中考教育數(shù)學(xué)壓軸題直角三角形邊角關(guān)系中考教育題型突破提升含詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題之直角三角形的邊角關(guān)系(中考題型整理,打破提高)含詳盡答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1如圖（9）所示（左圖為實景側(cè)視圖，右圖為安裝表示圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，企業(yè)規(guī)定：AD與水平面夾角為1，且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已丈量出屋頂斜面與水平面夾角為2，并已知tan11.082，tan20.412假如安裝工人確立支架AB高為25cm，求支架CD的高（結(jié)果精準(zhǔn)到1cm）？【答案】【分析】過A作AFCD于F，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用、表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平

2、行四邊形，故有EC=AB=25cm，再再依據(jù)DC=DE+EC進行解答即可2已知RtABC中，ACB=90，點D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，嘗試究APE的度數(shù)：（1）如圖1，若k=1，則APE的度數(shù)為；2）如圖2，若k=3，試問（1）中的結(jié)論能否建立？若建立，請說明原因；若不建立，求出APE的度數(shù)3）如圖3，若k=3，且D、E分別在CB、CA的延伸線上，（2）中的結(jié)論能否建立，請說明原因【答案】（1）45；（2）（1）中結(jié)論不建立，原因看法析；（3）（2）中結(jié)論建立，原因看法析.【分析】剖析：（1）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，

3、得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出FAEACD，得出EF=AD=BF，再判斷出EFB=90，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出FAEACD，再判斷出EFB=90，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，從而判斷出ACDHEA，再判斷出EFB=90，即可得出結(jié)論；詳解：（1）如圖1，過點A作AFCB，過點B作BFAD訂交于F，連結(jié)EF，F(xiàn)BE=APE，F(xiàn)AC=C=90，四邊形ADBF是平行四邊形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，AF=ACFAC=C=90，F(xiàn)AEACD，EF=

4、AD=BF，F(xiàn)EA=ADCADC+CAD=90，F(xiàn)EA+CAD=90=EHDADBF，EFB=90EF=BF，F(xiàn)BE=45，APE=45（2）（1）中結(jié)論不建立，原因以下：3BD，CD=如圖2，過點A作AFCB，過點B作BFAD訂交于F，連結(jié)EF，F(xiàn)BE=APE，F(xiàn)AC=C=90，四邊形ADBF是平行四邊形，BD=AF，BF=ADAC=3BD，CD=3AE，ACCD3BDAEBD=AF，ACCD3AFAEFAC=C=90，F(xiàn)AEACD，ACADBF3，F(xiàn)EA=ADCAFEFEFADC+CAD=90，F(xiàn)EA+CAD=90=EMDADBF，EFB=90在RtEFB中，tanFBE=EF3，BF3F

5、BE=30，APE=30，（3）（2）中結(jié)論建立，如圖3，作EHCD，DHBE，EH，DH訂交于H，連結(jié)AH，APE=ADH，HEC=C=90，四邊形EBDH是平行四邊形，BE=DH，EH=BDAC=3AE，ACCD3BDAEHEA=C=90，ACDHEA，ADAC3，ADC=HAEAHEHCAD+ADC=90，HAE+CAD=90，HAD=90在RtDAH中，tanADH=AH3，ADADH=30，APE=30點睛：本題是三角形綜合題，主要考察了全等三角形的判斷和性質(zhì)，相像三角形的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)構(gòu)全等三角形和相像三角形的判斷和性質(zhì)3如圖，濕地景區(qū)岸邊有三個觀景臺、.已

6、知米，米，點位于點的南偏西方向，點位于點的南偏東方向.(1)求的面積；(2)景區(qū)規(guī)劃在線段的中點處修筑一個湖心亭，并修筑觀景棧道.試求、間的距離.(結(jié)果精準(zhǔn)到米)(參照數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）560000（2）565.6【分析】試題剖析：（1）過點作交的延伸線于點，而后依據(jù)直角三角形的內(nèi)角和求出CAE，再依據(jù)正弦的性質(zhì)求出CE的長，從而獲得ABC的面積；（2）連結(jié)，過點作，垂足為點，則.而后依據(jù)中點的性質(zhì)和余弦值求出BE、AE的長，再依據(jù)勾股定理求解即可.試題分析：(1)過點作交的延伸線于點，在中，因此米.因此(平方米).(2)連結(jié)，過點作，垂足為點，則.因為是中點，因此米，且為中點，米，因此

7、因此米.米，由勾股定理得，米.答：、間的距離為米.考點：解直角三角形4閱讀下邊資料：察看與思慮：閱讀以下資料，并解決后邊的問題在銳角ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，過A作ADBC于D（如圖），則sinBAD，sinCAD，即ADcbbccacsinB，ADbsinC，于是csinBbsinC，即同理有：，sinBsinCsinCsinAababcsinA，因此sinAsinBsinBsinC即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（起碼有一條邊），運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就能夠求出其他三個未知元素依據(jù)上述資料，達成以下各題（1）如圖，ABC中，B

8、75，C45，BC60，則AB；（2）如圖，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30的方向航行，半小時后抵達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75的方向上（如圖），求此時貨輪距燈塔A的距離AB（3）在（2）的條件下，試求75的正弦值（結(jié)果保存根號）【答案】（1）206；（2）156海里；（3）6+2.4【分析】【剖析】1）依據(jù)資料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比率關(guān)系，代入數(shù)值即可求得AB的值.（2）本題可先由速度和時間求出BC的距離，再由各方向角得出A的角度，過B作BMAC于M，求出MBC=30，求出MC，由勾股定理求

9、出BM，求出AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可；3）在三角形ABC中，A=45，ABC=75，ACB=60，過點C作AC的垂線BD，結(jié)構(gòu)直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的長，從而可求出sin75的值【詳解】解：（1）在ABC中，B=75，C=45，BC=60，則A=60，AB=BC，sinCsinAAB60，sin45o=sin60oAB60即2=3，22解得：AB=206.（2）如圖，依題意：BC=600.5=30（海里）CDBE，DCB+CBE=180DCB=30，CBE=150ABE=75ABC=75，A=45，在ABC中，ABBCAB30ACB=sinA即s

10、in60?=sin45?，sin解之得：AB=156答：貨輪距燈塔的距離AB=156海里（3）過點B作AC的垂線BM，垂足為M.在直角三角形ABM中，A=45，AB=156，因此AM=153，在直角三角形BDC中，BCM=60，BC=30，可求得CM=15，因此AC=153+15，由題意得，15315156，sin75=6+2sin75osin60o4【點睛】本題考察方向角的含義，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判斷等知識點，解題重點是嫻熟掌握解直角三角形方法5如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點O，ACBC于點C，將ABC沿AC翻折獲得AEC，連結(jié)DE1）求證

11、：四邊形ACED是矩形；2）若AC4，BC3，求sinABD的值【答案】（1）證明看法析（2）61365【分析】【剖析】1）依據(jù)?ABCD中，ACBC，而ABCAEC，不難證明；2）依照已知條件，在ABD或AOC作垂線AF或OF，求出相應(yīng)邊的長度，即可求出ABD的正弦值【詳解】1）證明：將ABC沿AC翻折獲得AEC，BCCE，ACCE，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，ADCE，ADCE，四邊形ACED是平行四邊形，ACCE，四邊形ACED是矩形2）解：方法一、如圖1所示，過點A作AFBD于點F，BE2BC236，DEAC4，在RtBDE中，BDBE2DE26242213SBDE

12、11DE?ADAF?BD，2243613，AF13213RtABC中，AB32425，RtABF中，AF613613sinABFsinABDAB13655方法二、如圖2所示，過點O作OFAB于點F，同理可得，OB1BD13，2SAOB1OFAB1OABC，22236OF5，5在RtBOF中，0F6613sinFBO，OB51365sinABD61365【點睛】本題考察直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判斷和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長度，重點是正確增添協(xié)助線和三角形面積的計算公式求出sinABD6如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點，連結(jié)CD，過點C

13、作CEDB，交CD的延伸線于點E，垂足為點E，直徑AB與CE的延伸線訂交于點F.（1）連結(jié)AC、AD，求證：DACACF180.2）若ABD2BDC.求證：CF是eO的切線.當(dāng)BD6，tanF3時，求CF的長.4【答案】（1）詳看法析；（2）詳看法析；CF20.3【分析】【剖析】1）依據(jù)圓周角定理證得ADB=90，即ADBD，由CEDB證得ADCF，依據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連結(jié)OC先依據(jù)等邊平等角及三角形外角的性質(zhì)得出3=21，由已知4=21，獲得4=3，則OCDB，再由CEDB，獲得OCCF，依據(jù)切線的判斷即可證明CF為O的切線；由CFAD，證出BAD=F，得出tanBAD=ta

14、nF=BDAD=3，求出4AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OCCF=3，即可求出4CF【詳解】解：（1）AB是eO的直徑，且D為eO上一點，ADB90，QCEDB，DEC90，CF/AD，DACACF180.（2）如圖，連結(jié)OC.QOAOC，12.Q312，321.Q42BDC，BDC1，421，43，OC/DB.QCEDB，OCCF.又QOC為eO的半徑，CF為eO的切線.由（1）知CF/AD，BADF，tanBADtanF3，4BD3AD.4QBD6AD4BD8，3AB2210，OBOC5.68QOCCF，OCF90，tanFOC3，CF

15、420解得CF.3【點睛】本題考察了切線的判斷、解直角三角形、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有必定難度，特別是（2）中，需要運用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比率式才能得出結(jié)果7如圖，在RtABC中，C90，A30，AB4，動點秒2個單位長度的速度向終點B運動過點P作PDAC于點作DPQ60，邊PQ交射線DC于點Q設(shè)點P的運動時間為P從點A出發(fā)，沿AB以每D(點P不與點A，B重合)，秒1）用含t的代數(shù)式表示線段DC的長：_；2）當(dāng)t=_時，點Q與點C重合時；3）當(dāng)線段PQ的垂直均分線經(jīng)過ABC一邊中點時，求出t的值【答案】（1）；（2）1；（3）t的值為或或.【分析】【剖析】1）先求出AC

16、，用三角函數(shù)求出AD，即可得出結(jié)論；2）利用AQ=AC，即可得出結(jié)論；3）分三種狀況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論【詳解】1）AP=,AB=4,A30AC=,AD=CD=；2）AQ=2AD=當(dāng)AQ=AC時，Q與C重合即=t=1；（3）如圖，當(dāng)PQ的垂直均分線過AB的中點F時，PGF90，PGPQAPt，AFAB2.AAQP30，F(xiàn)PG60，PFG30，PF2PG2t，APPF2t2t2，t如圖，當(dāng)PQ的垂直均分線過AC的中點N時，QMN90，ANAC，QMPQAPt.在RtNMQ中，ANNQAQ，如圖，當(dāng)PQ的垂直均分線過BC的中點F時，BFBC1，PEPQt，H30.ABC60，BFH30

17、H，BHBF1.在RtPEH中，PH2PE2t.AHAPPHABBH，2t2t5，t.即當(dāng)線段PQ的垂直均分線經(jīng)過ABC一邊中點時，t的值為或或.【點睛】本題是三角形綜合題，主要考察了等腰三角形的判斷和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直均分線的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的重點8對于三角函數(shù)有以下的公式：sin（+）=sincos+cossincos（+）=coscossinsintan（+）=利用這些公式可將某些不是特別角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樘貏e角的三角函數(shù)來求值，如：tan105=tan（45+60）=（2+）依據(jù)上邊的知識，你能夠選擇適合的公式解決下邊的實質(zhì)問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測

18、得建筑物頂端D點的俯角=60，底端C點的俯角=75，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高【答案】建筑物CD的高為84米【分析】剖析：如圖，過點D作DEAB于點E，由題意易得ACB=75，ABC=90，DE=BC=42m，ADE=60，這樣在RtABC和在RtADE中，聯(lián)合題中所給關(guān)系式分別求出長，即可由CD=BE=AB-AE求得結(jié)果了.AB和AE的詳解：如圖，過點D作DEAB于點E，由題意可得ACB=75，ABC=90，DE=BC=42m，CD=BE，ADE=60，在RtABC和RtADEAB=BC?tan75=42tan75=，AE=，CD=ABAE=（米）.答：

19、建筑物CD的高為84米.睛：讀懂題意，把已知量和未知量轉(zhuǎn)變到RtABC和RtADE中，這樣利用直角三角形中邊角間的關(guān)系聯(lián)合題目中所給的“兩角和的三角形函數(shù)公式”即可使問題獲得解決.9拋物線y=ax2+bx+4（a0）過點A(1,1)，B(5,1)，與y軸交于點C1）求拋物線表達式；2）如圖1，連結(jié)CB，以CB為邊作?CBPQ，若點P在直線BC下方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且?CBPQ的面積為30，求點P坐標(biāo);過此二點的直線交y軸于F,此直線上一動點G,當(dāng)GB+2GF最小時,求點G坐標(biāo).2（3）如圖2，O1過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為上的一動點（不與點A，E重合），MBN為直角

20、，邊BN與ME的延伸線交于N，求線段BN長度的最大值【答案】（1）y=x26x+4（2）P(2,-4)或P(3,-5)G(0,-2)（3）313【分析】【剖析】1）把點A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4分析式，即可得出拋物線的表達式；（2）如圖，連結(jié)PC，過點P作y軸的平行線交直線BC于R，可求得直線BC的分析式為：y=-x+4，設(shè)點P（t，t2PBC1-6t+4），R（t，-t+4），因為?CBPQ的面積為30，因此S=2(-t+4-t2+6t-4)515，解得t的值，即可得出點P的坐標(biāo)；當(dāng)點P為（2，-4）時，求得直線QP的分析式為：y=-x-2，得F（0，-2）

21、，GOR=45，因為GB+22GF=GB+GR，因此當(dāng)G于F重合時，GB+GR最小，即可得出點G的坐標(biāo)；當(dāng)點P為（3，-5）時，同理可求；（3）先用面積法求出sinACB=213，tanACB=2，在RtABE中，求得圓的直徑，133因為MBNB，可得N=AEB=ACB，因為tanN=MB2，因此BN=3MB，當(dāng)MB為BN32直徑時，BN的長度最大【詳解】解：（1）拋物線y=ax2+bx+4（a0）過點A（1，-1），B（5，-1），ab4，25a5b461b拋物線表達式為y=x26x+4如圖，連結(jié)PC，過點P作y軸的平行線交直線BC于R，設(shè)直線BC的分析式為y=kx+m，B（5，-1），C（

22、0，4），5km1，解得，m44m直線BC的分析式為：y=-x+4，設(shè)點P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），?CBPQ的面積為30，SPBC=1(-t+4-t2+6t-4)515，2解得t=2或t=3，當(dāng)t=2時，y=-4當(dāng)t=3時，y=-5，點P坐標(biāo)為（2，-4）或（3，-5）；當(dāng)點P為（2，-4）時，直線BC分析式為：y=-x+4，QPBC，設(shè)直線QP的分析式為：y=-x+n，將點P代入，得-4=-2+n，n=-2，直線QP的分析式為：y=-x-2，F(xiàn)（0，-2），GOR=45，GB+2GF=GB+GR2當(dāng)G于F重合時，GB+GR最小，此時點G的坐標(biāo)為（0，-2），同理，當(dāng)點P為

23、（3，-5）時，直線QP的分析式為：y=-x-2，同理可得點G的坐標(biāo)為（0，-2），）A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），AC=26，BC=52，S=ACBCsinACBAB5，ABC1122sinACB=2132，tanACB=133AE為直徑，AB=4，ABE=90，sinAEB=sinACB=213，413AEAE=213，MBNB，NMB=EAB，N=AEB=ACB，tanN=MB2，BN33BN=MB，2當(dāng)MB為直徑時，BN的長度最大，為313【點睛】題考察用到待定系數(shù)法求二次函數(shù)分析式和一次函數(shù)分析式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形性質(zhì)解決（3）問的重點是找到BN

24、與BM之間的數(shù)目關(guān)系10如圖，AB為O的直徑，P是BA延伸線上一點，CG是O的弦PCAABC，CGAB，垂足為D(1)求證：PC是O的切線；PAAD(2)求證：；PCCD(3)過點A作AEPC交O于點E，交CD于點F，連結(jié)BE，若sinP3，CF5，求BE5的長【答案】（1）看法析；（2）BE=12【分析】【剖析】（1）連結(jié)OC，由PC切O于點C，獲得OCPC，于是獲得PCA+OCA=90，由AB為O的直徑，獲得ABC+OAC=90，因為OC=OA，證得OCA=OAC，于是獲得結(jié)論；（2）由AEPC，獲得PCA=CAF依據(jù)垂徑定理獲得弧AC=弧AG，于是獲得ACF=ABC，因為PCA=ABC，

25、推出ACF=CAF，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)獲得CF=AF，在RtAFD中，AF=5，sinFAD=3，求得FD=3，AD=4，CD=8，在RtOCD中，5設(shè)OC=r，依據(jù)勾股定理獲得方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，獲得AB=2r=20，因為AB為OAEB=90Rt3，獲得BE3，于是求得AB55結(jié)論【詳解】（1）證明：連結(jié)OC，PC切O于點C，OCPC，PCO=90，PCA+OCA=90，AB為O的直徑，ACB=90，ABC+OAC=90，OC=OA，OCA=OAC，PCA=ABC；（2）解：AEPC，PCA=CAF，ABCG，弧AC=弧AG，ACF=ABC，PCA=ABC，ACF=

26、CAF，CF=AF，CF=5，AF=5，AEPC，F(xiàn)AD=P，3sinP=，53sinFAD=，5在RtAFD中，AF=5，sinFAD=3，5FD=3，AD=4，CD=8，在RtOCD中，設(shè)OC=r，r2=（r4）2+82，r=10，AB=2r=20，AB為O的直徑，AEB=90，在RtABE中，sinEAD=3，BE3，5AB5AB=20，BE=12【點睛】本題考察切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題重點是連結(jié)OC結(jié)構(gòu)直角三角形11如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點，點為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線分別交直線及拋物線于點，（1）填空：點的坐標(biāo)為，拋物

27、線的分析式為；（2）當(dāng)點在線段上運動時（不與點，重合），當(dāng)為什么值時，線段最大值，并求出的最大值；求出使為直角三角形時的值；（3）若拋物線上有且只有三個點到直線的距離是，請直接寫出此時由點，組成的四邊形的面積【答案】（1），；（2）當(dāng)時，有最大值是3；使為直角三角形時的值為3或；（3）點，組成的四邊形的面積為：6或或.【分析】【剖析】（1）把點A坐標(biāo)代入直線表達式y(tǒng)，求出a-3，把點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式，即可求解；（2）設(shè)：點P（m，），N（m，）求出PN值的表達式，即可求解；分BNP90、NBP90、BPN90三種狀況，求解即可；（3）若拋物線上有且只有三個點N到直線AB的距離是h

28、，則只好出現(xiàn)：在AB直線下方拋物線與過點N的直線與拋物線有一個交點N，在直線AB上方的交點有兩個，分別求解即可【詳解】解：（1）把點坐標(biāo)代入直線表達式，解得：，則：直線表達式為：，令，則：，則點坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：，把點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故：拋物線的分析式為：，故：答案為：，；（2）在線段上，且軸，點，拋物線張口向下，當(dāng)時，有最大值是3，當(dāng)時，點的縱坐標(biāo)為-3，把代入拋物線的表達式得：，解得：或0（舍去），；當(dāng)時，兩直線垂直，其值相乘為-1，設(shè)：直線的表達式為：，把點的坐標(biāo)代入上式，解得：，則：直線的表達式為：，將上式與拋物線的表達式聯(lián)立并解得：或0（舍

29、去），當(dāng)時，不合題意舍去，故：使為直角三角形時的值為3或；（3），在中，則：，軸，若拋物線上有且只有三個點到直線的距離是，則只好出現(xiàn)：在直線下方拋物線與過點的直線與拋物線有一個交點，在直線上方的交點有兩個.當(dāng)過點的直線與拋物線有一個交點，點的坐標(biāo)為，設(shè)：點坐標(biāo)為：，則：，過點作的平行線，則點所在的直線表達式為：，將點坐標(biāo)代入，解得：過點直線表達式為：，將拋物線的表達式與上式聯(lián)立并整理得：，將代入上式并整理得：，解得：，則點的坐標(biāo)為，則：點坐標(biāo)為，則：，四邊形為平行四邊形，則點到直線的距離等于點到直線的距離，即：過點與平行的直線與拋物線的交點為此外兩個點，即：、，直線的表達式為：，將該表達式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立并整理得：，解得：，則點、的橫坐標(biāo)分別為，作交直線于點，則，作軸，交軸于點，則：，則：，同理：，故：點，組成的四邊形的面積為：6或或.【點睛】本