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1、第五章 相似矩陣 5.1方陣的特征值與特征向量 5.2 相似矩陣 5.3 二次型及標(biāo)準(zhǔn)型5.4正定二次型的判斷說(shuō)明第一節(jié) 方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量的概念求矩陣特征值與特征向量的步驟:()., 0, .3的特征向量就是對(duì)應(yīng)于的非零解求齊次方程組對(duì)于特征值iiixAElll=-; ,0| .221的全部特征值就是的全部根求特征方程AAEnllllL=-|;|)( .1AEfA-=ll的特征多項(xiàng)式計(jì)算解例1 例 解定理1 取主對(duì)角線的n-1個(gè)元考慮第n個(gè)元怎么?。空归_(kāi)式中 的n及n-1次只能在主對(duì)角線上各元乘積中出現(xiàn)。其余各項(xiàng)至多包含n-2個(gè)主對(duì)角線元(關(guān)于 的次數(shù)至多是n-2)。
2、推論:設(shè)A為n階方陣,則|A|=0的充要條件是數(shù)0是A的特征值。由定理1的結(jié)論定義:n階方陣A=(aij)的主對(duì)角線上元之和稱為A的跡,記作tr(A)=a11+a22+ann.定理2 設(shè) 是矩陣A的一個(gè)特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為 ,且 是一個(gè)關(guān)于 的多項(xiàng)式,則 是 的一個(gè)特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量還是 .例4 設(shè)三階方陣A的特征值為1,2,3,求行列式|A2AE|.由定理2知 A2AE的全部特征值為1,1,11.又由定理1知: |A2AE|111111.解:證明則即類推之,有定理3把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式,得注:. 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的. 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬
3、于這個(gè)特征值的特征向量. 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一.4. 一個(gè)特征向量不可能屬于不同的特征值. 定理4 矩陣A的m個(gè)互不相同的特征值所對(duì)應(yīng)的m組各自線性無(wú)關(guān)的特征向量并在一起仍是線性無(wú)關(guān)的。定理5 設(shè) 是n階方陣A的一個(gè)k重特征值,對(duì)應(yīng)于 的特征向量的最大個(gè)數(shù)為l,則 .例5 設(shè)A是 階方陣,其特征多項(xiàng)式為解AT與A具有相同的特征多項(xiàng)式、特征值一、相似矩陣與相似變換的概念定義2.,相似與或說(shuō)矩陣的相似矩陣是則稱BAAB第二節(jié) 相 似 矩 陣二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)證明定理6若n階方陣A和B相似,則:R(A)=R(B)(2)|A|=|B|(3
4、)tr(A)=tr(B)(4)若A可逆,則B也可逆,且A-1與B-1也相似(5)kA與kB,Am與Bm也相似(6)若f(x)是任意多項(xiàng)式,則f(A)與f(B)相似階方陣如果L,A相似于對(duì)角矩陣n證明三、利用相似變換將方陣對(duì)角化定理7定義3證畢.反之說(shuō)明推論1如果 的特征方程有重根,此時(shí)A不一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,從而矩陣 不一定能對(duì)角化;但如果能找到 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 能對(duì)角化推論2n階方陣A可對(duì)角化的充要條件是A的每個(gè)r重特征值恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。推論3例1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣?若能對(duì)角化,求作一個(gè)可逆矩陣P,及對(duì)角陣,使得P-1AP= .解解之得基礎(chǔ)解系求得基
5、礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故 不能化為對(duì)角矩陣.A能否對(duì)角化?若能對(duì)角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以 可對(duì)角化.實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化,而且正交相似對(duì)角矩陣定理8實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù). 3 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.例如都為二次型 .只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)例如為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.稱為二次型的規(guī)范形 例如為二次型的規(guī)范形.1用和號(hào)表示對(duì)二次型二、二次型的表示方法2用矩陣表示,的矩陣稱為二次型fA.的二次型稱為Af).(,)(fRfARA記作的秩稱為的秩三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣
6、表示中,任給一個(gè)二次型,就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣;反之,任給一個(gè)對(duì)稱矩陣,也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣,二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系解一個(gè)實(shí)二次型,既可以通過(guò)正交變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形,也可以通過(guò)配方法和初等變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形,顯然,由于所用的可逆線性變換不同,其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說(shuō)是不惟一的,但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的,項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩第4節(jié) 正定二次型 不僅如此,在實(shí)可逆線性變換下,標(biāo)準(zhǔn)形中的正平方項(xiàng)個(gè)數(shù)與負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù),也是保持不變的.定理3定義3 實(shí)二次型 f xTAx 的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p 稱為二次型 f 的正慣性指數(shù);負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q 稱為二次型 f 的負(fù)慣性指數(shù),它們
7、的差 p-q 稱為二次型 f 的符號(hào)差. n元實(shí)二次型 f xTAx 無(wú)論用怎樣的可逆實(shí)線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型,其標(biāo)準(zhǔn)型中正、負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是唯一確定的,它們的和為二次型的秩.慣性定理一、慣性定理正定二次型負(fù)定二次型例如二、正(負(fù))定二次型的概念定義4不定二次型三、正(負(fù))定二次型的判別.: 6個(gè)系數(shù)全為正,即f 的正慣它的標(biāo)準(zhǔn)形的件是為正定的充分必要條實(shí)二次型定理nAxxfT=性指數(shù)為n.定理7n元實(shí)二次型 f xTAx 正定的充要條件是A的特征值全部都大于零.定義5 順序主子式定理8 n元實(shí)二次型 f xTAx 為正定的即實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是:A的各階主子式均為正,即設(shè)A=(
8、aij)為n階方陣,一次取A的前k行與前k列所構(gòu)成的子式 稱為A的順序主子式.1111kkkkaaaaLMML正定矩陣的性質(zhì)因AT=A,BT=B,所以(A+B)T=AT+BT=A+B即A,B也是實(shí)對(duì)稱矩陣.又,對(duì)任意非零列向量x有xTAx0, xTBx0證:于是: xT(A+B)x= xTAx+ xTBx0即xT (A+B) x是正定二次型,故 A+B 是正定矩陣.例7 判別二次型是否正定.解它的各階主子式故上述二次型是正定的.例8 判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣,定理7解由定理8,A要為正定矩陣,則各階主子式例9 判別二次型試問(wèn)t為何值時(shí),f為正定二次型。2. 正定二次型(正定矩陣)的判別方法:(1) 定義法;(2) 主子式判別法;(3) 特征值判別法. 1.正定二次型的概念,正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系五、小結(jié)(4) 標(biāo)準(zhǔn)形判別法. 定理8定理7定理6返回考試題型與往年差不多,大題題型如下:1、行列式計(jì)算 參見(jiàn)課本P37 5.(2)、(3)、(7)、(8). 習(xí)題本P2 二.2、4,P4 二.1,P6 二.2。2、由矩陣方程求解(求逆矩陣) 參見(jiàn)習(xí)題本P10 三.1,P14 三.1-3。 3、求解非齊次方程的通解 參見(jiàn)習(xí)題本P18 三.2-4 課本P131 例3,P135 7.(1-2)。
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