常微分課后答案第一章

1、常微分課后答案第一章第一章緒論1.1 微分方程：某些物理過(guò)程的數(shù)學(xué)模型1.2 基本概念習(xí)題 1.21指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是否線(xiàn)性的：1） dy 4x 2 y ； dxd 2 y2（2）dy12xy 0；dx2dx（3）dy2dy30；2dxxydxd 2 ydy3xysin x ；（4） x25dxdx5） dy cos y 2 x 0 ； dx（6）d 2 yydx2e xsin解（1）一階線(xiàn)性微分方程；2）二階非線(xiàn)性微分方程；3）一階非線(xiàn)性微分方程；4）二階線(xiàn)性微分方程；5）一階非線(xiàn)性微分方程；6）二階非線(xiàn)性微分方程d 2 y2試驗(yàn)證下面函數(shù)均為方程 dx 2 2 y 這里

2、0 是常數(shù)1） y cos x ；2） y C1 cos x (C1 是任意常數(shù) )；3） y sin x ；4） y C 2 sin x (C 2 是任意常數(shù) )；（5） y C1 cos x C 2 sin x (C1 , C 2 是任意常數(shù)6） y Asin( x B) ( A, B 是任意常數(shù) )解（ 1 ）dysin x ,d 2 y2cos xdxdx 2的解，)；y ，所以d 2 y2 y0，故y cosx為方程的解dx 2（ 2） yC1 sinx , yC12 cos x2 y， 所 以d 2 y2y0，故 y C1 cosx 為方程的解dx2dyd 2 y2sin x2y

3、，所以d 2 y2y 0 ，（3）cos x ,2dx2dxdx故 y sinx 為方程的解（ 4） yC 2 cosx ,yC 22 sin x2 y， 所 以d 2 y2y0，故 y C 2 sinx為方程的解dx2（5）yC1 sin x C2cos x, yC12 cosx C 22 sin x2 y ，所以d 2 y2y0，故yC1 cosx C 2sin x為方程的解dx 2（ 6 ） yAcos( x B) ,yA 2 sin( x B)2 y ， 故d 2 y2y0，因此y A sin( xB)為方程的解dx 23驗(yàn)證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：1） y2）y3） y4） y

4、5） y6） ysinx x ， xy2C 1x 2Ce x ， y ex ， y e xsin x ， y1x ， x 2 yycos x ；，(1x2 ) yxy2x（ C 是任意常數(shù)）；2yy 0（ C 是任意常數(shù)）；y 22 yex1e2 x ；y 22 y sin xsin 2x cos x 0 ；x2 y 2xy 1 ；7）8）yx21， yy2( x21) y 2x ；yg( x)， yf (x) y2g ( x) f (x)g( x)f ( x)證 明（ 1 ） 因 為 yx cosx2sin x， 所 以xx cosxsin xsin xxy ycos x xx（2）由于yC

5、x，故1 x2(1 x 2 ) y xy (1 x 2 )Cxx(2 C 1 x 2 ) 2x1 x2（ 3 ） 由 于 y Ce x， y Cex， 于 是y 2 yy Ce x2Ce xCe x0 （4）由y ex，因此y e xy22 yexex e x(ex )22ex ex1 e2 x （5）因?yàn)?ycos x ，所以yy 22 y sin xsin 2x cos x cos xsin 2x 2 sin xsin xsin 2 x cos x 0 （6）從 y12 ，得 x2 y 1 x221x11 x2 y 2xy 1 xxx（7）由 y2x ，得到y(tǒng) 2 x (x 21) 2(

6、x21)( x 21) 2x y 2(x 21) y 2x （8）2f (x) y2 g ( x)yf ( x) g( x) f (x)g ( x)f (x)g(x)g ( x)f 2 ( x)g(x)f (x)f ( x)g( x)f ( x) 4給定一階微分方程dy2x ，dx1）求出它的通解；2）求通過(guò)點(diǎn) (1, 4) 的特解；3）求出與直線(xiàn) y 2 x 3相切的解；4）求出滿(mǎn)足條件 01 ydx 2 的解；5）繪出（ 2），（3），(4)中的解的圖形解 （1）通解 y 2xdx x 2 C （2）由 y x 1 4 ，得到 C 3 ，所以過(guò)點(diǎn) (1, 4) 的特解為 yx 23 （3）

7、這時(shí) 2x2x 1，切點(diǎn)坐標(biāo)為 (1, 5) ，由 y x 15 ，得到 C 4 ，所以與直線(xiàn) y2x3相切的解為 y x24 11111C 2，得到 C5 ，（4）由 0ydx0( x2C)dx (x3Cx)3033故滿(mǎn)足條件 01ydx2 的解為 yx253（5）如圖 1-1 所示y12108642x-3-2-1123圖 1-15求下列兩個(gè)微分方程的公共解：1） y y 2 2x x 4 ；（2） y2x x2x 4y y2 解公共解必須滿(mǎn)足 y22x x 42x x 2x 4y y 2 ，即2 y22x 4yx20 ，得 到 y x 2或 yx21 是 微 分 方 程 yy 22x x4

8、 和2y2xx2x 4yy 2 的公共解6求微分方程 yxy2y0 的直線(xiàn)積分曲線(xiàn)解設(shè)直線(xiàn)積分曲線(xiàn)為 AxBy C0 ，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得， A By0，若 B0，則 A0，得到 C 0 ，不可能故必有B0，則yA，代入原方程有BAA2AC，或( A2A) xC A，x00BBB xBB 2BB BA2A0 ,A0,B 2B所以，得到或 ACB CAC00BB所求直線(xiàn)積分曲線(xiàn)為 y0 和 yx17微分方程 4x 2 y 2y 2xy3 ，證明其積分曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) ( 0, 0) 成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，也是此微分方程的積分曲線(xiàn)證明設(shè) F (x , y) 0 是微分方程 4x 2 y 2y 2xy

9、3 的積分曲線(xiàn)，則與其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0 , 0) 成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn) 是 F ( x ,y) 0 由 于 F ( x , y)0適合微分方程24x 2 y 2y 2xy3 ，故 4x 2Fx (x , y)y 2xy3 ，分別以 x , y 代Fy ( x, y)x, y ，亦有4( x) 2Fx (x ,y)2( y) 2( x)( y) 3 ，F(xiàn)y (x ,y)而由 F ( x ,y) 0 ，得到 yFx ( x ,y)Fy (x ,y) ，從而 F ( x, y) 0 也是此微分方程的積分曲線(xiàn)8物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成比例，如果物體在 20 分鐘內(nèi)由 100 C 冷至C，

10、那么，在多久的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)物體的溫度達(dá)到 30 C？假設(shè)空氣的溫度為 20 C解設(shè)物體在時(shí)刻 t 的溫度為 u u(t ) ， ua 20 ，微分方程為 duk (uua ) ，解得 u uaCe kt，根據(jù)初始條dt件 u t 0u0100，得 C u0ua 80 ，因此u ua(u0 ua )e kt ，根 據(jù) t20, uu160， 得 到 u1ua(u 0ua )e 20k ， 由 此1 ln u0ualn 2，所以得到 u 20ln 2t ，當(dāng) u 30 時(shí)，k80e2020 u1ua20解出 t60 （分鐘）1 （小時(shí)）在 1 小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)物體的溫度達(dá)到C9試建立分別具有下列

11、性質(zhì)的曲線(xiàn)所滿(mǎn)足的微分方程：1）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與該點(diǎn)的向徑夾角為 ；2）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)介于兩坐標(biāo)軸之間的部分等于定長(zhǎng) l ；3）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) a 2 ；4）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)介于兩坐標(biāo)軸之間的部分被切點(diǎn)等分；5）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；6）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的縱截距是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；7）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比（提示：過(guò)點(diǎn)( x, y) d的橫截距和縱截距分別為xy y 和 y xy ）（1）曲線(xiàn)上任一點(diǎn)為yy解，則，( x, y)tanx1yx即yx tanyy tan x（ 2 ）曲線(xiàn)上 任一 點(diǎn) (x , y) 處 的切 線(xiàn)方 程為y XYxy y ，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為 (0 , yxy ) 和 ( xyy , 0) ，y兩點(diǎn)