中考復習題型過關題型九二次函數(shù)綜合題

1、中考復習題型過關題型九二次函數(shù)綜合題中考復習題型過關題型九二次函數(shù)綜合題考法幫類型1 線段問題 類型2 面積問題 類型3 等腰三角形、菱形的存在性問題類型4 直角三角形、矩形的存在性問題類型5 平行四邊形的存在性問題類型6 相似三角形的存在性問題類型7 角度的存在性問題類型1 線段問題 類型2 面積問題 類型3 等腰三角形類型1 線段問題考法幫方法總結類型1 線段問題考法幫方法總結類型1 線段問題考法幫類型1 線段問題考法幫類型1 線段問題考法幫類型1 線段問題考法幫類型1 線段問題考法幫例1高分技法 2019 安陽二模改編如圖，拋物線 與x軸正半軸交于點 B，與 y 軸交于點 C，作直線 B

2、C.點 P 是直線 BC 上方的拋物線上一動點，設點 P 的橫坐標為 m，過點 P 作 PDBC,垂足為點 D，用含 m 的代數(shù)式表示線段 PD 的長，并求出線段 PD 的最大值. 對于 ,令x=，得y=4，令y=0，得 ，解得x1=4，x2=-2，B(4，0)，C(0，4). 易求直線BC的解析式為y=-x+4.點P的橫坐標為m，P(m， ).過點P作y軸的平行線交BC于點F，則F(m,-m+4)，PF= .在RtOBC中，OB=4，OC=4，OCB=45.又PFy軸，PFD=OCB=45，PD=PFsinPFD= .0m4， 0，當m=2時，PD最大，最大值為.類型1 線段問題考法幫例1高

3、分技法 2019 安陽二模考法幫 解決二次函數(shù)中線段長最值問題的方法1.設出未知數(shù)(通常是一個與所求線段關系緊密的點的橫坐標);2.用未知數(shù)表示出有關線段端點的坐標,進而表示出線段的長;3.利用二次函數(shù)的性質求最值.注意:當所求線段不是“橫平豎直”線段時,要先進行轉化,求得其與“橫平豎直”線段的倍數(shù)關系,再進行求解.例1高分技法類型1 線段問題考法幫 類型1 線段問題考法幫典例變式1高分技法如圖，拋物線 與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，作直線BC.點P是直線BC上方的拋物線上一動點，過點P作PMx軸交BC于點M，PNy軸交BC于點N.是否存在點P，使PMN的周長最大?若存在，求出點P的坐

4、標；若不存在，請說明理由.由線段最值問題變式為周長最大問題類型1 線段問題考法幫典例變式1高分技法如圖，拋物線 易求直線BC的解析式為y=-x+4，OCB=OBC=45.設P(m， )，則N(m，-m+4)，PN= .PMx軸，PNy軸，PMN=OBC=45，PNM=OCB=45，PMN是等腰直角三角形，PM=PN，MN= ，PMN的周長為 ，故當PN最大時,PMN的周長最大.當m=2時，PN取最大值，此時點P的坐標為(2，4).類型1 線段問題考法幫典例變式1高分技法存在.易求直線BC的解析式為y=-x+4，OCB=OBC=45考法幫解決二次函數(shù)中圖形周長最值問題的方法此類問題一般為對含動點

5、的圖形求周長的最值,解決此類問題時應利用轉化思想,即先觀察圖形,結合題目分清楚定線段和不定線段,然后將求周長的最值轉化為求不定線段和的最值.典例變式1高分技法類型1 線段問題考法幫解決二次函數(shù)中圖形周長最值問題的方法典例變式1高分技法類型1 線段問題考法幫典例變式2高分技法如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，作直線AC. 點P是直線AC上一動點，點Q是拋物線對稱軸上一動點，連接OP，OQ，PQ，是否存在點P，Q，使OPQ的周長最小? 若存在,求出點P，Q的坐標;若不存在，請說明理由.由線段最值問題變式為周長最小問題類型1 線段問題考法幫典例變式2高分技法如圖，拋物線 類型1 線

6、段問題考法幫典例變式2高分技法易求直線AC的解析式為y=2x+4.如圖，作點O關于直線AC的對稱點O，作點O關于拋物線對稱軸的對稱點O，連接OO，交AC于點M，連接OO，交AC于點P，交拋物線對稱軸于點Q，此時OPQ周長最小，故此時的點P，Q即為所求.易知拋物線的對稱軸為直線x=1，O(2,0).存在.類型1 線段問題考法幫典例變式2高分技法易求直線AC的解類型1 線段問題考法幫典例變式3高分技法如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C. 過點C作x軸的平行線 l ，點P是直線 l 上一動點，連接PA，PB，則PA+PB是否存在最小值? 若存在，求此最小值及點 P 的坐標；若不存在，

7、請說明理由.由線段最值問題變式為線段和最值問題類型1 線段問題考法幫典例變式3高分技法如圖，拋物線 類型1 線段問題考法幫典例變式3 高分技法存在.易知A(-2，0)，C(0，4)，直線 l 的解析式為 y=4.如圖，作點A關于直線 l 的對稱點A，連接BA交直線 l 于點P，則點P即為所求，且AB 的長即為PA+PB的最小值.易知A(-2，8)，點P是AB的中點，P(1，4)，AB=10，故PA+PB的最小值為10，此時點P的坐標為(1，4).類型1 線段問題考法幫典例變式3高分技法存在.類型1 線段問題考法幫典例變式4高分技法如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點H是拋物線

8、的頂點，作直線BC，點D是直線BC上一動點，連接DA，DH，求|DA-DH|的最大值，并求出此時點D的坐標.由線段最值問題變式為線段差最值問題類型1 線段問題考法幫典例變式4高分技法如圖，拋物線 類型1 線段問題考法幫典例變式4 高分技法易知A(-2,0),B(4,0),H(1,),直線BC的解析式為y=-x+4.作點A關于直線BC的對稱點A,連接DA,AH,則DA=DA.易知|DA-DH|AH,且當D,H,A三點共線時,等號成立,此時|DA-DH|的值最大,最大值為AH的長.當D,H,A共線時,如圖所示,連接AB.易知ABC=45,ABC=45,ABA=90.類型1 線段問題考法幫典例變式4

9、高分技法易知A(-2,0類型1 線段問題考法幫典例變式4 高分技法類型1 線段問題考法幫典例變式4高分技法類型1 線段問題考法幫典例變式5高分技法如圖,拋物線 與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,作直線BC,點P是拋物線上一動點,過點P作y軸的平行線,交直線BC于點E,交x軸于點F,則當PE=PF時,求點P的坐標.由線段最值問題變式為線段倍數(shù)關系問題類型1 線段問題考法幫典例變式5高分技法如圖,拋物線 類型1 線段問題考法幫典例變式5高分技法類型1 線段問題考法幫典例變式5高分技法考法幫解決二次函數(shù)中線段倍數(shù)關系問題的方法此類問題一般是求滿足線段倍數(shù)關系的點的坐標，方法如下:1.在圖中找出對

10、應線段， 分清定端點和動端點，設出動端點的橫坐標；2.用所設未知數(shù)表示出各線段的長度,列出滿足線段數(shù)量關系的等式，繼而求出未知數(shù)的值.注意:若所給倍數(shù)關系中的線段不是“橫平豎直”的線段，則先轉化為“橫平豎直”的線段，再進行求解.典例變式5高分技法類型1 線段問題考法幫解決二次函數(shù)中線段倍數(shù)關系問題的方法典例變式5高分技法類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫方法總結類型2 面積問題考法幫例2高分技法如圖

11、,拋物線y=-x2+x+6與x軸交于A,B兩點,直線y=x-3經(jīng)過點A,交y軸于點C,且與拋物線交于另一點D,點P是直線AD上方的拋物線上的一動點,連接PA,PD,求PAD面積的最大值,并求出此時點P的坐標.類型2 面積問題考法幫例2高分技法如圖,拋物線y=-x2類型2 面積問題考法幫例2 高分技法參考答案令- +x+6=x-3,解得x1=-3,x2=3,故A(3,0),D(-3,-6).方法一(鉛垂高、水平寬法):過點P作x軸的垂線交直線AD于點F,交x軸于點N,如圖(1).設P(m,- +m+6),則F(m,m-3),PF=- +m+6-(m-3)=- +9.過點D作PF的垂線交PF的延長

12、線于點M,則SPAD=SPDF+SPAF=PFDM+PFAN=PF(DM+AN)=PF(xA-xD)=(- +9)3-(-3)=-3 +27.-30,當m=0時,SPAD取得最大值,最大值為27,此時P(0,6).類型2 面積問題考法幫例2高分技法參考答案類型2 面積問題考法幫例2高分技法方法二(定底平行線法):過點P作直線lAD,當直線l與拋物線只有一個交點P時,直線l與直線AD的距離最大,即SPAD最大,如圖(2).設直線l的解析式為y=x+b,令x+b=- +x+6,整理,得 +b-6=0,易知此方程有兩個相等的實數(shù)根,b-6=0,即b=6.將b=6代入方程,得x=0,故此時點P的坐標為

13、(0,6).易得C(0,-3),PC=6+3=9,SPAD= PC(xA-xD)= 9(3+3)=27.故PAD面積的最大值為27,此時P(0,6).類型2 面積問題考法幫例2高分技法方法二(定底平行線法)類型2 面積問題考法幫例2高分技法方法三(直接求法):過點P作PMAD于點M,過點P作y軸的平行線,交AD于點F,如圖(3).易知C(0,-3),OA=OC,PFM=OCA=45,PM= PF.設P(m,- +m+6),則F(m,m-3),PF=- +m+6-(m-3)=- +9.由A(3,0),D(-3,-6),可得AD=6,SPAD= ADPM= AD PF=3PF=-3 +27.-30

14、,當m=0時,SPAD取得最大值,最大值為27,此時P(0,6).類型2 面積問題考法幫例2高分技法方法三(直接求法):過考法幫 求解二次函數(shù)中三角形面積最大值問題的常見方法方法一:設動頂點的橫坐標為m,用含m的代數(shù)式表示出三角形的面積,再利用二次函數(shù)的性質求三角形面積的最大值.方法二:找到所求三角形三邊中的定邊,過動頂點作平行于這條定邊的平行線,當平行線和拋物線有且只有一個交點時,三角形面積取最大值.三角形面積最大值問題的相關結論本例中,SPAD取得最大值時,點P的位置和點A,D關系密切.當點P的橫坐標與線段AD中點的橫坐標相同,即xP=時,SPAD最大.例2高分技法類型2 面積問題考法幫

15、類型2 面積問題考法幫典例變式1由三角形面積最值問題變式為三角形面積倍數(shù)關系問題如圖,拋物線y=-x2+x+6與x軸相交于A,B兩點,與y軸交于點C,直線y=x-3經(jīng)過點A,且與拋物線交于另一點D,連接AC,DC.點P是線段AD上一動點(不與點A,D重合),過點P作直線lx軸,交拋物線于點Q.當ACD的面積被直線l分為12的兩部分時,求點Q的坐標. 高分技法類型2 面積問題考法幫典例變式1由三角形面積最值問題變式類型2 面積問題考法幫典例變式1高分技法自主解答 解:易知C(0,6),A(3,0),B(-2,0),D(-3,-6),直線DC的解析式為y=4x+6,直線AC的解析式為y=-2x+6

16、.設直線AD與y軸的交點為E,則E(0,-3),CE=6-(-3)=9,SACD= CE(xA-xD)= 9(3+3)=27,SCDE= CE|xD|= 93= .由ACD的面積被直線l分為12的兩部分,可知這兩部分的面積分別為9,18.設P(m,m-3)(-3m0),則OF=m,MF=|- m2+ m|.當OMN與AOC相似時,易知OMN=OAC=90,分NOM=C和NOM=AOC兩種情況討論.類型6相似三角形的存在性問題考法幫例8高分技法令x=- 類型6相似三角形的存在性問題考法幫例8高分技法當NOM=C時,tanNOM=tan C= ,則 ,OF=4MF,m=4 , 解得m1=m2=0(

17、舍去),m3= ,m4= ,點M的坐標為 當NOM=AOC時,tanNOM=tanAOC=4,則 =4,MF=4OF, =4m,解得m5=m6=0(舍去),m7=- (舍去),m8= ,M( ,-54).綜上可知,點M的坐標為 .類型6相似三角形的存在性問題考法幫例8高分技法當NOM類型6相似三角形的存在性問題考法幫高分技法例8求解二次函數(shù)綜合題中相似三角形存在性問題的一般思路和注意事項1.一般思路(1)找點,找出所求相似三角形的三個頂點,若是定點,求出坐標,若是動點,將其橫、縱坐標用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;(2)分類,將相似三角形按照對應點分類(分類時,根據(jù)題中條件對分的類型進行刪減,一般

18、會給定一組對應點,再分兩種情況求解);(3)列式求解,根據(jù)相似三角形的性質,列出比例式,根據(jù)勾股定理求出相關線段的長,代入比例式,求未知數(shù)的值.2.注意事項(1)用點的坐標求“橫平豎直”線段的長時,若“橫平豎直”線段的端點左右或上下位置不確定,則線段長要用絕對值表示;(2)解出的未知數(shù)的值要進行檢驗,若出現(xiàn)三點共線或不合題意的點,要舍去;(3)當三角形的三邊不能用題目中的未知量表示時,注意利用相似三角形進行轉化求解;(4)根據(jù)題目中條件,快速、正確地畫出圖形,利用數(shù)形結合思想解題;(5)注意利用二次函數(shù)圖象的對稱性.類型6相似三角形的存在性問題考法幫高分技法例8求解二次函數(shù)類型7角度的存在性問

19、題考法幫方法總結類型7角度的存在性問題考法幫方法總結類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法如圖,直線y=-3x+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,B,且與x軸交于另一點C,連接BC.拋物線上是否存在點M,使MCB=ABO?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法如圖,直線y=-3類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法參考答案存在.對于y=-3x+3,令x=0,得y=3,令y=0,得x=1,A(1,0),B(0,3).將A(1,0),B(0,3)分別代入y=-x2+bx+c,得 解得故拋物線的解析式為y=

20、-x2-2x+3.易得tanABO= ,C(-3,0).方法一:分兩種情況討論.如圖(1),當點M在直線BC上方時,記為M1.過點B作BC的垂線,交直線CM1于點D1,則tanD1CB=tanABO= ,即 .過點D1作D1Gy軸于點G,易證D1GBBOC, ,D1G=1,GB=1.D1(-1,4),易知該點恰好在拋物線上,點M1與點D1重合,即M1(-1,4).類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法參考答案存在.類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法當點M在直線BC下方時,記為M2,作點D1關于直線BC的對稱點D2,易知點D2在直線CM2上,易得D2(1,2).可求得直線CD2的解析式為

21、y= x+ .令 =-x2-2x+3,解得x1= ,x2=-3(不合題意,舍去),M2綜上所述,點M的坐標為(-1,4)或 .類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法當點M在直線BC類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法方法二:設M(m,-m2-2m+3).分兩種情況討論.當點M在直線BC上方時,記為M1.過點M1分別作M1Dx軸于點D,M1QBC于點Q,M1D交BC于點F,易證M1QFCOB, =1,M1Q=QF.易得直線BC的解析式為y=x+3,點F的坐標為(m,m+3),M1F=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m,FD=m+3.tanM1CB=tanABO= = ,CQ=3M1

22、Q,CF=2M1Q, FD=2 M1F,FD=M1F,即m+3=-m2-3m,解得m1=-1,m2=-3(不合題意,舍去),M1(-1,4).類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法方法二:設M(m,類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法當點M在直線BC下方時,記為M2.過點M2分別作M2Dx軸于點D,M2QBC于點Q,DM2的延長線與CB的延長線相交于點F,易證M2QF COB, =1,M2Q=QF.易得點F的坐標為(m,m+3),M2F=m+3-(-m2-2m+3)=m2+3m,M2D=-m2-2m+3.tanM2CQ=tanABO= ,CQ=3M2Q,CF=4M2Q.DF= CF,DF

23、= 4M2Q=2M2Q,又M2F= M2Q,DF=2M2F,M2F=M2D,即m2+3m=-m2-2m+3,解得m1= ,m2=-3(不合題意,舍去),M2 .綜上所述,點M的坐標為(-1,4)或 .類型7角度的存在性問題考法幫例9高分技法當點M在直線BC類型7角度的存在性問題考法幫高分技法例9二次函數(shù)綜合題中角度的存在性問題的設問形式、特點和解題通法1.設問形式:(1)角度相等;(2)角度成倍數(shù)關系;(3)角度等于特殊值,如15,30,45,60等.2.特點:兩個相等的角中,有一個角是已知的,另一個角的頂點是定點,一邊為定邊,所求點為另一邊與某線的交點,且一般成對出現(xiàn)(分別在定邊的兩側).3

24、.解題通法:求解此類問題時,一般分兩種情況,根據(jù)條件分別求出未知邊所在直線的解析式,再分別聯(lián)立所相交的某線的函數(shù)解析式,即可求得交點坐標.類型7角度的存在性問題考法幫高分技法例9二次函數(shù)綜合題中角類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法由“1倍角”問題變式為“2倍角”問題如圖,直線y=-3x+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,B.拋物線上是否存在點M,使直線AM與y軸所夾銳角是ABO的2倍?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法由“1倍角”類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法自主解答

25、解:存在.易求A(1,0),B(0,3),拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.如圖,作線段AB的垂直平分線,交y軸于點D,連接AD,則AD=BD,BAD=ABO,ODA=2ABO.延長AD交拋物線于點M1,則點M1即為所求.設BD=AD=m,則OD=3-m.在RtAOD中,OA2+OD2=AD2,即12+(3-m)2=m2,解得m= ,OD= ,D(0, ).設直線AD的解析式為y=kx+h,將A(1,0),D(0, )分別代入,類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法自主解答解類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法故直線AD的解析式為令 =-x2-2x+3,解得x1=1(不合

26、題意,舍去),x2= ,M1(- , ).如圖,作直線AM1關于x軸的對稱圖形,交拋物線于點M2,則點M2即為所求.易求直線AM2與y軸的交點為(0,- ),故易求直線AM2的解析式為y= x- ,令 x- =-x2-2x+3,解得x3=1(不合題意,舍去),x4=- ,M2(- ,- ).綜上所述,點M的坐標為(- , )或(- ,- ).類型7角度的存在性問題考法幫典例變式1高分技法故直線AD的類型7角度的存在性問題考法幫高分技法典例變式1求解“2倍角”問題的方法1.利用中點中垂法或其他方法構造“2倍角”;2.根據(jù)相關條件,求得“2倍角”的動邊所在直線的解析式;3.將“2倍角”的動邊所在直

27、線的解析式與動點所在某線的解析式聯(lián)立起來,可求得動點的坐標.類型7角度的存在性問題考法幫高分技法典例變式1求解“2倍角類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法由“1倍角”問題變式為“半角”問題如圖,拋物線y=-x2-x+4交x軸于A,C兩點,交y軸于點B,連接AB.拋物線上是否存在點M,使ACM=BAO?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法由“1倍角”類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法自主解答解:存在.對于y=- x2- x+4,令x=0,得y=4,令y=0,得x1=3,x2=-4,A(3,0),B(0,4),C(-4

28、,0).方法一(外延等腰法):如圖(1),在點A右側的x軸上截取AD=AB,連接BD,則ADB=ABD,又BAO=ADB+ABD,ADB=ABD= BAO.過點C作CM1BD,交拋物線于點M1,得ACM1=BDO= BAO,則點M1即為所求.由A(3,0),B(0,4),易得AB=5,AD=AB=5,OD=3+5=8.設CM1交y軸于點E,ACM1=BDO,tanACM1=tanBDO, ,即 ,解得OE=2,E(0,-2).類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法自主解答解類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法易求直線CM1的解析式為y=- x-2.令- x-2=- x2- x

29、+4,解得x1= ,x2=-4(舍去),M1( ,- ).如圖(1),作直線CM1關于x軸的對稱圖形,交拋物線于點M2,則M2即為所求.易求直線CM2的解析式為y= x+2.令 x+2=- x2- x+4,解得x3= ,x4=-4(舍去),M2( , ).綜上所述,點M的坐標為類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法易求直線CM類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法方法二(角平分線法):如圖(2),作BAO的平分線交y軸于點F,則FAC= BAO.過點C作CM1AF,交拋物線于點M1,交y軸于點E,得ACM1=FAC= BAO,則點M1即為所求.由A(3,0),B(0,4),得A

30、B=5.設點F到AB的距離為h,則OF=h.SAOB=SAOF+SABF, 34= 3h+ 5h,解得h= .OF= .ACM1=FAC,tanACM1=tanFAC, 即 解得OE=2,E(0,-2).以下同方法一.類型7角度的存在性問題考法幫典例變式2高分技法方法二(角平類型7角度的存在性問題考法幫典例變式3高分技法由等角問題變式為特殊角問題如圖,拋物線y= (x+3)(x- )與x軸交于點A,C,與y軸交于點B,連接BC.點P為拋物線上一動點.當PCB=15時,求點P的坐標.類型7角度的存在性問題考法幫典例變式3高分技法由等角問題變類型7角度的存在性問題考法幫典例變式3高分技法自主解答解:易求B(0,3),C(-3,0),OB=OC=3,BCO=CBO=45.設P(m,- (m+3)(m- ).方法一:如圖(1),將射線CB繞