數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程課后習(xí)題答案

1、算法1、（，題1）用二分法求方程x3x10在1,2內(nèi)的近似根，要求偏差不超出10-3.【解】由二分法的偏差預(yù)計(jì)式|x*xk|ba1103，獲取3ln102k12k12k11000.兩端取自然對(duì)數(shù)得k18.96，所以取k9，即最少需二分9次.求解過(guò)程見下表。ln2kakbkxkf(xk)符號(hào)012+123456789（，題2）證明方程f(x)ex10 x2在區(qū)間0,1內(nèi)有獨(dú)一個(gè)實(shí)根；使用二2、分法求這一實(shí)根，要求偏差不超出1102。ex2【解】因?yàn)閒(x)10 x2，則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0)e0100210，f(1)e11012e80，即f(0)f(1)0，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知

2、，f(x)在區(qū)間0,1上最少有一個(gè)零點(diǎn).又f(x)ex100，即f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間0,1內(nèi)有獨(dú)一實(shí)根.由二分法的偏差預(yù)計(jì)式*ba112k.|xxk|2k12k1210，獲取21002ln10兩端取自然對(duì)數(shù)得23.32196.6438，所以取k7，即最少需二分kln2次.求解過(guò)程見下表。kakbkxkf(xk)符號(hào)0011234567偏差1（，題8）已知e=，試問(wèn)其近似值x12.7，x22.71，x2=，x32.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對(duì)偏差限?！窘狻坑行?shù)字：因?yàn)閨ex1|0.018280.051101，所以x12.7有兩位有效數(shù)字；2因?yàn)閨ex2|

3、0.008280.051101，所以x22.71亦有兩位有效數(shù)字；21因?yàn)閨ex3|0.000280.0005103，所以x32.718有四位有效數(shù)字；2|ex1|0.05r1x11.85%；2.7|ex2|0.051.85%；r2x22.71|ex3|0.00050.0184%。r3x32.718評(píng)（1）經(jīng)四舍五入獲取的近似數(shù)，其全部數(shù)字均為有效數(shù)字；（2）近似數(shù)的全部數(shù)字并不是都是有效數(shù)字.2（，題9）設(shè)x12.72，x22.71828，x30.0718均為經(jīng)過(guò)四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對(duì)偏差(限)與相對(duì)偏差(限)?！窘狻?0.005，r110.0051.84103；x12.72

4、20.000005，r220.0000051.84106；x22.7182830.00005，r330.000056.96104；x30.0718評(píng)經(jīng)四舍五入獲取的近似數(shù)，其絕對(duì)偏差限為其末位數(shù)字所在位的半個(gè)單位.sinx；3（，題10）已知x11.42，x20.0184，x3184104的絕對(duì)偏差限均為0.5102，問(wèn)它們各有幾位有效數(shù)字？【解】由絕對(duì)偏差限均為0.5102知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起，故x11.42，有三位；x20.0184有一位；而x31841040.0184，也是有一位。泰勒插值和拉格朗日插值1、（，習(xí)題1）求作f(x)sinx在節(jié)點(diǎn)x00的5次泰勒插值多項(xiàng)式p5(x

5、)，并計(jì)算p5(0.3367)和預(yù)計(jì)插值偏差，最后將p5(0.5)有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較?！窘狻坑蒮(x)sinx，求得f(1)(x)cosx；f(2)(x)f(4)(x)sinx；f(5)(x)cosx；f(6)(x)sinx，所以p5(x)f(x0)f(1)(x0)(xx0)f(2)(x0)(xx02!f(0)f(1)(0)xf(2)(0)x2f(5)(0)2!5!f(3)(x)cosx；(5)2f(x0)(xx0)55!x5x1x31x53!5!插值偏差：R5(x)|f(6)()|(xx0)6|sin()|(xx0)61x6，若x0.5，則6!6!6!p5(0.3367)0.33670

6、.336730.336750.3303742887，而3!5!0.33676R5(0.3367)2.021060.5105，精度到小數(shù)點(diǎn)后5位，6!故取p5(0.3367)0.33037，與精確值f(0.3367)sin(0.3367)0.330374191對(duì)比較，在插值偏差的精度內(nèi)完整切合！2、（，題12）給定節(jié)點(diǎn)x01,x11,x23,x34，試分別對(duì)以下函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項(xiàng)：（1）f()4x33x2；x（2）f(x)x42x3【解】依題意，n3，拉格朗日余項(xiàng)公式為f(4)()3R3(x)(xxi)4!i0（1）f(4)(x)0R3(x)0；（2）因?yàn)閒(4)(x)4!，所以R3(x)f(

7、4)()(x1)(x1)(x3)(x4)(x1)(x1)(x3)(x4)4!3、（，題13）依照以下數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算sin(0.3367)的近似值并預(yù)計(jì)偏差。i012xisin(xi)【解】依題意，n3R3f(4)()3xi)，拉格朗日余項(xiàng)公式為(x)4!(xi0（1）線性插值因?yàn)閤0.3367在節(jié)點(diǎn)x0和x1之間，先預(yù)計(jì)偏差f()sin()x)max(xx0)(x1x)R1(x)(xx0)(xx1)(xx0)(x122!20.0121104；須儲(chǔ)存到小數(shù)點(diǎn)后4為，計(jì)算過(guò)程剩余兩位。22y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0 x0 xx1P1(x)xx1s

8、in(x0)x0 x1P1(x)1(0.33670.0210.01670.02xx0sin(x1)1(xx0)sin(x1)(x1x)sin(x0)x1x0 x1x00.32)sin(0.34)(0.340.3367)sin(0.32)sin(0.34)0.0033sin(0.32)0.3304（2）拋物線插值插值偏差：f()(xx0)(xx1)(xx2)cos()x0)(x1x)(xx2)R2(x)6(x3!max(xx0)(x1x)(x2x)30.0131106662y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80 x0 xx1x2拋物線插值公式為：P2(x)(xx

9、1)(xx2)(xx0)(xx2)sin(x1)(xx1)(xx0)(x0 x1)(x0 x2)sin(x0)x0)(x1x2)(x2x1)(x2sin(x2)(x1x0)1(x1x)(x2x)(xx0)(x2(x1x)(xx0)0.0222sin(x0)x)sin(x1)2sin(x2)P2(0.3367)1050.0223.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)1053.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)0.330374390.022經(jīng)四舍五入后得：P2(0.3367)0.330374，與s

10、in(0.3367)0.330374191精確值對(duì)比較，在插值偏差范圍內(nèi)完整切合！分段插值與樣條函數(shù)1、（，習(xí)題33）設(shè)分段多項(xiàng)式x3x20 x1S(x)bx2cx11x22x3是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確立系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)函數(shù)值連續(xù)：S(1)1312213b12c11S(1)，即：bc1(1)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S(1)312216122b1cS(1)，即：2bc1(2)解方程組（1）和（2），得b2,c3，即S(x)x3x20 x12x32x23x11x2因?yàn)镾(1)321262122S(1)，所以S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。1的一組數(shù)

11、據(jù)，x00,x11,x22和y01,y10.5,y20.2，2、已知函數(shù)yx211）求其分段線性插值函數(shù)；2）計(jì)算f(1.5)的近似值，并依據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式預(yù)計(jì)偏差。【解】（1）依題意，將x分為0,1和1,2兩段，對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)為S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日線性插值公式，求得S1(x)xx1y0 xx0y1x11x00.50.5x1；x0 x1x1x00110S2(x)xx2y1xx1y2x20.5x10.20.3x0.8x1x2x2x11221（2）f(1.5)10.30769230769，而S2(1.5)0.31.50.80.35，1.521實(shí)質(zhì)偏差為：|f(1.5)S2(1.5)|0

12、.04230.05。f(1)(x)2x2,f(2)(x)2(13x2),f(3)24x(1x2)由(12)(12)3(x)2)4,可xx(1x知M2f(2)(1)0.5，則余項(xiàng)表達(dá)式R(x)|f(2)()|(x1)(x2)|M20.520.540.06250.52!2!曲線擬合1、（，習(xí)題35）用最小二乘法解以下超定方程組：2x4y113x5y3x2y62xy7【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)以下：Q(x,y)(2x4y11)2(3x5y3)2(x2y6)2(2xy7)2，分別就Q對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：Q(x,y)xQ(x,y)y0：6xy17(1)，0：3x46y48(2)，解方程組（1）和

13、（2），得x4617483.04029,6483171.24176273y2732、（，習(xí)題37）用最小二乘法求形如yabx2的多項(xiàng)式，使之與以下數(shù)據(jù)相擬合?！窘狻苛頧x2，則yabX為線性擬合，依據(jù)公式,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得55255abXi5abxiyi(1)i1i1i1；555555aXibXi2axi2bxi4Xiyixi2yi(2)i1i1i1i1i1i1依照上式中的乞降項(xiàng)，列出下表xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)191936113032168592562539062531499619235214708938144420851

14、36441936374809615753277277699將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2），得5a05327b271.4(1)5327a07277699b369321.5(2)a271.47277699369321.553277791878.157277699532753270.97258；8011566b5369321.55327271.4400859.70.05004；57277699532753278011566即：y0.972580.05004x2。機(jī)械求積和插值求積1、（，習(xí)題3）確立以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所擁有的代數(shù)精度：hf(x)dxh

15、1f(x)dx01f(x)dx0A0f(h)A1f(0)A2f(h)；A0f(1)A1f(1)A2f(3)；424f(0)A0f(x0)。【解】（1）令f(x)1,x,x2時(shí)等式精確成立，可列出以下方程組：A0A1A22h(1)A0A20(2)A0A22(3)h3,A1hhf(解得：A0A2h4h，即：f(x)dxh)4f(0)f(h)，可以33h3驗(yàn)證，對(duì)f(x)x3公式亦成立，而對(duì)f(x)x4不成立，故公式（1）擁有3次代數(shù)精度。（2）令f(x)1,x,x2時(shí)等式精確成立，可列出以下方程組：A0A1A21(1)A02A13A22(2)解得：A03A012A127A216(3)f(1)2f(

16、3)，可以A22,A11，即：f(x)dx12f(1)13303424驗(yàn)證，對(duì)f(x)x3公式亦成立，而對(duì)f(x)x4不成立，故公式（2）擁有3次代數(shù)精度。A03（3）令f(x)1,x時(shí)等式精確成立，可解得：4x02311f(0)3f(2)，可以驗(yàn)證，對(duì)f(x)x2即：f(x)dx公式亦成立，而對(duì)0443f(x)x3不成立，故公式（3）擁有2次代數(shù)精度。2、（，習(xí)題6）給定求積節(jié)點(diǎn)x01,x13,1試構(gòu)造計(jì)算積分If(x)dx的插值型求積440公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)：1xx1dx1x32(1x23x)A04dx0 x0 x101324101；2441x

17、1A11xx0dx4dx2(1x21x)0 x1x003124101；244插值求積公式：nAkf(xk)1f(1)1f(3)f(x)dx10k02424當(dāng)f(x)1，左側(cè)=11；右側(cè)=11111；左=右；f(x)dx02211x21111131當(dāng)f(x)x，左側(cè)=；右側(cè)=；左=右；f(x)dx02022424211x311；右側(cè)=11195；左右；當(dāng)f(x)x2，左側(cè)=f(x)dx030321621616故該插值求積公式擁有一次代數(shù)精度。梯形公式和Simpson公式1、（，習(xí)題9）設(shè)已給出xf(x)00f(x)1exsin4x的數(shù)據(jù)表，345266591分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分【

18、解】（1）用復(fù)化梯形法：If(x)dx的近似值。0a0,bba1,n5,hnn1hT5f(xk)f(xk1)k0210.254hn12f(xk)f(b)f(a)2k1T50.25f(0.00)2f(0.25)f(0.50)f(0.75)f(1.00)2T50.1251.000002(1.655341.551521.06666)0.72159T51.28358（2）用復(fù)化辛普生法：a0,b1,n2,hba1n0.5n1h2S2f(xk)4f(x1)f(xk1)hk06f(a)k26S20.5f(0.00)4f(0.25)f(0.75)26S211.0000010.8883.103040.7215

19、912n1n14f(xk1)2f(xk)f(b)k02k1f(0.50)f(1.00)1.30939I11105，問(wèn)2、（，習(xí)題10）設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分exdx，為使截?cái)嗥畈怀?2應(yīng)當(dāng)區(qū)別區(qū)間【0,1】為多少均分？假如改用復(fù)化辛普生法呢？【解】（1）用復(fù)化梯形法，a0,b1,f(x)f(x)f(x)ex，設(shè)需區(qū)別n均分，則其截?cái)嗥畋磉_(dá)式為：|RT|ITn|(ba)3f()(10)3e；12n2max12n3依題意，要求|RT|1105，即2e1105n2e105212.849，可取n213。12n226（2）用復(fù)化辛普生法，a0,b1,f(x)f(x)f(x)ex，截?cái)嗥畋磉_(dá)式為：

20、55e4；|RS|ISn|(ba)4maxf()(10)4e180(2n)2880n2880n依題意，要求|RS|1105，即2e1105n4e1053.70666，可取n4，區(qū)別8均分。2880n421440數(shù)值微分1、（，習(xí)題24）導(dǎo)出三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)的余項(xiàng)表達(dá)式f(x0)13f(x0)4f(x1)f(x2)(51)2hf(x1)1f(x0)f(x2)(52)2hf(x2)1f(x0)4f(x1)3f(x2)(53)2h【解】假如只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式獲取的余項(xiàng)表達(dá)式為f(n1)(k)nR(xk)(xkxj)f(xk)p(xk)(n1)!j0jk由三點(diǎn)公

21、式(51)、(52)和(53)可知，n2,hx1x0 x2x1，則f(21)(0)2f(0)(x0f(0)h2R(x0)(x0 xj)x1)(x0 x2)(21)!j13!3f(21)(1)2f(1)(x1f(0)h2R(x1)(2(x1xj)x0)(x1x2)1)!j03!6j1f(21)(2)2f(2)(x2f(2)h2R(x2)(2(x2xj)x0)(x2x1)1)!j03!3j22、（，習(xí)題25）設(shè)已給出f(x)1的數(shù)據(jù)表，(1x)2xf(x)試用三點(diǎn)公式計(jì)算f(1.0),f(1.1),f(1.2)的值，并預(yù)計(jì)偏差。【解】已知x01.0,x11.1,x21.2,hx1x0 x2x10.

22、1，用三點(diǎn)公式計(jì)算微商：f(1.0)14f(1.1)f(1.2)130.250040.22680.20660.24703f(1.0)22h0.1f(1.1)1f(1.0)f(1.2)2hf(1.2)1f(1.0)4f(1.1)2hf(x)1;f(x)x)2(1(110.25000.20660.217020.13f(1.2)140.226830.20660.18700.2500220.1624;f(x)4;f(x)5，x)3(1x)x)(1用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算偏差R(1.0)f(0)2240.120.00253h3(11.0)5R(1.1)f(1)h2240.120.001253!3!(11.0)5

23、R(1.2)f(2)h2240.120.0496733(11.1)53（、，習(xí)題26）設(shè)f(x)sinx，分別取步長(zhǎng)h0.1,0.01,0.001，用中點(diǎn)公式（52）計(jì)算f(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)儲(chǔ)存小數(shù)點(diǎn)后第6位。【解】中心差商公式：f(a)f(ah)2hf(ah)，截?cái)嗥睿篟(h)f(a)h2?？梢姴介L(zhǎng)h越小，截?cái)嗥钜嘣叫　?!(1)h0.1,x00.8h0.7,x20.8h0.9,則f(0.8)1sin(0.9)sin(0.7)210.7833270.6442180.695545；2h0.1(2)h0.01,x00.8h0.79,x20.8h0.81,則f(0.8)1sin(0.8

24、1)sin(0.79)12h20.7242870.7103530.69670.01(3)h0.001,x00.8h0.799,x20.8h0.801,則1sin(0.801)sin(0.799)1f(0.8)20.7180520.7166590.69652h0.01而精確值f(0.8)cos(0.8)0.6967067，可見當(dāng)h0.01時(shí)獲取的偏差最小。在h0.001時(shí)反而偏差增大的原由是f(0.8h)與f(0.8h)很湊近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。所以，從舍入偏差的角度看，步長(zhǎng)不宜太小。Euler格式1、（，題1）列出求解以下初值問(wèn)題的歐拉格式(1)yx2y2(0 x0.4)，y(

25、0)1，取h0.2；y2(2)yy(1x1.2)，y(0)1，取h0.2；xx【解】（1）yn1ynhynynh(xn2yn2)yn0.2(xn2yn2)；（2）yn1ynh(yn2yn)yn0.2(yn2yn)。xn2xnxn2xn2、（，題2）取h0.2，用歐拉方法求解初值問(wèn)題yyxy2(0 x0.6)，y(0)1?！窘狻繗W拉格式：yn1ynhynynh(ynxnyn2)yn0.2(ynxnyn2)；化簡(jiǎn)后，yn10.8yn0.2xnyn2，計(jì)算結(jié)果見下表。n0123xnyn3、（，題3）取h0.1，用歐拉方法求解初值問(wèn)題y12y2(0 x4)，y(0)0。1x2并與精確解2x1比較計(jì)算結(jié)

26、果。yx21【解】歐拉格式：yn1ynhynynh(12yn2)yn0.2(12yn2)；1xn21xn2化簡(jiǎn)后，yn1yn0.4yn210.2，計(jì)算結(jié)果見下表。xn21、（，題7）用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計(jì)算結(jié)果。【解】因?yàn)閥f(x,y)yxy2(0 x0.6)，h0.2，且y(0)1，則改進(jìn)的歐拉公式：ypynhf(xn,yn)ynh(ynxnyn2)0.8yn0.2xnyn2ycynhf(xn,yp)ynh(ypxnyp2)yn0.2(ypxnyp2)。yn1(ypyc)2計(jì)算結(jié)果見下表。n0123xnypycyn與原結(jié)果比較見下表n0123xnynyn(改進(jìn))龍格-庫(kù)塔方法

27、1、（，題11）用四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解初值問(wèn)題y83y，y(0)2，試取步長(zhǎng)h0.2計(jì)算y(0.4)的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后儲(chǔ)存4位數(shù)字?！窘狻克碾A經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法公式：yn1h(K12K22K3K4)yn6K1f(xn,yn)K2f(x1,ynhK1)；2nK3f(x1,ynhK2)2nK4f(xn1,ynhK3)列表求得y(0.4)以下：nxnyn012迭代法及收斂定理1、（，題1）試取x01，用迭代公式xk120(k0,1,2,)，求方程2xkxk210 x32x210 x200的根，要求正確到103。【解】迭代計(jì)算結(jié)果列于下表kxk|xk-xk-1|kxk|xk-xk-1|1

28、N6N2N7N3N8N4N9Y5N因?yàn)閨x9x8|0.00082103，所以xx91.36906。2、（，題2）證明方程x1cosx有且僅有一實(shí)根。試確立這樣的區(qū)間2xk11cosxk對(duì)x0a,b均收斂。21cosx，則當(dāng)x1【證明】設(shè)：g(x)R時(shí)，g(x)cosx22g(x)1sinx連續(xù)，|g(x)|1sinx|11，所以迭代過(guò)程222x0R均收斂。（壓縮映像定理），方程x1cosx有且僅有一實(shí)根。2a,b，使迭代過(guò)程1，且一階導(dǎo)數(shù)2xk11cosxk對(duì)23、（，題4）證明迭代過(guò)程xkxk1對(duì)隨便初值x01均收斂于2。1xk2【證明】設(shè)：g(x)x1，對(duì)于隨便x1，因?yàn)閤12x12，所以

29、g(x)2。2x2x2x一階導(dǎo)數(shù)g(x)1111，依據(jù)壓縮映像定理，迭代公式xk1xk1對(duì)隨便2x222xk初值x01均收斂。假定limxkx，對(duì)迭代式xk1xk1兩邊取極限，則有k2xkxx1，則x22，解得x2，因x2不在x1范圍內(nèi)，須舍去。2x故x2。牛頓迭代法1、（，題17）試用牛頓迭代法求以下方程的根，要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字：（1）x33x10，x02（2）x23xex20，x01【解】（1）設(shè)xk1xk程見以下表。f(x)(xk)f(xk)x33x1，則f(x)3x23，牛頓迭代公式：xkxk33xk12xk313xk233(xk2(k0,1,2,)，迭代計(jì)算過(guò)1)kxk|xk

30、-xk-1|12因?yàn)閨x3x2|0.00006（2）設(shè)f(x)x23xexxk1xkf(xk)xkf(xk)，迭代計(jì)算過(guò)程見以下表。kxk|xk-xk-1|N3YN104，所以xx31.879。2，則f(x)2x3ex，牛頓迭代公式：xk23xkexk2xk2exk(xk1)22xk3exk2xk(k0,1,2,)3exkkxk|xk-xk-1|kxk|xk-xk-1|1N3N2N4Y因?yàn)閨x3x2|0.00000104，所以xx40.2575。2、（，題18）應(yīng)用牛頓法于方程x3a0，導(dǎo)出求立方根3a(a0)的迭代公式，并證明該迭代公式擁有二階收斂性?！咀C明】（1）設(shè)：f(x)x3a，則f(

31、x)3x2，對(duì)隨便x0，牛頓迭代公式xk1xkf(xk)xkxk3a2xk3a0,1,2,f(xk)3xk23xk2k（2）由以上迭代公式，有：limxkx3a。設(shè)g(x)2x32a(x0)k3xg(x)x；g(x)2a0；g(x)2a2(1x3)x4。3x3ax3a3axk1xg(xk)g(x)g(x)(xkx)g()(xkx)22!limxk1x2g(x)31，可見該迭代公式擁有二階收斂性。k(xkx)2!a線性方程組迭代公式1、（，題1）用雅可比迭代與高斯3x1x22-賽德爾迭代求解方程組：2x2，要求結(jié)果有3x11位有效數(shù)字。x1(k1)1x2(k)21(2x2(k)【解】雅可比迭代公

32、式：333，迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。x2(k1)1x1(k)11(1x1(k)k2220.0005?x1(k)x2(k)|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N5N6N7N8N9N10Yx1x1(10)0.600;x2x2(10)0.200；由上表可見，所求根皆為小數(shù)點(diǎn)后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則偏差限為1103。2x1(k1)1x2(k)21(2x2(k)高斯-賽德爾迭代公式：333，迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。k012345x1x1(5)x2(

33、k1)12x1(k)x2(k)002/31/60.600;x2x2(5)x1(k1)11(1x2(k)26|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|0.0005?-2/31/6NNNNY0.200；2、（，題7）取4x13x1x21.25，用廢弛法求解以下方程組，要求精度為1104。23x2164x2x3204x312【解】歐先寫出高斯(k1)x1(k1)x2(k1)x3引入廢弛因子，得賽德爾迭代：3x2(k)443(k)1(k)9(k)4x14x3516x21(k)9(k)1(k)4x2364x216x31x3(k)2(1)452x1(k1)(1)x1(k)x2(k1)(1)x2(k

34、)x3(k1)(1)x3(k)將方程組（1）代入（2），并化簡(jiǎn)(k1)x1(k1)x2(k1)x31x1(k)41x2(k)41x3(k)4(k1)x145(k1)(2)4x25(k1)4x3x1(k1)1x1(k)15x2(k)4165x2(k1)29x2(k)5x3(k)641652(3)x3(k1)45x2(k)11x3(k)25664258計(jì)算結(jié)果見下表。kx1(k)x2(k)x3(k)|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|x3(k)x3(k1)|0000-1552345678901234567e?-NNNNNNNNNNNNNNNNY迭代解：x1x1(17)1.5001,x

35、2x2(17)3.3333,x3x3(17)2.1667.精確解：x131.5,x2101323.3333,x32.1667.36線性方程組迭代公式1、（，題2）試列出求解以下方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式，并觀察迭代過(guò)程的收斂性。10 x1x35x47x18x23x3113x12x28x3x423x12x22x37x417【解】（1）雅可比迭代公式：x1(k1)x2(k1)1x3(k)101x1(k)81x(4k)23x3(k)8710118(1)x3(k1)x4(k1)GJ3x1(k)81x1(k)70010841412771x2(k)42x(2k)7111023081082

36、071x4(k)82x3(k)7GJ23817771，迭代收斂。8（2）高斯-賽德爾迭代公式：x1(k1)1x3(k)10 x2(k1)1x1(k1)8x3(k1)3x1(k1)8x4(k)23x3(k)8x2(k1)4710118(2)1x4(k)2388x4(k1)1x1(k1)72x2(k1)2x3(k1)17777將方程組（1）帶入（2），經(jīng)化簡(jiǎn)后，得：x1(k1)1x3(k)1x4(k)710210 x2(k1)31x3(k)1x4(k)117801680(3)x3(k1)x4(k1)GGS19x3(k)19x4(k)78732064320121x3(k)39x4(k)3991112

37、022411200011102031138016，GGS1，迭代收斂。50019193206400893911202242、（，題5）分別用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解以下方程組：x12x21（1）x223x1x15x23x322）5x12x2x342x1x25x311【解】（1）雅可比迭代：x1(k1)2x2(k)131,不收斂。x2(k1)3x1(k)，G2高斯-賽德爾迭代：x1(k1)2x2(k)1x1(k1)2x2(k)161,不收斂。x2(k1)3x1(k1)或x2(k1)6x1(k)，G25（2）雅可比迭代：x1(k1)x2(k)x3(k1)5x2(k)5x1(k)2x1(k)53x3(k)1x3(k)2x2(k)522，G81,不收斂。115高斯-賽德爾迭代：x1(k1)5x2(k)3x3(k)2x1(k1)5x2(k)3x3(k)2(k)5(k1)1(k)或(k)25(k)(k)x22x12x32x22x28x33x3(k1)2x1(k1)1x2(k1)11x3(k1)1x2(k)14x3(k)1855525581,不收斂。3、（，題6）加工上述題5的方程組，比方調(diào)換方程組的擺列順序，以保證迭代過(guò)程的收斂性。【解】加工后結(jié)果以下：3x1x22（1）2x21x15x