè)號(hào)碼為（ ）A0795

3、B0780C0810D08156函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（ ）ABCD7有個(gè)人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（ ）ABCD8在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A外離B相交C相切D內(nèi)含9定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為 ABCD10已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（ ）ABCD11已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則的取值范圍為（ ）ABCD12從不同品牌的4臺(tái)“快譯通”和不同品牌的5臺(tái)錄音機(jī)中任意抽取3臺(tái),其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái),則不同的取

4、法共有()A140種B84種C70種D35種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知直線的極坐標(biāo)方程為，為極點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為_(kāi).14若曲線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)橐粋€(gè)橢圓，則橢圓的離心率為_(kāi) .15已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，mR），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則_16已知AB是球O的直徑，C，D為球面上兩動(dòng)點(diǎn)，ABCD，若四面體ABCD體積的最大值為9，則球O的表面積為_(kāi)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲(chóng)的6組觀測(cè)

5、數(shù)據(jù)如下表：溫度x/212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)61120275777經(jīng)計(jì)算得：，線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，（1）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).試與1中的回歸模型相比，用說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35時(shí)該用哪種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為，；相關(guān)指數(shù).18（12分）某手機(jī)代工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造評(píng)估，隨機(jī)抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個(gè)生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，改造前、后手機(jī)產(chǎn)量（單位

6、：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.參考公式：隨機(jī)變量的觀測(cè)值計(jì)算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2

7、倍（）求乙投球的命中率；（）若甲投球次，乙投球次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望20（12分）已知函數(shù)，()當(dāng)時(shí)，證明：；()的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時(shí)與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請(qǐng)證明你的結(jié)論21（12分）已知函數(shù).（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的極值.22（10分）如圖，平面，在中， ，交于點(diǎn)，（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰

8、直角三角形的面積之和詳解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，通過(guò)分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型2、C【解析】分析：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，求得，利用離心率的公式，即可求解雙曲線的離心率詳解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程是，即，所以雙曲線的

9、離心率為，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問(wèn)題，其中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力3、B【解析】甲乙兩人捆綁一起作為一個(gè)人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列【詳解】因?yàn)榧滓覂扇吮仨毾噜?，看成一個(gè)整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列問(wèn)題，相鄰問(wèn)題用捆綁法求解4、A【解析】本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用直接法即可計(jì)算【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻

10、有情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻情況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=，故選A【點(diǎn)睛】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本事件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿(mǎn)足條件事件的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題5、A【解析】分析：先確定間距，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個(gè)數(shù)為選A.點(diǎn)睛：本題考查系統(tǒng)抽樣概念，考查基本求解能力.6、A【解析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計(jì)算的值，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；

11、由當(dāng)時(shí)，排除D；因?yàn)?，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.7、C【解析】總排法數(shù)為，故選C點(diǎn)睛：本題是排列中的相鄰問(wèn)題，用“捆綁法”求解，解決此問(wèn)題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個(gè)人，和其他3人看作是4人進(jìn)行排列，第二步這三人之間也進(jìn)行排列，然后用乘法原理可得解8、B【解析】將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計(jì)算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對(duì)值和兩半徑之和進(jìn)行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系

12、.【詳解】在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，因此，曲線與相交，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，通常將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來(lái)得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.9、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.因此不等式等價(jià)于，即，選B

13、.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等10、B【解析】是定義在上的偶函數(shù)，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時(shí)平方解得，故選11、B【解析】由題又對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)在第四象限，可知，解得故本題答案選12、C【解析】分析：從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，有兩種方法，一是2臺(tái)和1臺(tái)；二是1臺(tái)和2臺(tái)，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，快譯通2臺(tái)和錄音機(jī)1臺(tái)

14、，取法有種；快譯通1臺(tái)和錄音機(jī)2臺(tái)，取法有種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類(lèi)和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個(gè)中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡(jiǎn)看得出答案。【詳解】設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以,且.由得，即.故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，考查相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)兩點(diǎn)之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進(jìn)行替換，考查推理能力，屬于中等題。1

15、4、.【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，得出，由變換得出，代入方程可得出橢圓方程，由此可計(jì)算出橢圓的離心率.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，得出，設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，則有，即，代入式得，則，因此，橢圓的離心率為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)變換，考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，同時(shí)也考查了橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用相關(guān)點(diǎn)法求出軌跡方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解析】先求出的表達(dá)式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進(jìn)而可求出.【詳解】由題意，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.16、3

16、6【解析】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時(shí)，四面體ABCD的體積最大，利用四面體ABCD體積的最大值為9，求出R，即可求出球O的表面積.【詳解】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時(shí)，四面體ABCD的體積最大，最大值為，球O的表面積為.故答案為：36.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1） （2）用非線性回歸模型擬合效果更好；190個(gè)【解析】（1）求出、后代入公式直接計(jì)算得、，即可得解；（2）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；

17、（3）直接把代入，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由題意，則，y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）對(duì)于線性回歸模型，相關(guān)指數(shù)為 因?yàn)?，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.當(dāng)，時(shí)（個(gè)）所以溫度為時(shí)，該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)估計(jì)為190個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求解、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用以及非線性回歸方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）0.1（2）有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)，詳見(jiàn)解析（3）（百部）【解析】（1）由改造前的頻率分布直方圖計(jì)算前五個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即可得到答案（2）由頻率分布直方圖補(bǔ)充表格，計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論（3）先估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間

18、，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長(zhǎng)方形面積相等列式計(jì)算即可【詳解】解：（1）改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的頻率為， 因此，事件的概率估計(jì)值為0.1 （2）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān) （3）因?yàn)楦脑旌笫謾C(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖中，手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的直方圖面積為，手機(jī)產(chǎn)量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數(shù)在之間，設(shè)改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)為，則 故改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為（百部）【點(diǎn)睛】本題考查由頻率分布直方圖計(jì)算概率與中位數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡(jiǎn)單題19、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解

19、析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，的概率，再寫(xiě)出概率分布表，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為（）由題設(shè)和（）知，甲投球的命中率為，則有，可能的取值為0，1,2,3，故，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點(diǎn)。解答本題的第一問(wèn)時(shí)，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程，然后通過(guò)解方程求出其概率是；解答第二問(wèn)時(shí)，先分別求出，的概率，再寫(xiě)出概率分布表，

20、然后運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出使得問(wèn)題獲解。20、（）見(jiàn)解析（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見(jiàn)解析【解析】（）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，設(shè)l（x）f（x）xexx，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（）先確定曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡(jiǎn)方程得lnm1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，通過(guò)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即可得到所求結(jié)論【詳解】（）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，h（x）1，當(dāng)x1時(shí)，h（x）0，h（x）遞減；0 x1時(shí)，h（x）0，h（x）遞增；可得h（x）在x1處取得最大值1，可得h（x）10；設(shè)l（x）f（x）xexx，l（x）ex1，當(dāng)x0時(shí)，l（x）0，l（x）遞增；可得l（x）l（0）10，綜上可得當(dāng)x0時(shí)，g（x）xf（x）；（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）lnx，f（x）ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），mn，g（x），f（x）ex，可得，化簡(jiǎn)得（m1）lnmm+1，當(dāng)m1時(shí)，（m1）lnmm+1不成立；當(dāng)m1時(shí)，（m1）lnmm+1化為lnm，由lnx1，即lnx1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，由圖象可知：ylnx1和y的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得方程lnm有兩