【高等代數(shù)試題】2011_第1頁
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1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院期末試題 20102011學(xué)年第二學(xué)期考試科目 高等代數(shù)II 考試時間 201姓 名 學(xué) 號 判斷對錯, 正確的請給出簡要證明, 錯誤的舉出反例. （24分）只要A是冪零矩陣, 就有 | I + A | = 1 .設(shè) F 5是包含5個元素的有限域, A為F 5上的方陣.若A滿足3 A 3 + A 2 + 2A = I , 則A可以在F 5上對角化.若線性變換 A 滿足 Ker A Im A = 0 , 則A 2 = A .若A是實矩陣, 滿足 AT = A , 則 I + A 一定可逆.填空題（20分）在 R x 1 , x 2 , x 3 中, 由全體 10次齊次多項式和零多

2、項式構(gòu)成的實線性空間的維數(shù)是_; 其中由全體 10次齊次對稱多項式和零多項式構(gòu)成的線性子空間的維數(shù)是_.已知 1 , 2 , 3 , 4是歐氏空間R4的標(biāo)準(zhǔn)正交基, 其中 1 = 1 0 0 0 T , 2 = 0 0 1 0 T , 且 3 與 1 1 1 1 T 的夾角為45 , 則 4 =_.3) 以下諸矩陣的相似等價類的分類為 _., , 三（10分）已知 R3 上的對稱雙線性函數(shù) f ( a , b ) 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩陣為 .1) 判斷 f ( a , b ) 能否構(gòu)成R3 上的內(nèi)積;2) 求基底 b1 , b2 , b3 , 使得 f 在此基下的度量矩陣是對角矩陣. 四（24分）已知 A是實線性空間 V上的線性變換, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩陣為 A = . 1) 求A 的特征多項式與最小多項式 ;2) 求 V 的根子空間分解, 寫出每個根子空間的基底;3) 求 V 的一組基, 使得A的矩陣為 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型.五（12分）設(shè)b1 , b2 , b3 與 1 , 2 , 3分別是矩陣 B = 與 C = 的列向量. 求歐氏空間R2上的線性變換A (寫出標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣), 使得 取到最小值.六 設(shè)A是歐氏空間Rn上的正交變換. 證明:1)（3分）A的每個復(fù)特征值

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