長方體正方體-表面積、體積-基礎(chǔ)拔高

1、長方體、方體（一）一、棱例題 1：填空題。(1)一個長方體的棱長和是 厘米，它的長是 9 厘米，寬 6 厘米，它的高是厘米。(2) 一個長方體的棱長和為 厘米，長寬高是三個連續(xù)的奇數(shù)，那么這個長方體的長、寬、 高分別是 厘米、 厘米、 厘米。(按從大到小的順序填)(3)有一個長 20 厘米，寬 8 厘米，高 6 米的禮品盒，帶扎起來(如圖 所示)，打結(jié)處用掉 40 厘米，那么至少需要 厘米的彩帶。練習(xí) 1：填空題。(1) 一根鐵絲，原打算圍成一個棱長為 12 厘米的正方體框架?，F(xiàn)在改圍成一個長是 厘， 寬是 14 厘米的長方體框架，那么圍成的長方體框架的高是 厘米考慮損耗）(2)萱萱為媽媽準(zhǔn)備

2、了一件禮物，用一個 12 厘米， 8 厘米，高 5 厘米 的禮品盒包裝并且用彩帶扎起來（如圖所示結(jié)處用掉 厘米，那么 至少需要 厘米的彩帶。例題 2：一個長方體的棱長總和是 厘米，已知長是寬的 1.5 倍，寬是高的 倍，求這個長 方體的長、寬、高。練習(xí) 2：一個長方體的棱長總和 140 厘米，已知長是寬的 2 倍，寬是高的 2 倍，求個長方 體的長、寬、高分別是多少？第 1 頁 共 21 頁例題 3：把一個棱長 8 厘米的正方體切成兩個完全一樣的長方體，這兩個長方體的棱長總和 比原來正方體的棱長總和增加了多少厘米？練習(xí) 3：如圖，將一個棱長是 的正方體沿虛線切成三個完全相同的長方體，求切開后的

3、 三個長方體的棱長總和比原來正方體的棱長總和增加了多少厘米。二、表積1、貼商標(biāo)類型：只求四周面積。例：一個長方體包裝盒，長寬高分別 8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)，需要商標(biāo)紙的面 積是多少？2、游泳池類型：只求四周和底面。例：一座游泳池，長寬高分別為、， 4m， 1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長為 的瓷磚，大 約需要多少塊瓷磚？3、抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。例：一款抽紙盒，長寬高分別 20cm， 12cm 5cm，上面有 14cm， 3cm 的抽紙口，做這 款抽紙盒需要多少硬紙片？4、占地面積問題：只求底面面積。例：一個長方體蓄水池，長 ，寬 8m，深 3m，這個水池占地面積多少平

4、方米？第 2 頁 共 21 頁5、一個長方體的無蓋玻璃魚缸，它的長 90 厘米，寬 30 厘米，高是 60 厘米，制作這個魚 缸至少需要多大面積的玻璃？6、一節(jié)排氣管道長 1 米，它的橫截面是一個正方形，邊長是 厘米，做一節(jié)這樣的排氣管至 少需要多少平方米的鐵皮？7、粉刷一間長 5 米、寬 4 、高 3 米的房間，房間門窗面積是 8 平方米，這間房的粉刷面積 是多少？8、加工廠要加工洗衣機(jī)的機(jī)套（沒有低面每臺洗衣機(jī)的長 59.5 厘米，寬 厘米，高 80 厘米，做 1000 個機(jī)套至少用布多少平方米？9、健身中心建一個游泳池，該游泳池的 50 米，是寬 2 倍， 2.5 米，要在池的四周和低

5、面都貼上瓷磚，共需要多少平方米的瓷磚？10、一個領(lǐng)獎臺的尺寸如下圖所示，把各面涂上紅色油漆(下面不涂)，涂漆部分的面積有多 大?(單位：分米)第 3 頁 共 21 頁三、切鋸例題 1 12 個棱長為 2 米的小正方體堆成一個長 厘米 4 厘米， 高也是 4 厘米的大長方體，再將它去掉兩個小正方體如圖)，那么現(xiàn)在 這個圖形的表面積是多少平方厘米?練習(xí) 1：1、圖中每個小正方體的棱長都是 1 厘米，那么這個立體圖形的表面積是多少平方厘米？2、求如圖所示的長方體切割后的表面積單位：厘米）例題 2：如圖，把一個正方體木塊鋸成四個長方體，它的表面積增加了 72 方厘米，那么原 正方體的表面積是多少平方厘

6、米?練習(xí) 2：1、如圖，把一個正方體木塊鋸成兩個長方體，它的表面積增加了 平方厘米，那么原正方體 表面積是多少平方厘米？2、如圖，把一個正方體木塊鋸成四個長方體，它的表面積增加了 平方厘米，那么原正方體 的表面積是多少平方厘米？第 4 頁 共 21 頁3、如圖，把一個正方體木塊鋸成三個長方體，它的表面積增加了18 平方厘米，那么正方體 表面積是多少平方厘米？一個高為 8cm 長方體木塊果縱向把它切成兩個小長方體面積就增加 平方厘米； 如果橫向把它切成兩個小長方體，表面積就增加 平方厘米，這個長方體木塊的表面積是多 少?第 5 頁 共 21 頁長方體和正體（二）一、知要點(diǎn)在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)

7、長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)： 1.必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2.依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3.求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。二、精精練【例題 1】把一個棱長 8 厘米的正方體鐵塊，鍛造成一個長 厘米，寬 2 厘米的長方體塊， 這個長方體鐵地的高是多少厘米？練習(xí) 1：一個長方體容器長 厘米、寬 20 厘米、高 10 厘米，里面水深 6 米，把它倒入一 個長 40 厘米、寬 30 厘米、高 厘米的長方體容器中，水深應(yīng)為幾厘米?【例題 2】 一個零件形狀大小如下圖

8、：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平 方厘米？（單位：厘米）練習(xí) 2：如圖所示，小馨在素質(zhì)拓展課上做了一件手工作品，那么這件作品的體積是多少立方厘米如圖是某個機(jī)器的零件，那么這個零件的體積是多少立方厘米第 6 頁 共 21 頁把一根長 2 米的長方體木料鋸成 1 米長的兩段表面積增加了 2 平方分米求這根木料原來的 體積。【例題 3】 一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖能算出它的體積 和表面積嗎？（單位：厘米）練習(xí) 3：1.有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積單位：厘米2.有一個棱長是 4 厘米的正方體從它的一個頂點(diǎn)處挖去一個棱長是 厘米的正方體后剩下 物體的

9、體積和表面積各是多少？【例題 4個長方體表面積是 216 平方厘米底面積是 10 平方厘米面周長為 厘米。 （1）這個長方體的側(cè)面積是多少平方厘米?（2）這個長方體的高是多少厘米?練習(xí) 4：個長方體，表面積是 平方厘米，底面積是 12 平方厘米，底面周長為 厘米。 （1）這個長方體的側(cè)面積是多少平方厘米?（2）這個長方體的高是多少厘米?（3）這個長方體的體積是多少立方厘米?第 7 頁 共 21 頁【例題 5】 一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來 的長方體的表面積增加了 平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？練習(xí) 5：1.一根 80 厘米和高都是 厘米的長

10、方體鋼材材的一端鋸下一個最大的正方體后， 它的表面積減少了多少平方厘米？2.把 4 塊棱長都是 2 分米的正方體粘成一個長方體們的表面積最多會減少多少平方分米？【例題 6】 一個長方體，前面和上面的面積之和是 平方厘米，這個長方體的長、寬、高 以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？練習(xí) 6：1.有一個長方體，它的前面和上面的面積和是 平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這 個長方體的體積是多少？2.一個長方體的長、寬、高是三個連續(xù)偶數(shù)，體積是 立方厘米，求它的表面積。3. 一個長方體和一個正方體的棱長之和相等，已知長方體長、寬、高分別是 分米、 4 米、 25 分米，求正

11、方體體積。第 8 頁 共 21 頁鞏固練習(xí)：1、一個長方體木塊的長是 厘米，寬是 8 厘米，高是 5 厘米，那么這個長方體木塊的體積 是多少立方厘米？2、一個長方體木塊的長是 厘米，寬是 30 厘米，高是 50 厘米，那么這個長方體木塊的體 積是多少立方米？3、一個正方體鐵塊的棱長是 厘米，現(xiàn)在要把這個正方體鐵塊熔鑄成一個高和寬都是 5 厘 米的長方體鐵塊，那么這個長方體鐵塊的長是多少厘米？4、國家游泳中心水立方是長 177m，寬 177m，高 30m 的長方體建筑，里面設(shè)置的泳池長 50m， 寬 25m。水立方的占地面積是多少平方米?水立方所占空間有多大?如果游泳池里的水深 2.2m水的體積

12、是多少立方米?5、一根長方體銅條長 ，橫截面是邊長為 正方形。如果每立方分米銅重 8.9kg， 那么這根銅條一共重多少千克?6、把一個棱長是 20cm 的正方體鋼坯熔鑄成橫截面為正方形的長方體鋼材，橫截面的邊長是 5cm，這根鋼材的長是多少米?第 9 頁 共 21 頁長方體、方體的體積三）【知識述】在長方體正方體問題中我們還會常常遇到這樣一些情況把一個物體變形為另一種形狀的 物體把兩個物體熔化后鑄成一個物體把一個物體浸入水中物體在水中會占領(lǐng)一部分的體 積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1，將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗積不變；2，兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體

13、積的和；3，物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積?！纠}講】例1、有一張長 40 厘米，寬 厘米的長方形硬紙片，從四個角各剪去邊長為 厘米的小正方 形，做成一個長方體紙盒。該紙盒的容積是多少立方厘米(不考慮紙盒的厚度）練習(xí) 1：如圖，有一塊長 48 米，寬 38 厘米的長方形鐵皮，在它的四個角分別減去邊長為 厘米的正方形再焊接成一個長方體盒子那么這個盒子的容積是多少立方厘米(不考慮鐵皮 的厚度)例2、小高去精品店買了三件禮物要送給爸爸、媽媽和爺爺。三件禮物都裝在長 分米，寬 2 分米高 1 分米的禮盒里現(xiàn)在要將這三個禮盒包裝在一起仍然是長方體)有幾種包裝的方 法?最少要多少平方米包裝紙?

14、（不慮重疊部分)練習(xí) 2：一種長方體紙盒的長、寬、高分別是 5 厘米、4 厘米和 3 厘米。小玲要把 個這樣 的長方體紙盒粘成一個大長方體，那么粘成的長方體的表面積最大是多少平方厘米第 10 頁 共 頁例3、已知一個正方體容器棱長是 20 厘米容器內(nèi)的水面高度是 8 厘米現(xiàn)在將一個長方體 鐵塊沉入水中水面高度上升至 厘米如果鐵塊的長和寬分別是 厘米和 8 厘米那么這 個鐵塊的高是多少厘米？練習(xí) 3：一個正方體魚缸的棱長是 2 分米，其中裝了一部分水，現(xiàn)在往魚缸中投入體積為 立方厘米的鵝卵石后魚缸中的水面剛好到邊緣沒有溢出那么在放入鵝卵石之前水面的高 度是多少分米?例 4有兩個無蓋的長方體水箱甲

15、水箱里有水乙水箱空著從里面量甲水箱長 厘米， 寬 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱長 厘米，寬 24 厘米，深 25 厘米。將甲水箱中部分水 倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？練習(xí) 4有兩個水池甲水池長 8 分米寬 6 分米水深 3 分米乙水池空著它的長 6 分米、 寬和高都是 4 分米現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池使甲水池中水面是乙水池水面高 度的 2 倍。問甲水面高多少？例 5、有一個長方體容器，從里面量 5 分米、寬 4 米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分 米。如果把一塊邊長 2 分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？第 11 頁 共 頁練習(xí) 5

16、、有一個正方體容器，邊長 24 厘米，里面注滿了水。有一根 50 厘米，橫截面 12 平方厘米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溢出多少立方厘米的水？例 6、在一個長方體容器內(nèi)已經(jīng)有一個長 厘米，寬 30 厘米，高 40 厘米的長方體鐵塊?，F(xiàn) 在往這個容器內(nèi)注水，已知這個容器的長、寬、高分別是 分米、10 分米、3 分米，那么需 要多少升水才能剛好將鐵塊淹沒，并且沒有水溢出練習(xí) 6、把一個長 米，寬 5 ，高 米的長方體水池注滿水，然后把一根長 4 ，寬 米， 高 5 米的長方體鐵柱立著放進(jìn)水里，那么水池溢出的水的體積有多少升?例 7、有一個長方體容器（如下圖長 30 厘米、寬 20

17、 厘米、 高 10 厘米，里面的水深 6 米。如果把這個容器蓋緊，再朝 左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？練習(xí) 7、有兩個長方體水缸，甲缸長 分米，寬和高都是 米；乙缸長 分米、寬 2 米， 里面的水深 1.5 分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？例8、觀察下面的圖形，回答問題：第 12 頁 共 頁已知水池內(nèi)每個小正方體的大小形狀完全相同，請回答： (1) 這個水池的容積是多少立方厘米？(2)小正方體的體積是多少立方厘米？(3)球體的體積是多少立方厘米？(4)水池內(nèi)水的體積是多少立方厘米？練習(xí) 8、一個長方體盛水容器的長是 厘米，寬是 15 厘米，高是 20 厘米，容器內(nèi)水面的

18、高 度是 12 厘米。現(xiàn)在將 1 個大玻璃球和 9 個大小形狀都完全相同的小玻璃球放到這個容器中， 水面高度變?yōu)?18 厘米再把其中的 6 個小玻璃球從水中取出水面高度變?yōu)?厘米那么大 玻璃球的體積是多少立方厘米?每個小玻璃球的體積是多少立方厘米?【選講】大、中、小三個正方體的水池，它們的內(nèi)邊長分別為 米、3 米、2 米。把兩堆碎 石分別沉入中、小水池中，兩個水池的水面分別升高 厘米和 11 厘米。如果將這兩堆碎石都 沉入大水池中，那么大水池的水面將長高多少厘米？練習(xí)、在長 15 厘米、寬為 厘米的長方體水箱中有 10 厘米深的水?，F(xiàn)在往水箱里放一個石 塊，這時水平面的高度是 厘米。石塊的體積

19、至少是多少？【綜合精練】1有一張長 50 厘米寬 30 米的長方形硬紙片從四個角各剪去 邊長為 5 厘米的小正方形，做成一個無蓋的長方體紙盒。該紙盒的 容積是多少立方厘米？(不考慮紙盒的厚度)第 13 頁 共 頁2、一種長方體紙盒的長、寬、高分別是 6 厘米、4 厘米和 2 厘米。小玲要把 個這樣的長方 體紙盒粘成一個大長方體，那么粘成的長方體的表面積最大是多少平方厘米？3、一種長方體鐵盒的長、寬、高分別是 5 厘米、3 厘米和 1 厘米。樂樂要把 個這樣的長方 體紙盒粘成一個大長方體，那么粘成的長方體的委面積最少是多少平方厘米4、一個長方體水槽的長、寬、高分別是 分米、8 分米、5 分米，水

20、槽內(nèi)水面的高度是 3 分 米，現(xiàn)往水槽內(nèi)投入一個鐵塊，鐵塊被完全浸沒，如果水面上升到4 分米，那么這個鐵塊的體 積是多少立方分米？5、一個長方體的容器，長和寬都 10 厘米，里面裝 3.1 升水，放入一個蘋果后水面的高度 是 32 厘米(蘋果被完全浸沒)，這個蘋果的體積是多少立方厘米？6、一個正方體的容器中放著一個鉛球，鉛球完全浸沒在水中，現(xiàn)在的水面高度是 分米，從 水中將鉛球拿出后水面下降了 分米已知正方體容器的棱長是 7 分米那么這個鉛球的體 積是多少立方分米？7、一個金魚缸的長 40 分米寬 10 分米水面的高度是 2 分米放入 10 塊鵝卵石后水面的高 度變成 2.5 分米(鵝卵石全部

21、被完全浸沒)，那么每塊鵝卵石的平均體積是多少立方分米？第 14 頁 共 頁8、一個長 5 分米，寬 3 分米，高 2 分米的玻璃容器，水面的高度是 0.8 分米，現(xiàn)在向容器中 放入一個 1500 立方厘米的石頭，并且這塊石頭可以被水完全浸沒，現(xiàn)在水面的高度是多少分 米？9、有兩個長方體水箱，甲水箱長 厘米，寬和高都是 20 厘米；乙水箱長 厘米，寬和高 都是 40 厘米?，F(xiàn)在甲水箱里面裝有一部分水，且水 15 厘米，乙水箱沒有水，如果把甲水箱 的所有水全部倒入到乙水箱，那么乙水箱水深多少厘米？10、一個長 10 米，寬 5 厘米，高 4 米的長方體玻璃槽中裝滿了水，現(xiàn)在要把這些水倒入 長為 2

22、0 厘米，寬 2 厘米，高 7 厘米的水槽中，水面高多少厘米？11、有一個長方體水箱， 40 厘米、 30 厘米、 35 厘米，箱中水面高 10 厘米。放進(jìn)一個 棱長 20 厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？12、一段鋼材長 15 分米，橫截面面積是 平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是 平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長。13把 8 塊邊長是 1 分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體這個大正方體的表面積是多少平方 分米？第 15 頁 共 頁14、有一個小金魚缸， 4 分米、 3 分米、水 2 分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上 升 0.8 分米。這塊假山石的體積是多少

23、立方分米？15、有一塊邊長 5 厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后，水面下 降了 0.5 厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？16、有一塊邊長 2 分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長方體，這長方體的截面是一個 4 厘米、寬 2 厘米的長方形，求它的長。17、一個長方體，如果長減少 2 厘米，寬和高都不變，那么它的體積減少 立方厘米；如果 18寬增加 3 厘米長和高都不變那么它的體積增加 99 立方厘米如果高增加 4 厘米長、 寬都不變，那么它的體積增加 立方厘米。原長方體的表面積是多少？19一個長方體木塊從下部和上部分別截去高為 厘米和 2 厘米的長方體后便成為

24、一個正 方體，其表面積減少了 120 方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？第 16 頁 共 頁長方體和正體 (四)一、知要點(diǎn)解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實(shí)掌握長方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方 法仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外還必須知道把一個長方體或正方體 沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。二、精精練例1、一根長 6 米的長方體木棍，把它截成 3 段，表面積增加了 72 平方厘米，那么 根這樣 的長方體木棍的體積之和是多少立方米?練習(xí) 1：如圖，三根長度均為 1.6 米的長方體木棍粘合在一起，表面積減少了 平方厘米 那么粘合后的

25、長方體木棍的體積是多少立方米?一根長 5 米的長方體木棍，把它截成 3 段，表面積增加了 480 平方厘米，那么 根這樣的 長方體木棍的體積之和是多少立方米？如圖，兩根長度均為 10 米的長方體木棍粘合在一起，表面積減少了 平方厘米，那么粘合 后的長方體木棍的體積是多少立方米？例 2、 一個棱長為 6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為 厘米的正方體若干塊，表面 積增加多少厘米？練習(xí) 2：1.把 27 塊棱長是 1 厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的 小正方體的表面積之和少多少平方厘米？第 17 頁 共 頁例 3、 一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增

26、加了 24 方厘米，這個正方體 木塊原來的表面積是多少平方厘米？練習(xí) 3：把三個棱長都是 2 厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？有一個正方體木塊， 4 分米、 3 分米、高 6 分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體，表面積最多 增加多少平方分米？有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長 8 厘米、 4 厘米、高 2 厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成 一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？例 4、一個長方體木塊，從上面截去一段高為 厘米的小長方體，剩下一塊正方體木塊，正方 體木塊比原長方體的表面積減少了 平方厘米，那么原來的長方體木塊的體積是多少立方厘 米?練習(xí) 4：一個長方體木塊從上面截去一段高為 5 厘米的小長方體剩下一塊正方體木塊正方體木塊 比原長方體的表面積減少了 平方厘米，那么原來的長方體木塊的體積是多少立方厘米?第 18 頁 共 頁將一個長方體的高減少 5cm就變成了正方體如右圖)，正方體的表面積比原長方體的表面積 減少了 60 平方厘米。原長方體的體積是多少立方厘米例 5、 一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中： （1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個面都沒有涂色的有幾個？練習(xí) 5：把一個棱長是 5 厘米的正方體的六個