多重比較方差檢驗

1、多重比較方差檢驗第1頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二由于 ，故由此給出i - j的置信水平為1-的置信區(qū)間為 (8.2.1)其中 是 2的無偏估計。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里 2的估計使用了全部樣本而不僅僅是兩個水平Ai, Aj下的觀測值。第2頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二例 繼續(xù)例， ，fe=21，取0.05 ，則t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796， 于是可算出各個置信區(qū)間為 可見第一個區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認為1 小于2，其它二個區(qū)間包含0點，雖然從點估計

2、角度看水平均值估計有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。 第3頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二8.2.2 多重比較問題 對每一組(i, j)， (8.2.1) 給出的區(qū)間的置信水平都是1 ，但對多個這樣的區(qū)間，要求其同時成立，其聯合置信水平就不再是1 了。 第4頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 譬如，設E1 , , Ek是k個隨機事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,k ，則其同時發(fā)生的概率 這說明它們同時發(fā)生的概率可能比1 小很多。 為了使它們同時發(fā)生的概率不低于1，一個辦法是把每個事件發(fā)生的概率提高到1 /k. 這將導致每個置信區(qū)

3、間過長，聯合置信區(qū)間的精度很差，一般人們不采用這種方法。 第5頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 在方差分析中，如果經過F檢驗拒絕原假設，表明因子A是顯著的，即r個水平對應的水平均值不全相等，此時，我們還需要進一步確認哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。 同時比較任意兩個水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時檢驗如下r(r1)/2個假設： （） 第6頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 直觀地看，當H0ij成立時， 不應過大，因此，關于假設(8.2.2)的拒絕域應有如下形式 諸臨界值應在（）成立時由

4、P(W)= 確定。下面分重復數相等和不等分別介紹臨界值的確定。 第7頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 8.2.3 重復數相等場合的T法 在重復數相等時，由對稱性自然可以要求諸cij相等，記為c. 記 ，則由給定條件不難有 第8頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 于是當 (8.2.2) 成立時，1= r = ，可推出 其中 ，稱為t化極差統計量，其分布可由隨機模擬方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的1 分位數，其值在附表8中給出。 第9頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 重復數相同時多重比較可

5、總結如下：對給定的的顯著性水平 ，查多重比較的分位數q(r,fe)表，計算 ，比較諸 與c的大小，若 則認為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認為水平Ai與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。 第10頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 例 繼續(xù)例，若取 =0.05，則查表知q1-0.05(3, 21)=3.57，而 。所以 ，認為1與2有顯著差別 ，認為1與3無顯著差別 ，認為2與3有顯著差別 這說明： 1與3之間無顯著差別，而它們與2之間都有顯著差異。 第11頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二8.2.4 重

6、復數不等場合的S法在重復數不等時，若假設 (8.2.2) 成立，則 或 從而可以要求 ，在此要求下可推出第12頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二可以證明 ，從而 亦即第13頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 例 在例中，我們指出包裝方式對食品銷量有明顯的影響，此處r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故第14頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 由于 這說明A1 , A2 , A3間無顯著差異，A1 , A2與A4有顯著差異，但 A4與A3

7、的差異卻尚未達到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。 第15頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二P387 3、4第16頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二Bonferroni法SNK法Tukey法第17頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二8.3 方差齊性檢驗 在進行方差分析時要求r個方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當正態(tài)性假定不滿足時對F檢驗影響較小,即F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感。所以r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。 所謂方差齊性檢驗是對如下一對假設作出檢驗： （） 第1

8、8頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 很多統計學家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是： Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等的場合； Bartlett檢驗，可用于樣本量相等或不等 的場合，但是每個樣本量不得低于5； 修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較 大、相等或不等場合均可使用。 第19頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二8.3.1 Hartley檢驗 當各水平下試驗重復次數相等時，即m1=m2=mr=m,Hartley提出檢驗方差相等的檢驗統計量： （） 這個統計量的分布無明顯的表達式，但在諸方差相等條件下，可

9、通過隨機模擬方法獲得H分布的分位數，該分布依賴于水平數r 和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H (r，f)，其分位數表列于附表10上。 第20頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 直觀上看，當H0成立，即諸方差相等（12 =22=r2）時，H的值應接近于1，當H的值較大時，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時應拒絕 (8.3.1)中的H0。由此可知，對給定的顯著性水平 ，檢驗H0的拒絕域為 W=H H1(r, f ) （） 其中H1(r, f )為H分布的1 分位數。 第21頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 例 有四種

10、不同牌號的鐵銹防護劑（簡稱防銹劑），現要比較其防銹能力。數據見表。 這是一個重復次數相等的單因子試驗。我們考慮用方差分析方法對之進行比較分析，為此，首先要進行方差齊性檢驗。第22頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 本例中，四個樣本方差可由表中諸Qi求出，即 由此可得統計量H的值 在 =0.05時，由附表10查得H0.95(4,9) =6.31，由于H d （） Bartlett證明了，檢驗的拒絕域為 W=B 1- 2 (r-1) （） 考慮到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時使用上述檢驗是適當的。 第25頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，

11、星期二 例 為研究各產地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異，特選四個產地綠茶，其中A1制作了7個樣品， A2制作了5個樣品， A3與A4各制作了6個樣品，共有24個樣品，按隨機次序測試其葉酸含量，測試結果如表所示。 第26頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 為能進行方差分析，首先要進行方差齊性檢驗，從表中數據可求得s12=2.14, s22=2.83, s32=2.41, s42=1.12，再從表上查得MSe =2.09，由(8.3.6)，可求得 再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗統計量的值 對給定的顯著性水平 =0.05，查表知0.952 (41) =7.8

12、15。由于B7.815，故應保留原假設H0，即可認為諸水平下的方差間無顯著差異。 第27頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二8.3.3 修正的Bartlett檢驗 針對樣本量低于5時不能使用Bartlett檢驗的缺點，Box提出修正的Bartlett檢驗統計量 （） 其中B與C如（）與（）所示，且第28頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 在原假設H0：12 =22=r2成立下，Box還證明了統計量 的近似分布是F分布F(f1, f2)，對給定的顯著性水平 ，該檢驗的拒絕域為 （） 其中f2的值可能不是整數，這時可通過對F分布的分位數表施行內插法得到分位數。 第29頁，共32頁，2022年，5月20日，14點20分，星期二 例 對例中的綠茶葉酸含量的數據，我們用修正的Bartlett檢驗再一次對等方差性作出檢驗。 在例中已求得：C=1.0856，B=0.970，還可求得： 對給定的顯著性水平 =0.05，在F分布的分位數表上可查得 F0.95(3,682.4)= F0.95(3,)=2.