2022年山西省晉中市平遙中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，

2、則此點取自黑色部分的概率為（ ）ABCD2已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是（ ）ABCD3甲、乙、丙、丁4個人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（ ）A6種B12種C18種D24種4我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是ABCD5將1000名學(xué)生的編號如下：0001，0002，0003，1000，若從中抽取50個學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣的方法從第一部分0001，0002，0020中抽取的號碼為0015時，抽取的第40個號碼為（ ）A0795

3、B0780C0810D08156函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（ ）ABCD7有個人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（ ）ABCD8在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A外離B相交C相切D內(nèi)含9定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為 ABCD10已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（ ）ABCD11已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則的取值范圍為（ ）ABCD12從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取

4、法共有()A140種B84種C70種D35種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知直線的極坐標(biāo)方程為，為極點，點在直線上，線段上的點滿足，則點的軌跡的極坐標(biāo)方程為_.14若曲線在矩陣對應(yīng)的變換下變?yōu)橐粋€橢圓，則橢圓的離心率為_ .15已知復(fù)數(shù)z=1+mi（i是虛數(shù)單位，mR），且（3+i）為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）則_16已知AB是球O的直徑，C，D為球面上兩動點，ABCD，若四面體ABCD體積的最大值為9，則球O的表面積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測

5、數(shù)據(jù)如下表：溫度x/212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777經(jīng)計算得：，線性回歸模型的殘差平方和，其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，（1）若用線性回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù).試與1中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35時該用哪種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）附：一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為，；相關(guān)指數(shù).18（12分）某手機代工廠對生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造評估，隨機抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對比，改造前、后手機產(chǎn)量（單位

6、：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819（12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2

7、倍（）求乙投球的命中率；（）若甲投球次，乙投球次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望20（12分）已知函數(shù)，()當(dāng)時，證明：；()的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結(jié)論21（12分）已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的極值.22（10分）如圖，平面，在中， ，交于點，（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，計算出黑色平行四邊形和黑色等腰

8、直角三角形的面積之和詳解：設(shè)小正方形的邊長為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長為2，所以，故選C點睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，通過分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進(jìn)而計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型2、C【解析】分析：由題意，雙曲線的焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，求得，利用離心率的公式，即可求解雙曲線的離心率詳解：由題意，雙曲線的焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，即，所以雙曲線的

9、離心率為，故選C點睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問題，其中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力3、B【解析】甲乙兩人捆綁一起作為一個人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列【詳解】因為甲乙兩人必須相鄰，看成一個整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【點睛】本題考查排列問題，相鄰問題用捆綁法求解4、A【解析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻

10、有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題5、A【解析】分析：先確定間距，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求結(jié)果.詳解：因為系統(tǒng)抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個數(shù)為選A.點睛：本題考查系統(tǒng)抽樣概念，考查基本求解能力.6、A【解析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計算的值，結(jié)合選項即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng) 時，當(dāng)時，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；

11、由當(dāng)時，排除D；因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.7、C【解析】總排法數(shù)為，故選C點睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個人，和其他3人看作是4人進(jìn)行排列，第二步這三人之間也進(jìn)行排列，然后用乘法原理可得解8、B【解析】將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進(jìn)行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系

12、.【詳解】在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，因此，曲線與相交，故選：B.【點睛】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨遞減，因為為奇函數(shù)，所以.因此不等式等價于，即，選B

13、.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等10、B【解析】是定義在上的偶函數(shù)，即，則函數(shù)的定義域為函數(shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時平方解得，故選11、B【解析】由題又對應(yīng)復(fù)平面的點在第四象限，可知，解得故本題答案選12、C【解析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個計數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺

14、，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡看得出答案?！驹斀狻吭O(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以,且.由得，即.故答案為：?！军c睛】本題考查動點的極坐標(biāo)方程，考查相關(guān)點法求動點的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動點與從動點兩點之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進(jìn)行替換，考查推理能力，屬于中等題。1

15、4、.【解析】在曲線上任取一點，得出，由變換得出，代入方程可得出橢圓方程，由此可計算出橢圓的離心率.【詳解】在曲線上任取一點，得出，設(shè)點經(jīng)過變換后對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，由題意可得，則有，即，代入式得，則，因此，橢圓的離心率為，故答案為.【點睛】本題考查坐標(biāo)變換，考查相關(guān)點法求軌跡方程，同時也考查了橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用相關(guān)點法求出軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解析】先求出的表達(dá)式，再由純虛數(shù)的定義，可求出的值，進(jìn)而可求出.【詳解】由題意，則為純虛數(shù)，故，解得.故，.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.16、3

16、6【解析】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時，四面體ABCD的體積最大，利用四面體ABCD體積的最大值為9，求出R，即可求出球O的表面積.【詳解】由題意，為等腰直角三角形，高為球O的半徑時，四面體ABCD的體積最大，最大值為，球O的表面積為.故答案為：36.【點睛】本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1） （2）用非線性回歸模型擬合效果更好；190個【解析】（1）求出、后代入公式直接計算得、，即可得解；（2）求出線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)，與比較即可得解；

17、（3）直接把代入，計算即可得解.【詳解】（1）由題意，則，y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）對于線性回歸模型，相關(guān)指數(shù)為 因為，所以用非線性回歸模型擬合效果更好.當(dāng)，時（個）所以溫度為時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190個.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求解、相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用以及非線性回歸方程的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于中檔題.18、（1）0.1（2）有的把握認(rèn)為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)，詳見解析（3）（百部）【解析】（1）由改造前的頻率分布直方圖計算前五個小長方形的面積即可得到答案（2）由頻率分布直方圖補充表格，計算隨機變量的觀測值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論（3）先估計中位數(shù)所在區(qū)間

18、，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長方形面積相等列式計算即可【詳解】解：（1）改造前手機產(chǎn)量低于5000部的頻率為， 因此，事件的概率估計值為0.1 （2）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認(rèn)為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān) （3）因為改造后手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖中，手機產(chǎn)量低于5000部的直方圖面積為，手機產(chǎn)量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數(shù)在之間，設(shè)改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)為，則 故改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為（百部）【點睛】本題考查由頻率分布直方圖計算概率與中位數(shù)，獨立性檢驗，屬于簡單題19、（1）（2）分布列見解析，【解

19、析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運用對立事件及獨立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，的概率，再寫出概率分布表，運用數(shù)學(xué)期望的計算公式計算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為（）由題設(shè)和（）知，甲投球的命中率為，則有，可能的取值為0，1,2,3，故，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望點睛：隨機變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點。解答本題的第一問時，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運用對立事件及獨立事件的概率公式建立方程，然后通過解方程求出其概率是；解答第二問時，先分別求出，的概率，再寫出概率分布表，

20、然后運用數(shù)學(xué)期望的計算公式求出使得問題獲解。20、（）見解析（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見解析【解析】（）當(dāng)x0時，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，設(shè)l（x）f（x）xexx，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（）先確定曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點坐標(biāo)并求出兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡方程得lnm1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，通過圖象的交點個數(shù)來判斷方程的解的個數(shù)，即可得到所求結(jié)論【詳解】（）當(dāng)x0時，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，h（x）1，當(dāng)x1時，h（x）0，h（x）遞減；0 x1時，h（x）0，h（x）遞增；可得h（x）在x1處取得最大值1，可得h（x）10；設(shè)l（x）f（x）xexx，l（x）ex1，當(dāng)x0時，l（x）0，l（x）遞增；可得l（x）l（0）10，綜上可得當(dāng)x0時，g（x）xf（x）；（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與g（x）lnx，f（x）ex的切點分別為（m，lnm），（n，en），mn，g（x），f（x）ex，可得，化簡得（m1）lnmm+1，當(dāng)m1時，（m1）lnmm+1不成立；當(dāng)m1時，（m1）lnmm+1化為lnm，由lnx1，即lnx1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，由圖象可知：ylnx1和y的函數(shù)圖象有兩個交點，可得方程lnm有兩