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文檔簡介
1、常微分課后答案第一章第一章緒論1.1 微分方程:某些物理過程的數(shù)學模型1.2 基本概念習題 1.21指出下面微分方程的階數(shù),并回答方程是否線性的:1) dy 4x 2 y ; dxd 2 y2(2)dy12xy 0;dx2dx(3)dy2dy30;2dxxydxd 2 ydy3xysin x ;(4) x25dxdx5) dy cos y 2 x 0 ; dx(6)d 2 yydx2e xsin解(1)一階線性微分方程;2)二階非線性微分方程;3)一階非線性微分方程;4)二階線性微分方程;5)一階非線性微分方程;6)二階非線性微分方程d 2 y2試驗證下面函數(shù)均為方程 dx 2 2 y 這里
2、0 是常數(shù)1) y cos x ;2) y C1 cos x (C1 是任意常數(shù) );3) y sin x ;4) y C 2 sin x (C 2 是任意常數(shù) );(5) y C1 cos x C 2 sin x (C1 , C 2 是任意常數(shù)6) y Asin( x B) ( A, B 是任意常數(shù) )解( 1 )dysin x ,d 2 y2cos xdxdx 2的解,);y ,所以d 2 y2 y0,故y cosx為方程的解dx 2( 2) yC1 sinx , yC12 cos x2 y, 所 以d 2 y2y0,故 y C1 cosx 為方程的解dx2dyd 2 y2sin x2y
3、,所以d 2 y2y 0 ,(3)cos x ,2dx2dxdx故 y sinx 為方程的解( 4) yC 2 cosx ,yC 22 sin x2 y, 所 以d 2 y2y0,故 y C 2 sinx為方程的解dx2(5)yC1 sin x C2cos x, yC12 cosx C 22 sin x2 y ,所以d 2 y2y0,故yC1 cosx C 2sin x為方程的解dx 2( 6 ) yAcos( x B) ,yA 2 sin( x B)2 y , 故d 2 y2y0,因此y A sin( xB)為方程的解dx 23驗證下列各函數(shù)是相應微分方程的解:1) y2)y3) y4) y
4、5) y6) ysinx x , xy2C 1x 2Ce x , y ex , y e xsin x , y1x , x 2 yycos x ;,(1x2 ) yxy2x( C 是任意常數(shù));2yy 0( C 是任意常數(shù));y 22 yex1e2 x ;y 22 y sin xsin 2x cos x 0 ;x2 y 2xy 1 ;7)8)yx21, yy2( x21) y 2x ;yg( x), yf (x) y2g ( x) f (x)g( x)f ( x)證 明( 1 ) 因 為 yx cosx2sin x, 所 以xx cosxsin xsin xxy ycos x xx(2)由于yC
5、x,故1 x2(1 x 2 ) y xy (1 x 2 )Cxx(2 C 1 x 2 ) 2x1 x2( 3 ) 由 于 y Ce x, y Cex, 于 是y 2 yy Ce x2Ce xCe x0 (4)由y ex,因此y e xy22 yexex e x(ex )22ex ex1 e2 x (5)因為 ycos x ,所以yy 22 y sin xsin 2x cos x cos xsin 2x 2 sin xsin xsin 2 x cos x 0 (6)從 y12 ,得 x2 y 1 x221x11 x2 y 2xy 1 xxx(7)由 y2x ,得到y(tǒng) 2 x (x 21) 2(
6、x21)( x 21) 2x y 2(x 21) y 2x (8)2f (x) y2 g ( x)yf ( x) g( x) f (x)g ( x)f (x)g(x)g ( x)f 2 ( x)g(x)f (x)f ( x)g( x)f ( x) 4給定一階微分方程dy2x ,dx1)求出它的通解;2)求通過點 (1, 4) 的特解;3)求出與直線 y 2 x 3相切的解;4)求出滿足條件 01 ydx 2 的解;5)繪出( 2),(3),(4)中的解的圖形解 (1)通解 y 2xdx x 2 C (2)由 y x 1 4 ,得到 C 3 ,所以過點 (1, 4) 的特解為 yx 23 (3)
7、這時 2x2x 1,切點坐標為 (1, 5) ,由 y x 15 ,得到 C 4 ,所以與直線 y2x3相切的解為 y x24 11111C 2,得到 C5 ,(4)由 0ydx0( x2C)dx (x3Cx)3033故滿足條件 01ydx2 的解為 yx253(5)如圖 1-1 所示y12108642x-3-2-1123圖 1-15求下列兩個微分方程的公共解:1) y y 2 2x x 4 ;(2) y2x x2x 4y y2 解公共解必須滿足 y22x x 42x x 2x 4y y 2 ,即2 y22x 4yx20 ,得 到 y x 2或 yx21 是 微 分 方 程 yy 22x x4
8、 和2y2xx2x 4yy 2 的公共解6求微分方程 yxy2y0 的直線積分曲線解設直線積分曲線為 AxBy C0 ,兩邊對 x 求導得, A By0,若 B0,則 A0,得到 C 0 ,不可能故必有B0,則yA,代入原方程有BAA2AC,或( A2A) xC A,x00BBB xBB 2BB BA2A0 ,A0,B 2B所以,得到或 ACB CAC00BB所求直線積分曲線為 y0 和 yx17微分方程 4x 2 y 2y 2xy3 ,證明其積分曲線關于坐標原點 ( 0, 0) 成中心對稱的曲線,也是此微分方程的積分曲線證明設 F (x , y) 0 是微分方程 4x 2 y 2y 2xy
9、3 的積分曲線,則與其關于坐標原點(0 , 0) 成中心對稱的曲線 是 F ( x ,y) 0 由 于 F ( x , y)0適合微分方程24x 2 y 2y 2xy3 ,故 4x 2Fx (x , y)y 2xy3 ,分別以 x , y 代Fy ( x, y)x, y ,亦有4( x) 2Fx (x ,y)2( y) 2( x)( y) 3 ,F(xiàn)y (x ,y)而由 F ( x ,y) 0 ,得到 yFx ( x ,y)Fy (x ,y) ,從而 F ( x, y) 0 也是此微分方程的積分曲線8物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成比例,如果物體在 20 分鐘內由 100 C 冷至C,
10、那么,在多久的時間內,這個物體的溫度達到 30 C?假設空氣的溫度為 20 C解設物體在時刻 t 的溫度為 u u(t ) , ua 20 ,微分方程為 duk (uua ) ,解得 u uaCe kt,根據(jù)初始條dt件 u t 0u0100,得 C u0ua 80 ,因此u ua(u0 ua )e kt ,根 據(jù) t20, uu160, 得 到 u1ua(u 0ua )e 20k , 由 此1 ln u0ualn 2,所以得到 u 20ln 2t ,當 u 30 時,k80e2020 u1ua20解出 t60 (分鐘)1 (小時)在 1 小時的時間內,這個物體的溫度達到C9試建立分別具有下列
11、性質的曲線所滿足的微分方程:1)曲線上任一點的切線與該點的向徑夾角為 ;2)曲線上任一點的切線介于兩坐標軸之間的部分等于定長 l ;3)曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) a 2 ;4)曲線上任一點的切線介于兩坐標軸之間的部分被切點等分;5)曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方;6)曲線上任一點的切線的縱截距是切點的橫坐標和縱坐標的等差中項;7)曲線上任一點的切線的斜率與切點的橫坐標成正比(提示:過點( x, y) d的橫截距和縱截距分別為xy y 和 y xy )(1)曲線上任一點為yy解,則,( x, y)tanx1yx即yx tanyy tan x( 2 )曲線上 任一 點 (x , y) 處 的切 線方 程為y XYxy y ,與兩坐標軸交點為 (0 , yxy ) 和 ( xyy , 0) ,y兩點
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