第18課 正定二次型

1、第18課 正定二次型第1頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五什么條件決定兩個二次型等價？ 我們知道, 等價的二次型有相同的秩, 也就是標準形中平方項個數(shù)相等. 但秩相等的兩個二次型不一定等價.例如 與 不可能等價. 因為不存在可逆矩陣 C 滿足因為第2頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五慣性定理( P196 定理6.3.1 ) 在二次型的標準形中，正項個數(shù)與負項個數(shù)保持不變?；蛘哒f二次型的規(guī)范形是唯一。 二次型的標準形中正項個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù), 負項個數(shù)稱為二次型的負慣性指數(shù). 設二次型 f 的秩為 r , 正慣性指數(shù)為 p , 則負慣性指為

2、 r p . f 的規(guī)范形為 慣性定理指出：兩個二次型是否等價，被其秩和正慣性指數(shù)唯一確定。第3頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五 如果 n 維的二次型 f(x) = xTAx 其標準形系數(shù)全為正，則稱之為正定二次型，二次型的矩陣 A 稱為正定矩陣；如果標準形中系數(shù)全為負，則稱之為負定二次型，二次型的矩陣稱為負定矩陣。定義化標準形化規(guī)范形正定二次型為 正定矩陣就是特征值全大于零的對稱矩陣，也是與單位矩陣合同的對稱矩陣。 顯然，如果 f 負定，則 f 正定，以后只需討論正定二次型(正定矩陣)。第4頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五定理 二次型 f(

3、x) = xTAx 正定的充要條件是對任意x0，都有 f(x) = xTAx 0. (注：書上以后者為定義)證 設必要性：設 f 正定，即對任意x0，則 ，故充分性：反證。如果有某個 ，取, 與 矛盾。第5頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五定理( 霍爾維茨定理 ) 對稱矩陣A為正定的充要條件是：A的各階主子式全為正，即第6頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五判別二次型是否正定.它的各階順序主子式故上述二次型是正定的.例1f 的矩陣為解第7頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五例2解判別二次型是否正定.二次型的矩陣為即知A是正定矩

4、陣，故此二次型為正定二次型.求得其特征值第8頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五判別二次型的正定性.例3解二次型的矩陣它的各階順序主子式A是負定矩陣，二次型是負定二次型?；蛘?，判別 為正定.第9頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五例4與矩陣 合同的矩陣是( )A特征值是兩正一負。第10頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五是正定二次型？解 二次型的矩陣為A的順序主子式為：所以當例5 問t 滿足什么條件時，二次型A的順序主子式全大于0，此時 f 正定。第11頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五例6設 是正定矩陣, 證明第12頁，共13頁，2022年，5月20日，16點22分，星期五例7為A