結(jié)構(gòu)化多因子風險模型

1、 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日正文目錄 HYPERLINK l _bookmark0 華泰金工多因子風險模型4 HYPERLINK l _bookmark1 因子選擇4 HYPERLINK l _bookmark2 風格因子5 HYPERLINK l _bookmark3 行業(yè)因子5 HYPERLINK l _bookmark6 國家因子6 HYPERLINK l _bookmark7 因子收益求解7 HYPERLINK l _bookmark8 因子暴露數(shù)據(jù)處理7 HYPERLINK l _bo

2、okmark10 因子收益率的計算8 HYPERLINK l _bookmark11 風險矩陣的估計9 HYPERLINK l _bookmark12 因子收益協(xié)方差矩陣9 HYPERLINK l _bookmark14 Newey-West 調(diào)整10 HYPERLINK l _bookmark15 特征值調(diào)整11 HYPERLINK l _bookmark16 波動率偏誤調(diào)整13 HYPERLINK l _bookmark18 特異性收益方差矩陣14 HYPERLINK l _bookmark19 Newey-West 調(diào)整14 HYPERLINK l _bookmark20 結(jié)構(gòu)化調(diào)整14

3、 HYPERLINK l _bookmark24 貝葉斯壓縮調(diào)整16 HYPERLINK l _bookmark25 波動率偏誤調(diào)整17 HYPERLINK l _bookmark27 風險預(yù)測的準確度檢驗18 HYPERLINK l _bookmark32 多因子風險模型在組合優(yōu)化中的應(yīng)用19 HYPERLINK l _bookmark33 最小化風險的投資組合19 HYPERLINK l _bookmark34 優(yōu)化持倉權(quán)重，最小化絕對風險19 HYPERLINK l _bookmark40 優(yōu)化偏離權(quán)重，最小化主動風險20 HYPERLINK l _bookmark42 最大化風險調(diào)整后

4、收益的投資組合21 HYPERLINK l _bookmark46 優(yōu)化持倉權(quán)重，最大化絕對收益22 HYPERLINK l _bookmark49 優(yōu)化偏離權(quán)重，最大化主動收益23 HYPERLINK l _bookmark67 總結(jié)29 HYPERLINK l _bookmark68 參考文獻30 HYPERLINK l _bookmark69 附錄 風險矩陣估計的參數(shù)列表31 HYPERLINK l _bookmark71 風險提示32圖表目錄 HYPERLINK l _bookmark4 圖表 1： HYPERLINK l _bookmark5 圖表 2： HYPERLINK l _b

5、ookmark9 圖表 3： HYPERLINK l _bookmark13 圖表 4： HYPERLINK l _bookmark17 圖表 5： HYPERLINK l _bookmark4 華泰金工多因子風險模型因子分類5 HYPERLINK l _bookmark5 華泰金工多因子風險模型風格因子及其描述5 HYPERLINK l _bookmark9 風格因子的因子暴露數(shù)據(jù)處理步驟7 HYPERLINK l _bookmark13 多因子風險模型風險矩陣的調(diào)整方法9 HYPERLINK l _bookmark17 特征值調(diào)整前、后特征組合偏誤統(tǒng)計量132 HYPERLINK / 謹請

6、參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日 HYPERLINK l _bookmark21 圖表 6： HYPERLINK l _bookmark22 圖表 7： HYPERLINK l _bookmark23 圖表 8： HYPERLINK l _bookmark26 圖表 9： HYPERLINK l _bookmark21 因子波動率調(diào)整系數(shù)與截面因子波動率的關(guān)系14 HYPERLINK l _bookmark22 波動率偏誤調(diào)整前、后因子風險偏誤統(tǒng)計量 12 個月滾動均值14 HYPERLINK l _bookmark23 結(jié)構(gòu)化

7、調(diào)整中，數(shù)據(jù)質(zhì)量良好的股票在所有股票中的占比15 HYPERLINK l _bookmark26 不同波動率分組下，股票在未來 12 個月的偏誤統(tǒng)計量均值17 HYPERLINK l _bookmark28 圖表 10： HYPERLINK l _bookmark30 圖表 11： HYPERLINK l _bookmark29 圖表 12： HYPERLINK l _bookmark31 圖表 13： HYPERLINK l _bookmark35 圖表 14： HYPERLINK l _bookmark36 圖表 15： HYPERLINK l _bookmark37 圖表 16： HYP

8、ERLINK l _bookmark38 圖表 17： HYPERLINK l _bookmark41 圖表 18： HYPERLINK l _bookmark39 圖表 19： HYPERLINK l _bookmark43 圖表 20： HYPERLINK l _bookmark45 圖表 21： HYPERLINK l _bookmark44 圖表 22： HYPERLINK l _bookmark47 圖表 23： HYPERLINK l _bookmark48 圖表 24： HYPERLINK l _bookmark50 圖表 25： HYPERLINK l _bookmark51

9、圖表 26： HYPERLINK l _bookmark28 特異波動乘數(shù)與截面特異波動率的關(guān)系18 HYPERLINK l _bookmark30 波動率偏誤調(diào)整前、后特異風險偏誤統(tǒng)計量 12 個月滾動均值18 HYPERLINK l _bookmark29 滬深 300 的預(yù)測波動率與實際波動率18 HYPERLINK l _bookmark31 中證 500 的預(yù)測波動率與實際波動率18 HYPERLINK l _bookmark35 不同股票池內(nèi)，最小化絕對風險組合的凈值19 HYPERLINK l _bookmark36 不同股票池內(nèi)，最小化絕對風險組合的超額收益凈值和回撤19 HY

10、PERLINK l _bookmark37 不同股票池內(nèi)，最小化絕對風險組合的策略評價指標20 HYPERLINK l _bookmark38 不同股票池內(nèi)，最小化主動風險組合的凈值20 HYPERLINK l _bookmark41 不同股票池內(nèi)，最小化主動風險組合的超額收益凈值和回撤20 HYPERLINK l _bookmark39 不同股票池內(nèi)，最小化主動風險組合的策略評價指標20 HYPERLINK l _bookmark43 不同基準下，最小化主動風險組合的凈值21 HYPERLINK l _bookmark45 不同基準下，最小化主動風險組合的超額收益凈值和回撤21 HYPERL

11、INK l _bookmark44 不同基準下，最小化主動風險組合的策略評價指標21 HYPERLINK l _bookmark47 不同風險厭惡系數(shù)下，最大化絕對收益組合的凈值22 HYPERLINK l _bookmark48 不同風險厭惡系數(shù)最大化絕對收益組合超額收益凈值和回撤22 HYPERLINK l _bookmark50 不同風險厭惡系數(shù)下，最大化絕對收益組合的策略評價指標23 HYPERLINK l _bookmark51 不同風險厭惡系數(shù)下，使用 XGBoost 收益模型的中證 500 最大化主動收益組 HYPERLINK l _bookmark51 合的凈值23 HYPER

12、LINK l _bookmark52 圖表 27： 不同風險厭惡系數(shù)下使用 XGBoost 收益模型的中證 500 最大化主動收益組合 HYPERLINK l _bookmark52 的超額收益凈值和回撤24 HYPERLINK l _bookmark53 圖表 28： 不同風險厭惡系數(shù)下，使用 XGBoost 收益模型的中證 500 最大化主動收益組 HYPERLINK l _bookmark53 合的策略評價指標24 HYPERLINK l _bookmark54 圖表 29： 不同風險厭惡系數(shù)下，使用 Stacking 收益模型的中證 500 最大化主動收益組 HYPERLINK l _

13、bookmark54 合的凈值24 HYPERLINK l _bookmark55 圖表 30： 不同風險厭惡系數(shù)下使用 Stacking 收益模型的中證 500 最大化主動收益組合 HYPERLINK l _bookmark55 的超額收益凈值和回撤24 HYPERLINK l _bookmark56 圖表 31： 不同風險厭惡系數(shù)下，使用 Stacking 收益模型的中證 500 最大化主動收益組 HYPERLINK l _bookmark56 合的策略評價指標25 HYPERLINK l _bookmark57 圖表 32： HYPERLINK l _bookmark59 圖表 33：

14、HYPERLINK l _bookmark58 圖表 34： HYPERLINK l _bookmark60 圖表 35： HYPERLINK l _bookmark61 圖表 36： HYPERLINK l _bookmark62 圖表 37： HYPERLINK l _bookmark63 圖表 38： HYPERLINK l _bookmark64 圖表 39： HYPERLINK l _bookmark65 圖表 40： HYPERLINK l _bookmark66 圖表 41： HYPERLINK l _bookmark70 圖表 42： HYPERLINK l _bookmark

15、57 不同股票池內(nèi)，最大化主動收益組合的凈值25 HYPERLINK l _bookmark59 不同股票池內(nèi)，最大化主動收益組合的超額收益凈值和回撤25 HYPERLINK l _bookmark58 不同股票池內(nèi)，最大化主動收益組合的策略評價指標25 HYPERLINK l _bookmark60 不同約束條件和風險厭惡系數(shù)下，最大化主動收益組合的策略評價指標26 HYPERLINK l _bookmark61 不同風險厭惡系數(shù)下，中性約束組合的凈值26 HYPERLINK l _bookmark62 不同風險厭惡系數(shù)下，中性約束組合的超額收益凈值和回撤27 HYPERLINK l _bo

16、okmark63 不同風險厭惡系數(shù)下，權(quán)重約束組合的凈值27 HYPERLINK l _bookmark64 不同風險厭惡系數(shù)下，權(quán)重約束組合的超額收益凈值和回撤27 HYPERLINK l _bookmark65 不同風險厭惡系數(shù)下，無約束組合的對數(shù)凈值28 HYPERLINK l _bookmark66 不同風險厭惡系數(shù)下，無約束組合的超額收益對數(shù)凈值和回撤28 HYPERLINK l _bookmark70 風險矩陣估計的參數(shù)列表313 HYPERLINK / h 效地解釋股票收 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年

17、06 月 12 日華泰金工多因子風險模型收益與風險并存，然而投資者往往只專注于追逐高額收益，卻忽視了潛在風險可能導致的高額損失。若在追求高額收益的同時加入良好的風險控制，則可以有效提升投資策略的表現(xiàn)。準確的風險預(yù)測是風險控制的基石。馬科維茨均值方差模型為風險預(yù)測奠定了基礎(chǔ)，但是該模型存在明顯的局限性。首先，直接利用股票收益率估算股票收益率之間的協(xié)方差矩陣，計算量非常大。其次，由于存在估計誤差，樣本時間長度必須盡可能大于股票數(shù)目，否則基于此股票收益協(xié)方差矩陣得到的投資組合的風險將被大大低估。隨著對風險模型認識的不斷深入，投資組合風險分析體系日趨完善，結(jié)構(gòu)化多因子風險模型成為分析組合風險的有力工具

18、。結(jié)構(gòu)化多因子模型將對于高維股票的收益-風險預(yù)測轉(zhuǎn)換為對于低維因子的收益-風險預(yù)測，不僅可以大大減少計算量，還能夠有效提高風險預(yù)測的 準確度。結(jié)構(gòu)化多因子風險模型將股票收益表示為一組共同因子的收益和一個僅與該股票有關(guān)的特異性收益的組合： = + =1: 第只股票的收益率: 第只股票在第個因子上的因子暴露: 第個因子的收益率: 第只股票的特異性收益率其中，共同因子收益率與股票特異性收益率不相關(guān)，不同股票的特異性收益率不相關(guān)。那么，股票收益風險可以解釋為共同因子收益風險和特異性收益風險的組合。其中，特異性收益風險代表無法被共同因子解釋的收益波動，如某些突發(fā)性事件驅(qū)動的股價變化、未知的 Alpha

19、因子等。多因子風險模型將對于股票收益協(xié)方差矩陣的估計轉(zhuǎn)換為對于因子收益協(xié)方差矩陣和特異性收益方差矩陣的估計： = + : 股票收益率之間的協(xié)方差矩陣: 股票的因子暴露矩陣: 因子收益率之間的協(xié)方差矩陣: 股票特異性收益方差矩陣華泰金工在經(jīng)典多因子模型框架的基礎(chǔ)上，參考 Barra 多因子風險模型，構(gòu)建了華泰金工多因子風險模型。模型選擇恰當、有效的共同因子，回歸計算因子收益和特異性收益，進而估計因子收益協(xié)方差矩陣和特異性收益方差矩陣。之后，模型以波動率偏誤統(tǒng)計量作為風險預(yù)測準確度的衡量指標，對因子收益協(xié)方差矩陣和特異性收益方差矩陣分別進行多步修正，有效提升風險估計的準確度。華泰金工多因子風險模型

20、能夠提供準確、可靠的風險預(yù)測，投資組合優(yōu)化和收益-風險歸因。本文作為華泰金工多因子風險模型的第一篇，主要關(guān)注風險模型的構(gòu)建方法以及其在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用。首先，本文第一節(jié)將介紹風險模型的共同因子選擇和因子收益計算方法。其次，第二節(jié)將依次介紹因子收益協(xié)方差矩陣和特異性收益方差矩陣的估計和調(diào)整方法。最后，第三節(jié)將考察風險模型用于投資組合優(yōu)化時的表現(xiàn)。因子選擇選擇恰當、有效的共同因子是搭建高質(zhì)量風險模型的基礎(chǔ)。首先，因子必須能夠穩(wěn)定、有益率。解釋效力過弱的因子只能提供非常有限的增量信息，而且這些因子4 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2

21、019 年 06 月 12 日攜帶的隨機噪音，將會直接影響風險預(yù)測的穩(wěn)定性。其次，在涵蓋優(yōu)質(zhì)因子的基礎(chǔ)下，模型需要盡可能精簡因子數(shù)目，以減少風險預(yù)測的工作量并提高風險預(yù)測的準確度。華泰金工多因子風險模型借鑒 Barra 風險模型中的因子分類方式，共選擇了 10 個風格因子()、29 個行業(yè)因子()和 1 個國家因子()。圖表1： 華泰金工多因子風險模型因子分類風格因子反映當前狀態(tài)或未來預(yù)期狀態(tài)，如市值因子、成長因子等。華泰金工風險模型行業(yè)因子指股票所在行業(yè)的行業(yè)特征，如房地產(chǎn)行業(yè)、通信行業(yè)等。國家因子反映市場的整體變化趨勢，國家因子的因子數(shù)目為1。資料來源：華泰證券研究所風格因子風格因子包含

22、10 大類基本面因子，依次為 Size，Beta，Momentum，Residual Volatility， Non-linear Size，Book to Price，Liquidity，Earning Yield，Growth，Leverage。其中， 部分大類因子表示為若干個子類因子的加權(quán)組合，從而在盡可能豐富大類因子信息量的同時解決子類因子可能具有的共線性問題。圖表2： 華泰金工多因子風險模型風格因子及其描述大類子類因子簡要描述因子權(quán)重SizeLNCAP股票總市值的自然對數(shù)1BetaBETA股票收益率對中證全指收益率的線性回歸斜率1MomentumRSTR歷史收益率均值，采用指數(shù)加權(quán)計

23、算1DASTD CMRAHSIGMA歷史波動率，采用指數(shù)加權(quán)計算歷史收益率的波動幅度Beta 因子計算中線性回歸殘差項的標準差0.740.160.1Residual VolatilityNon-linear SizeNLSIZESize 因子的三次方對 Size 因子的正交增量1Book to PriceBTOP1企業(yè)總權(quán)益值與當前市值的比值STOM STOQSTOA過去一個月的流動性 過去一個季度的流動性過去一年的流動性0.350.350.3LiquidityETOPCETOP過去 12 個月的市盈率過去 12 個月的經(jīng)營性凈現(xiàn)金流與市值的比值0.660.34Earning YieldEGR

24、OSGRO過去 5 年企業(yè)歸屬母公司凈利潤的復合增長率過去 5 年企業(yè)營業(yè)總收入的復合增長率0.340.66GrowthMLEV DTOABLEV市場杠桿 資產(chǎn)負債率賬面杠桿0.380.350.27Leverage資料來源：華泰證券研究所行業(yè)因子行業(yè)因子可以在風格因子之外，為模型提供豐富的增量信息。按照 A 股市場的 29 個中信一級行業(yè)分類，模型包含 29 個行業(yè)因子，具體為：煤炭、交通運輸、房地產(chǎn)、電力及公用事業(yè)、機械、電力設(shè)備、有色金屬、基礎(chǔ)化工、商貿(mào)零售、建筑、輕工制造、綜合、醫(yī)藥、紡織服裝、食品飲料、家電、汽車、電子元器件、建材、餐飲旅游、石油石化、國防軍工、農(nóng)林牧漁、鋼鐵、通信、計

25、算機、非銀行金融、傳媒、銀行。5更高的敏感性 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日國家因子傳統(tǒng)多因子模型一般只包含風格因子與行業(yè)因子，但是在這里，我們參考 Barra 的做法，在多因子風險模型中顯式地加入了國家因子： = + + + : 第只股票的收益率 : 國家因子收益率: 第只股票在第個行業(yè)因子上的因子暴露（0 或 1）: 第個行業(yè)因子的收益率: 第只股票在第個風格因子上的因子暴露: 第個風格因子的收益率: 第只股票的特異性收益率為了消除國家因子與行業(yè)因子之間的共線性，模型需要為行業(yè)因子加入額外約束：

26、29 = 0=1: 第個行業(yè)的總流通市值在全市場中的占比: 第個行業(yè)因子收益率下文中，若無特殊說明，市值均指流通市值。在模型中加入國家因子不僅不會影響線性回歸和模型的解釋效力，還會具有以下兩點優(yōu)勢。第一，模型加入國家因子，可以將市場效應(yīng)與行業(yè)效應(yīng)剝離開來，使因子的意義更加直觀、純粹。是否加入國家因子的模型中的行業(yè)因子收益率具有如下關(guān)系： = + : 不加入國家因子的模型中，第個行業(yè)因子的收益率 : 國家因子收益率: 加入國家因子的模型中，第個行業(yè)因子的收益率在加入國家因子的模型中，國家因子收益代表以市值權(quán)重 100%做多全部 A 股的投資組合收益率，直接反映市場的整體變化，即市場效應(yīng)。此時，行

27、業(yè)因子收益代表 100%做多該行業(yè)，同時 100%做空全部 A 股的多空組合收益率，更加純粹地反映行業(yè)效應(yīng)。第二，模型加入國家因子，可能使模型對市場變化的敏感性更強。在風險模型中，因子收益協(xié)方差矩陣基于一段時間的歷史數(shù)據(jù)，按照指數(shù)衰減加權(quán)計算得到。計算結(jié)果受到歷史數(shù)據(jù)時間窗和權(quán)重半衰期的影響。在歷史數(shù)據(jù)時間窗相同的情況下，如果半衰期較長，那么模型對市場變化的響應(yīng)速度較慢，相反地，如果半衰期較短，那么協(xié)方差矩陣的計算很容易受到采樣誤差的干擾，模型穩(wěn)定性較差。時間窗和半衰期參數(shù)的選取，是在模型敏感性和穩(wěn)定性之間的權(quán)衡。一般地，采樣誤差對協(xié)方差項的影響遠大于其對方差項的影響。因此，一種做法是在因子協(xié)

28、方差矩陣計算中，對協(xié)方差項和方差項的計算取相同的歷史數(shù)據(jù)時間窗，但是令協(xié)方差項的半衰期大于方差項的半衰期，以盡可能兼顧長半衰期帶來的穩(wěn)定性和短半衰期帶來的敏感性。例如：Barra USE4 中，二者時間窗相同，協(xié)方差計算的半衰期為 504 個交易日， 而方差計算的半衰期為 84 個交易日。是否加入國家因子的模型中的行業(yè)因子收益的協(xié)方差具有如下關(guān)系：(, ) = ( ) + ( , ) + ( , ) + ( , )1 2 1 21 2, : 不加入國家因子的模型中，第1、2 個行業(yè)因子的收益率1 2 : 國家因子收益率1, 2: 加入國家因子的模型中，第1、2 個行業(yè)因子的收益率如果協(xié)方差項的

29、半衰期大于方差項，那么國家因子方差項計算的短半衰期可以為模型帶來。Barra USE4 對比了是否加入國家因子的模型中行業(yè)因子的相關(guān)系數(shù)6 HYPERLINK / h 其中，的計算 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日（Barra USE4 圖 3.2）。結(jié)果顯示，兩種模型的行業(yè)因子相關(guān)系數(shù)均值相似，但是從時間序列上看，加入國家因子的模型對市場敏感性更強，而不加入國家因子的模型類似于加入國家因子的模型的平滑濾波結(jié)果。因子協(xié)方差矩陣計算中，是否對協(xié)方差項和方差項取不同的半衰期，還要結(jié)合實際情況決定。本文暫時

30、只考慮二者半衰期取值相同的情況。未來的研究方向之一是探討參數(shù)對模型表現(xiàn)的影響。因子收益求解因子暴露數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)是模型搭建的基礎(chǔ)，豐富、準確的數(shù)據(jù)是使模型中每一個精細步驟產(chǎn)生預(yù)期效果的基礎(chǔ)。因此，在線性回歸計算因子收益之前，我們需要先對風格因子的因子暴露數(shù)據(jù)進行如下處理。圖表3： 風格因子的因子暴露數(shù)據(jù)處理步驟風格因子的因子暴露數(shù)據(jù)處理標準化處理調(diào)整均值與方差， 使因子暴露無量綱化。去極值處理通過中位數(shù)去極值 方法，調(diào)整極端值， 防止對模型的穩(wěn)定 性造成影響。缺失值處理通過行業(yè)均值填充的方式，填補缺失值。正交化處理消除因子之間的共線性。資料來源：華泰證券研究所首先，利用中位數(shù)去極值方法，調(diào)整每個

31、時間截面上的極端數(shù)據(jù)： + 3 , = 3 , + 3 1；同理，如果高估風險，標準化收益的標準差將小于 1，即 1。實際情況下，由于采樣誤差的存在，即便是完美的風險預(yù)測，偏誤統(tǒng)計量也難以等于 1。因此，我們定義一個偏誤統(tǒng)計量的 95%置信區(qū)間： = 1 2/, 1 + 2/一般地，只要偏誤統(tǒng)計量的值落在置信區(qū)間內(nèi)，就可以認為風險預(yù)測比較準確。需要注意的是，實際收益數(shù)據(jù)一般具有尖峰厚尾的分布特點，并不滿足正態(tài)分布的假設(shè)，因此，這一置信區(qū)間的判定條件是比較嚴格的。因子收益協(xié)方差矩陣因子收益協(xié)方差矩陣基于歷史收益率數(shù)據(jù)計算，要求歷史數(shù)據(jù)的截面數(shù)至少需要大于因子數(shù)。截面數(shù)不足會產(chǎn)生病態(tài)的協(xié)方差矩陣，

32、嚴重影響風險預(yù)測的準確度。如果使用月頻數(shù)據(jù)計算，那么包含 40 個風格因子的模型，需要 3 年以上的歷史數(shù)據(jù)。歷史數(shù)據(jù)的時間窗跨度過大，會使模型包含與當前市場狀態(tài)相關(guān)程度較低的市場狀態(tài)信息，顯然并不適用于。此外，月頻數(shù)據(jù)比較稀疏，模型較難及時捕捉市場變化。日頻數(shù)據(jù)的數(shù)9 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日據(jù)量是月頻數(shù)據(jù)的 20 倍，更高頻的數(shù)據(jù)，對市場變化的敏感性更強。因此，我們的模型基于日頻數(shù)據(jù)計算因子收益協(xié)方差矩陣和特異性收益方差矩陣。再通過后續(xù) Newey-West調(diào)整，將風險矩陣調(diào)整至適合月頻調(diào)

33、倉策略?？紤]到實際市場多變，與遠期歷史收益數(shù)據(jù)相比，近期歷史收益數(shù)據(jù)對當前風險估計的影響更大，因此我們采用權(quán)重指數(shù)衰減的加權(quán)移動平均（Exponentially Weighted Moving Average）方法計算因子收益協(xié)方差矩陣： = (, ) = (, )(, ) / ,=0=0 = 0.5(, ): 第期，因子與因子之間的協(xié)方差: 指數(shù)衰減權(quán)重, ,: 第 個截面上，因子和因子的收益率 , : 從截面 到截面的區(qū)間內(nèi)，因子和因子的收益率的加權(quán)均值 這里，我們對因子收益協(xié)方差矩陣中協(xié)方差項和方差項的計算，統(tǒng)一取時間窗 = 252， 權(quán)重半衰期 = 90。Newey-West 調(diào)整上面

34、的協(xié)方差矩陣是基于因子收益時序不相關(guān)的假設(shè)計算得到的。但是實際上，因子收益存在自相關(guān)性，因此并不是因子收益協(xié)方差矩陣真實值的相合估計，即此估計值并不能隨著樣本數(shù)的增大而逼近真值。為了得到相合估計，我們需要首先考慮因子收益的時序相關(guān)性。因子收益率的時序相關(guān)性可以由滑動平均模型（Moving-Average Model，MA）描述，假設(shè)因子收益率滿足一個階的時序相關(guān)，那么收益率序列可以表示為：() = + =0(): 截面上的因子收益率: 一個與因子相關(guān)的常數(shù)，反映因子收益均值: 截面 上的白噪音: 第 個截面對第個截面的影響程度白噪音表征截面 上影響收益率的信息，它對收益率的影響會持續(xù)至此后的第

35、個截面，從而產(chǎn)生時序相關(guān)。對于此階時序相關(guān)的收益協(xié)方差矩陣，一個簡單的相合估計可以表示為： = + ( + )=1/ =1 = +=1: 截面上所有因子的因子收益率序列: 滯后期為時的自協(xié)方差矩陣這一調(diào)整方法的本質(zhì)是使用1階的自協(xié)方差矩陣對未考慮時序相關(guān)的協(xié)方差矩陣 進行修正。但是此方法存在一個明顯的缺點調(diào)整后的協(xié)方差矩陣不一定滿足半正定的 要求。為了解決這一問題，Newey 和 West（1987）在調(diào)整過程中加入了 Bartlett 權(quán)重， 提出了廣泛使用的 Newey-West 調(diào)整方法：10 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究|

36、2019 年 06 月 12 日 = + (, ) ( + )=1(, ) = 1 + 1(, ): Bartlett 權(quán)重，隨的增大而減小Newey-West 調(diào)整后的協(xié)方差矩陣是一個相合估計，并且滿足半正定的要求。由于此因子收益協(xié)方差矩陣是基于日頻數(shù)據(jù)計算得到，表征的是日度收益風險，因此，在用于月頻調(diào)倉策略之前，我們還需要將此日頻收益協(xié)方差矩陣頻率轉(zhuǎn)換至表征月度風險的月頻收益協(xié)方差矩陣： = 21 = 21 + (1 =1) ( + ), + 1這里，我們對因子收益協(xié)方差矩陣中協(xié)方差項和方差項的計算，統(tǒng)一取滯后期 = 2。特征值調(diào)整現(xiàn)代投資組合理論框架下，基于歷史數(shù)據(jù)計算的波動率，可以作為

37、未來風險的預(yù)測值。這種預(yù)測方式對股票和因子都適用。按照 Markowitz（1952）的均值-方差框架，基于預(yù)測收益和預(yù)測風險，組合優(yōu)化可以得到滿足某一優(yōu)化條件的最優(yōu)投資組合。但是，Mulle（r 1993）指出，風險模型會系統(tǒng)性地低估最優(yōu)投資組合的風險。Shepard（2009）指出，在滿足正態(tài)性、平穩(wěn)性、股票數(shù)目足夠多的假設(shè)下，最優(yōu)投資組合的真實波動率與預(yù)測波動率存在以下關(guān)系： 1 (/): 最優(yōu)投資組合的真實波動率: 該投資組合的模型預(yù)測波動率: 股票數(shù)目或因子數(shù)目: 計算協(xié)方差矩陣時的有效樣本數(shù)在有效樣本數(shù)相同的情況下，股票或因子數(shù)目越多，風險低估的程度越大。那么，模型低估最優(yōu)投資組合

38、風險的原因究竟是什么呢？是模型統(tǒng)一低估了所有股票的風險，還是其他可能的原因？為了探究這一原因，Menchero、Wang 和 Orr（2012）對比了單只股票、隨機權(quán)重投資組合和以協(xié)方差矩陣特征向量為權(quán)重的投資組合（以下簡稱為“特征組合”）的偏誤統(tǒng)計量。其中，特征組合的預(yù)測風險即為該組合特征向量對應(yīng)的特征值的平方根，特征組合之間互不相關(guān)。并且，特征組合與最優(yōu)投資組合具有相似的意義：特征值最小的特征組合代表最小風險的投資組合，而特征值最大的特征組合則代表最大風險的投資組合。結(jié)果顯示，股票和隨機權(quán)重投資組合的偏誤統(tǒng)計量都趨近 1，說明風險模型在股票水平上的風險預(yù)測準確。但是，特征組合的偏誤統(tǒng)計量則

39、與投資組合真實波動率呈現(xiàn)明顯的負相關(guān)，即模型明顯低估低波動率特征組合的風險，風險低估程度隨特征組合波動率的增大而逐漸減小。因此，Menchero、Wang 和 Orr（2012）認為，最優(yōu)投資組合風險低估很可能與特征組合的風險偏誤（即特征值偏誤）緊密相關(guān)，基于這一假設(shè)，他們提出了特征值調(diào)整方法，利用蒙特卡洛模擬估計采樣誤差帶來的特征值偏誤，用于修正協(xié)方差矩陣的特征值，從而解決風險模型低估最優(yōu)投資組合的問題。特征值調(diào)整的具體方法如下。對 Newey-West 調(diào)整后的協(xié)方差矩陣進行特征值分解：0 = 000: 特征值構(gòu)成的對角矩陣11 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和

40、行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日0: 正交矩陣，矩陣第列表示0中第個特征值所對應(yīng)的特征向量上文提到，以0第 k 列特征向量為權(quán)重構(gòu)成的特征組合的風險恰好等于第 k 個特征值的平方根，特征組合之間互不相關(guān)。對于任意已知的風險協(xié)方差矩陣，采樣誤差帶來的特征值偏誤存在確定的概率分布。因此， 雖然我們并不知道真實的協(xié)方差矩陣，但是可以暫時先將已有的視作真實的協(xié)方差矩陣，將0 視作以0 為權(quán)重的特征組合收益的真實方差。通過蒙特卡羅模擬，計算真實協(xié)方差矩陣與基于模擬收益數(shù)據(jù)得到的模擬協(xié)方差矩陣的特征值的比值，從而衡量采樣誤差帶來的特征值偏誤。第次蒙特卡羅模擬的過程為：假設(shè)

41、特征組合月收益率滿足正態(tài)分布，隨機生成大小為 的模擬特征組合收益率矩陣。其中，為特征組合數(shù)目，即因子數(shù)目，為模擬的期數(shù)。矩陣的第行數(shù)據(jù)服從均值為 0、方差為0(, )的正態(tài)分布。根據(jù)因子與特征組合之間的關(guān)系， 可以得到因子的模擬收益率矩陣： = 0根據(jù)因子模擬收益率序列，可以得到模擬因子收益協(xié)方差矩陣： = (, )易證，是的無偏估計，即() = 。但是由于采樣誤差的存在，模擬協(xié)方差矩陣相對真實值存在一定的誤差。將模擬協(xié)方差矩陣進行特征值分解，得到模擬特征組合權(quán)重矩陣和模擬特征組合的樣本方差，即模擬特征值矩陣： = （4） 按照模擬特征組合權(quán)重，將真實協(xié)方差矩陣分解，得到模擬特征組合的真實方差

42、，即真實特征值矩陣： = 需要注意的是，由于的每一列并不是真實的特征向量，因此分解得到的特征值矩陣 并不是對角矩陣。但是，我們依舊可以將 的對角線元素當作模擬特征 組合的真實方差。由于采樣誤差的存在，(, ) (, )。我們共進行次蒙特卡羅模擬，以獲得對特征值偏誤的穩(wěn)定估計：1()() = ()=1(): 第個特征組合的特征值偏誤需要注意的是，實際收益數(shù)據(jù)一般具有尖峰厚尾的分布特點，并不滿足蒙特卡羅模擬中正態(tài)分布的假設(shè)，因此，我們需要進一步調(diào)整對特征值偏誤的估計：() = () 1 + 1其中為調(diào)整系數(shù)，通常為一個大于 1 的常數(shù)，這里經(jīng)驗取值 = 1.5?；诖颂卣髦灯`， 我們可以得到修正

43、后的因子收益協(xié)方差矩陣： = 0(20)0下圖對比了特征值調(diào)整前、后特征組合的偏誤統(tǒng)計量，特征組合按照預(yù)測波動率從低到高的順序排列。本文回測區(qū)間為 2011-02-01 至 2019-05-31。特征值調(diào)整參數(shù)為：模擬收益期數(shù) = 100，蒙特卡洛模擬次數(shù) = 3000，調(diào)整系數(shù) = 1.5。由圖可知，特征值調(diào)整前， 模型明顯低估低波動率特征組合的風險。特征值調(diào)整后，大部分特征組合的偏誤統(tǒng)計量落在 95%置信區(qū)間內(nèi)，說明特征值調(diào)整較好地修正了風險低估的問題。12 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日圖表5

44、： 特征值調(diào)整前、后特征組合偏誤統(tǒng)計量3 置信區(qū)間上、下限特征值調(diào)整前的偏誤統(tǒng)計量特征值調(diào)整后的偏誤統(tǒng)計量2.521.510.5147 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40特征組合（按照預(yù)測波動率從低到高排列）資料來源：Wind，華泰證券研究所波動率偏誤調(diào)整上一步的特征值調(diào)整是將每個因子視作獨立的個體，并未考慮其他因子包含的信息。為了準確預(yù)測風險，模型需要最大化利用可用信息。延續(xù)這一思路，接下來的調(diào)整可以利用同一時間截面上不同因子的信息，判斷模型是否在某些時間段內(nèi)系統(tǒng)性地高估或者低估了所有因子的收益風險，根據(jù)此波動率偏誤將截面上的因子協(xié)方差矩陣進行整體縮放。定義第個

45、時間截面上，所有因子的總偏誤統(tǒng)計量為：21 = (): 因子在第個截面到未來第 + 個截面的收益率: 在截面上，模型對因子在截面 + 區(qū)間內(nèi)收益波動率的預(yù)測值由于單個截面數(shù)據(jù)容易受到隨機噪聲的影響，因此，我們對一段時期的總偏誤統(tǒng)計量進行加權(quán)平均，得到因子波動率調(diào)整系數(shù)： =()2: 指數(shù)衰減權(quán)重，這里時間窗 = 252，權(quán)重半衰期 = 42最后，我們利用對因子收益協(xié)方差矩陣進行調(diào)整： = 2 為了檢驗波動率偏誤調(diào)整效果，我們定義截面因子波動率：12 = 如果波動率偏誤調(diào)整效果良好，在時間序列上，因子波動率調(diào)整系數(shù)會及時跟進截面因子波動率的變化。下面左圖顯示了二者的時序關(guān)系，從圖中可以看出，在截

46、面因子波動率突然增大時，因子波動率調(diào)整系數(shù)及時增大至大于 1 的值，以修正可能的風險低估，同樣地，在截面因子波動率突然減小時，因子波動率調(diào)整系數(shù)及時減小至小于 1 的值，以修正可能的風險高估。下面右圖對比了波動率偏誤調(diào)整前、后因子風險偏誤統(tǒng)計量的 12個月滾動均值。由圖可知，波動率偏誤調(diào)整后的偏誤統(tǒng)計量更接近 1，說明波動率偏誤調(diào)整效果良好。需要注意的是，波動率偏誤調(diào)整利用了未來的因子收益數(shù)據(jù)計算總偏誤統(tǒng)計量。因此，在缺乏未來收益數(shù)據(jù)的情況下，波動率偏誤調(diào)整可能難以進行。波動率偏誤調(diào)整對風險模型的改進，有利于提升風險模型在應(yīng)用于投資組合風險歸因時的表現(xiàn)。13值和異常值對風 HYPERLINK

47、/ 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究 | 2019 年 06 月 12 日圖表6： 因子波動率調(diào)整系數(shù)與截面因子波動率的關(guān)系圖表7： 波動率偏誤調(diào)整前、后因子風險偏誤統(tǒng)計量 12 個月滾動均值12%21.81.61.41.210.80.60.40.201.61.41.210.80.60.410%8%6%4%2%0% 置信區(qū)間上、下限波動率偏誤調(diào)整前的因子風險偏誤統(tǒng)計量12個月滾動均值 波動率偏誤調(diào)整后的因子風險偏誤統(tǒng)計量12個月滾動均值截面因子波動率（左軸）因子波動率調(diào)整系數(shù)（右軸）資料來源：Wind，華泰證券研究所資料來源：Wind，華泰證券研究所特異性收益

48、方差矩陣特異性收益方差矩陣是多因子風險模型的另一主要組成部分。不同股票的特異性收益率彼此獨立、互不相關(guān)，因此，特異性收益方差矩陣是一個對角矩陣，即非對角線上的元素為0。與因子收益協(xié)方差矩陣一致，我們依舊基于日頻收益數(shù)據(jù)，采用權(quán)重指數(shù)衰減的加權(quán)移動平均方法計算特異性收益方差矩陣：0 = () = (, )2 / =0=0 = 0.5,: 第 個截面上，第只股票的特異性收益率: 從截面 到截面的區(qū)間內(nèi)，第只股票的特異性收益率的加權(quán)均值 這里，與因子收益協(xié)方差矩陣相同，時間窗 = 252，權(quán)重半衰期 = 90。Newey-West 調(diào)整與因子收益協(xié)方差矩陣相同， 由于日頻特異性收益存在時序相關(guān)性，

49、需要先通過Newey-West 調(diào)整修正對特異性收益方差矩陣的估計，并將其頻率調(diào)整至表征月度風險的月頻特異性收益方差矩陣：= 21 + (1 ( + ),)()20 + 1=1) / =1 = (+=1這里，滯后期 = 5。結(jié)構(gòu)化調(diào)整在某一個時間截面上，因子收益是通過上千只股票的數(shù)據(jù)線性回歸計算得到的，不容易受到單只股票缺失值或異常值的影響。然而，特異性收益則是只基于一只股票的數(shù)據(jù)計算得到的，容易受到單只股票缺失值和異常值的影響。在實際市場中，新上市股票、長期停牌股票的特異收益可能缺失，公司披露重大事件的時間節(jié)點附近，股票的特異收益可能出現(xiàn)異常值。這些缺失數(shù)據(jù)和異常值可能導致特異性收益方差矩陣

50、非平穩(wěn)，損害模型的穩(wěn)定性。因此，對于特異性收益方差矩陣，我們需要額外設(shè)置一步結(jié)構(gòu)化調(diào)整，修正特異收益缺失險矩陣的影響。142011-01-312011-08-312012-03-312012-10-312013-05-312013-12-312014-07-312015-02-282015-09-302016-04-302016-11-302017-06-302018-01-312018-08-312019-03-312011-01-312011-08-312012-03-312012-10-312013-05-312013-12-312014-07-312015-02-282015-09-3

51、02016-04-302016-11-302017-06-302018-01-312018-08-312019-03-31異波動預(yù)測值的 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日結(jié)構(gòu)化調(diào)整的基本假設(shè)與多因子模型一脈相承使用共同因子表征股票的風險特征，假設(shè)具有相同因子暴露的股票可能具有相同的特異性風險。結(jié)構(gòu)化調(diào)整的具體方法如下。對于一段時間窗（ = 252）內(nèi)的特異性收益序列，定義第只股票的協(xié)調(diào)參數(shù) 0,1： = 1, (0, ) 1, (1 ) 60 =120 = | = 11.35 (3, 1,): 數(shù)據(jù)缺

52、失程度，越大說明數(shù)據(jù)缺失程度越小: 樣本內(nèi)的有效數(shù)據(jù)個數(shù)，若 180 則認為數(shù)據(jù)無明顯缺失: 數(shù)據(jù)肥尾程度，越大于 1 說明數(shù)據(jù)肥尾程度越大, : 樣本的等權(quán)標準差，樣本的穩(wěn)健估計標準差3, 1,: 樣本的四分之三分位數(shù)，樣本的四分之一分位數(shù)如果第只股票在此時間窗樣本內(nèi)存在明顯數(shù)據(jù)缺失或異常值導致的肥尾現(xiàn)象，則 1。如果第只股票無明顯數(shù)據(jù)缺失和異常值，則 = 1。對于所有 = 1的優(yōu)質(zhì)股票數(shù)據(jù)，將股票特異性收益的波動率的對數(shù)對所有因子的因子暴露做線性回歸，回歸采用市值加權(quán)的加權(quán)最小二乘法（WLS），得到每個因子對特異波動的貢獻值：() = + 那么，第只股票的結(jié)構(gòu)化特異波動預(yù)測值為： = (

53、)00: 用于消除回歸殘差項影響的調(diào)整系數(shù)，0 = 1.05對于所有個股，以協(xié)調(diào)參數(shù)為權(quán)重，綜合股票特異波動原始值和結(jié)構(gòu)化特異波動預(yù)測值，得到結(jié)構(gòu)化調(diào)整后的特異波動： = + (1 ) 易知，結(jié)構(gòu)化調(diào)整只針對存在明顯缺失值或異常值，即 1的股票。數(shù)據(jù)質(zhì)量良好（ = 1） 的股票，結(jié)構(gòu)化調(diào)整前、后的特異波動不變。圖表8： 結(jié)構(gòu)化調(diào)整中，數(shù)據(jù)質(zhì)量良好的股票在所有股票中的占比100%95%90%85%80%資料來源：Wind，華泰證券研究所上圖顯示了結(jié)構(gòu)化調(diào)整中，每個時間截面上，數(shù)據(jù)質(zhì)量良好（ = 1）的股票在所有股票中的占比。由圖可知，在絕大部分截面上，優(yōu)質(zhì)股票占比均在 85%以上，保證了結(jié)構(gòu)化特

54、有效性。結(jié)構(gòu)化調(diào)整前、后偏誤統(tǒng)計量的對比將在下一小節(jié)統(tǒng)一呈現(xiàn)。152011-01-312011-10-312012-07-312013-04-302014-01-312014-10-312015-07-312016-04-302017-01-312017-10-312018-07-312019-04-30 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 06 月 12 日貝葉斯壓縮調(diào)整風險模型的一個基本假設(shè)是風險具有一定的持續(xù)性，即樣本內(nèi)的歷史波動可以一定程度上平穩(wěn)地延續(xù)至樣本外的某個未來時刻。如果實際市場中的真實風險呈現(xiàn)出這樣的持續(xù)

55、性， 那么風險模型直接將歷史波動作為未來風險的預(yù)測值是合理的。但是，如果真實風險的持續(xù)性較弱，那么模型還需要根據(jù)真實風險的時序特征進行額外的調(diào)整。市場實證發(fā)現(xiàn)，與持續(xù)性較好的因子風險不同，特異性風險存在明顯的回歸均值趨勢，即樣本內(nèi)波動率較低的股票，很可能在樣本外的未來時刻波動率升高，同樣地，樣本內(nèi)波動率較高的股票，很可能在樣本外的未來時刻波動率降低。這一趨勢在具有樣本內(nèi)極端波動率的股票上表現(xiàn)得更加明顯。這一趨勢會導致風險模型低估樣本內(nèi)低波動率股票的未來風險，高估樣本內(nèi)高波動率股票的未來風險。因此，對于特異性收益方差矩陣，我們還需要利用貝葉斯收縮調(diào)整，根據(jù)特異風險回歸均值的趨勢進一步修正風險預(yù)測

56、值。貝葉斯壓縮調(diào)整的具體方法是，在每個時間截面上，將所有股票按照市值從小到大的順序分為 10 組，第只股票的特異波動會向其所在市值分組內(nèi)股票特異波動的市值加權(quán)均值回歸，從而得到調(diào)整后的特異波動 ： = + (1 ), = ,| | = ,|+ | ,1 ( )2, = (): 貝葉斯先驗風險矩陣，即股票所在市值分組的特異風險的市值加權(quán)均值: 壓縮密度，個股特異波動相對組均值的偏離越大，越接近 1: 結(jié)構(gòu)化調(diào)整后的股票的特異波動: 股票的市值權(quán)重: 壓縮系數(shù)，經(jīng)驗取值 = 1,：股票所屬市值分組的特異波動的標準差(): 屬于市值分組的股票數(shù)目如果股票特異波動相對組內(nèi)均值的偏離越大，即股票特異波動

57、越極端，那么貝葉斯壓縮密度越接近 1，即貝葉斯壓縮后特異波動向組內(nèi)均值回歸的程度越大。在每個時間截面上，將股票按照預(yù)測波動率從小到大的順序分為 10 組，考察每組股票在未來 12 個月的偏誤統(tǒng)計量的均值。所有調(diào)整步驟執(zhí)行之后的結(jié)果如下圖所示。由圖可知， 在進行貝葉斯壓縮調(diào)整之前，即 Newey-West 調(diào)整（黑色）和結(jié)構(gòu)化調(diào)整（灰藍色）后， 偏誤統(tǒng)計量與股票預(yù)測特異波動呈負相關(guān)，說明風險模型低估樣本內(nèi)低波動率股票的未來風險（偏誤統(tǒng)計量大于 1），高估樣本內(nèi)高波動率股票的未來風險（偏誤統(tǒng)計量小于 1）。 貝葉斯壓縮調(diào)整（黃色）之后，偏誤統(tǒng)計量隨股票預(yù)測特異波動的變化基本呈水平趨勢， 說明貝葉斯

58、壓縮調(diào)整良好地修正了模型的樣本外風險偏誤。最后一步波動率偏誤調(diào)整（紅色，具體方法見下一小節(jié)）后，偏誤統(tǒng)計量更接近于 1，說明波動率偏誤調(diào)整效果良好。結(jié)構(gòu)化調(diào)整和貝葉斯壓縮調(diào)整，是依據(jù)特異性收益和特異性風險的特征，額外進行的兩步調(diào)整。按照因子收益風險的調(diào)整思路，接下來應(yīng)該進行特征值調(diào)整和波動率偏誤調(diào)整。但 是，由于特異性收益方差矩陣是對角矩陣，其特征值就等于對角線元素，因此，對于特異性風險而言，特征值調(diào)整與波動率調(diào)整的效果相似，簡便起見不再設(shè)置特征值調(diào)整，直接 進行波動率偏誤調(diào)整。16 HYPERLINK / 謹請參閱尾頁重要聲明及華泰證券股票和行業(yè)評級標準金工研究/深度研究| 2019 年 0

59、6 月 12 日圖表9： 不同波動率分組下，股票在未來 12 個月的偏誤統(tǒng)計量均值1.21.110.90.812345678910股票分組（按照預(yù)測特異波動從小到大排列）Newey-West調(diào)整后的未來12個月偏誤統(tǒng)計量均值結(jié)構(gòu)化調(diào)整后的未來12個月偏誤統(tǒng)計量均值貝葉斯壓縮調(diào)整后的未來12個月偏誤統(tǒng)計量均值波動率偏誤調(diào)整后的未來12個月偏誤統(tǒng)計量均值資料來源：Wind，華泰證券研究所波動率偏誤調(diào)整與因子收益協(xié)方差矩陣的調(diào)整思路一致，之前的調(diào)整步驟都是將每只股票視作獨立的個體， 并未考慮其他股票包含的信息。為了最大化利用可用信息，在這一步我們考慮同一時間截 面上所有股票的特異波動，判斷模型是否在

60、某些時間段內(nèi)系統(tǒng)性地高估或者低估了所有股 票的特異性風險，并根據(jù)此波動率偏誤對截面上的特異性收益方差矩陣進行整體縮放。定義第個時間截面上，所有股票特異風險的總偏誤統(tǒng)計量為：2 = ( ): 股票在第個截面到未來第 + 個截面的特異性收益率: 在截面上，模型對股票在截面 + 區(qū)間內(nèi)特異波動的預(yù)測值: 股票的市值權(quán)重由于單個截面數(shù)據(jù)容易受到隨機噪聲的影響，因此，我們對一段時期的總偏誤統(tǒng)計量進行加權(quán)平均，得到特異波動率調(diào)整系數(shù)： =()2: 指數(shù)衰減權(quán)重，這里時間窗 = 252，權(quán)重半衰期 = 42最后，我們利用對特異波動進行調(diào)整： = 為了檢驗波動率偏誤調(diào)整效果，我們定義截面特異波動率： = 2如