牛頓柯特斯公式

1、牛頓柯特斯公式第1頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四第2頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四二、 Newton-Cotes公式的代數(shù)精度 所以I = S，表明辛卜生公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對(duì)于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。第3頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四 上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故積分值為0， 即：所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。 第4頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四三、幾種低

2、階Newton-Cotes求積公式的余項(xiàng) 證明： 這里被積函數(shù)中的因子(xa)(xb)在區(qū)間a, b 上不變號(hào)（非正），故由積分中值定理，在a, b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使： 第5頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四證明：在a, b區(qū)間上構(gòu)造三次多項(xiàng)式H(x)，讓H(x) 滿足插值條 件（帶導(dǎo)數(shù)插值）： 而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對(duì)上述三次多項(xiàng)式H(x) 應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：其插值余項(xiàng)為：第6頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四因此，辛卜生公式的誤差就是對(duì)上述誤差公式的積分：第7頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四 四 復(fù)

3、化求積公式 在實(shí)驗(yàn)計(jì)算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點(diǎn)，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)n 8時(shí)，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實(shí)上，增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必然會(huì)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。第8頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四1、復(fù)化梯形公式第9頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，

4、星期四2、復(fù)化辛普森公式步長(zhǎng)h越小，截?cái)嗾`差越小。與復(fù)化梯形公式的分析相類似，可以證明，當(dāng)n 時(shí)，用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。 第10頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 0.8414709第11頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四第12頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四若用復(fù)化求積公式計(jì)算積分:的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？ 例2解 因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí)有

5、0.3e-1e-x1于是： 要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)10-4 / 2。又因?yàn)? 因此若用復(fù)化梯形公式求積分，n應(yīng)等于41才能達(dá)到精度。由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：第13頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四若用復(fù)化Simpson公式即得n 1.6。故應(yīng)取n = 2。 a, b分成n 等分，分點(diǎn)為：在每個(gè)小區(qū)間：上，共三個(gè)點(diǎn)：所以這里在0, 1上實(shí)際上共有5個(gè)分點(diǎn)。注意這里是將區(qū)間第14頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)10分，星期四 例2的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度，用復(fù)化Simpson公式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式少，這也說(shuō)明了復(fù)化Simpson公式的精度較高，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化Simpson公式。 復(fù)化求積方法又稱為定步長(zhǎng)方法，要應(yīng)用復(fù)化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計(jì)出合適的步長(zhǎng)或n，進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如同例2一樣。然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計(jì)式給出合適的步長(zhǎng)，就要估計(jì)被積函