高一數(shù)學(xué)必修3復(fù)習(xí)

1、高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題1 算法初步 秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個n次多項式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達式如下：例題：秦九韶算法計算多項式 答案： 6 ， 6 2 統(tǒng)計 基本定義：（1）總體：在統(tǒng)計中,所有考查對象的全體叫做全體.(2) 個體：在所有考查對象中的每一個考查對象都叫做個體.(3) 樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做總體的樣本.(4) 樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量. 抽樣方法：（1）簡單隨機抽樣（simple random sampling）：設(shè)一個總體的個數(shù)為N.如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時每個個

2、體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單的隨機抽樣,簡單隨機抽樣常用的方法有抽簽法和隨機數(shù)表法. （關(guān)于制簽和隨機數(shù)表的制作，請參照課本第41頁）(2)系統(tǒng)抽樣(systematic sampling):將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體作為樣本。先用隨機的方法將總體進行編號，如果就從中用隨機數(shù)表法剔除幾個個體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔，然后從第一組中用簡單實際抽樣的方法抽取一個個體，假設(shè)編號為 ，然后就可以將編號為 的個體抽出作為樣本，實際就是從每一組抽取與第一組相同編號的個體。(3)分層抽樣（stratifed sampli

3、ng）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.樣本容量越大，估計越精確！友情提醒：1. 把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會寫過程2. 個體數(shù)N的總體中抽取一個樣本容量為n的樣本，那么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等，且等于.其實三種抽樣的每一個個體都是等幾率的被抽到的3. 三種抽樣都是不放回的抽樣4. 在具體問題中對于樣本，總體，個體應(yīng)該時代單位的,如考察一個班級的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個同學(xué)，則個體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的總體也是全

4、班級同學(xué)的視力 兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系： 類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽取過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中個體數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層進行抽取各層抽樣可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體有差異明顯的幾部分組成系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體較多 典型例題剖析：例1、一個總體含有6個個體，從中抽取一個樣本容量為2的樣本，說明為什么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等.解：設(shè)任意一個個體為，那么個體被抽到分兩種情況：（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P=，（2）第二次被抽到：

5、即是個體第一次沒被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.個體第一次沒被抽到的概率是, 個體第一次沒被抽第二次被抽到的概率是.根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式, 個體第二次被抽到的概率是P=.(也可這樣分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結(jié)果為65=30，個體第一次沒被抽到第二次被抽到這個隨機事件所含的可能結(jié)果為51=5，所以個體第二次被抽到的概率是P=)個體在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個個體的過程中,個體被抽到的概率P= P+ P=+=.由個體的任意性,說明在抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等(都等于)點評：注

6、意區(qū)分“任一個個體每次抽取時被抽到的概率”與“任一個個體在整個抽樣過程中個體被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡單隨機抽樣從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n的樣本,那么“任一個個體每次抽取時被抽到的概率”都相等且等于,“任一個個體在整個抽樣過程中被抽到的概率”為.例2、（1）在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，從中抽取一個容量為20的一個樣本，求 每個個體被抽到的概率， 若有簡單隨機抽樣方法抽取時，其中個體第15次被抽到的的概率， 若用分層抽抽樣樣方法抽取時其中一級品中的每個個體被抽到的概率.解： 因為總體個數(shù)為120，樣本容量為20，則每個個體被抽到的概率P= 因

7、為總體個數(shù)為120，則體第15次被抽到的的概率P= 用分層抽樣方法：按比例=分別在一級品、二級品、三級品中抽取24=4個，36=6個，60=10，所以一級品中的每個個體被抽到的概率為P=.注：其實用分層抽樣方法抽取時二級品、三級品中每個體被抽到的概率也都為.點評：本題說明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都相等.且為.例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個樣本對他們進行分析，每個考生被抽到的概率為，求這個樣本容量.解：設(shè)樣本容量為n，則=，所以n=300.點評：“在整個抽樣過程中個體被抽到的概率”為這一結(jié)論的逆用.例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣

8、?說明理由.(1) 從無限多個個體中抽取50個個體作樣本.(2) 盒子里共有100個零件,從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時,從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里.解：(1) 不是簡單隨機抽樣.由于被抽取樣本的總體個數(shù)是無限的. (2) 不是簡單隨機抽樣.由于不符合“逐個抽取”的原則,且抽出的結(jié)果可能是只有一個零件重復(fù)出現(xiàn).點評：簡單隨機抽樣的特點： (1) 它要求被抽取樣本的總體個數(shù)是有限的. (2) 它是從總體中逐個地進行抽取. (3) 它是一種不放回抽樣.例5、 某校有學(xué)生1200人,為了調(diào)查午休對學(xué)習(xí)成績的影響情況,計劃抽取一個樣本容量為60的樣本,問此樣本若采用

9、簡單隨機抽樣將如何進行?解：可用兩種方法：方法一：（抽簽法）（1）編號： 將1200名學(xué)生進行隨機編號為1，2， ，1200，（可按學(xué)生的學(xué)號或按學(xué)生的生日進行編號）. （2）制簽：做1200個大小、形狀相同的號簽，分別寫上這1200個數(shù)，放在個容器里，并進行均勻攪拌. （3）逐個抽取：連續(xù)抽取60個號簽，號簽對應(yīng)的同學(xué)即為樣本. 方法二：（隨機數(shù)表法） （1）編號： 將1200名學(xué)生進行編號分別為0000，0001， 1199， （2）選數(shù)：在課本附表1隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始.(如從第11行第7列的數(shù)9開始) (3) 讀數(shù)：從選定的數(shù)開始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的

10、號碼，直到滿60個號碼為止. (4) 抽?。撼槿∨c讀出的號碼相對應(yīng)的學(xué)生進行分析.點評：抽簽法和隨機數(shù)表法是常見的兩種簡單隨機抽樣方法，本問題顯然用隨機數(shù)表法更方便一些，因為總體個數(shù)較多.另外隨機數(shù)表法編號時,位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個確定的方向進行抽取.例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為532，從所有職工中抽取一個樣本容量為400的樣本，應(yīng)采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為532,所以應(yīng)抽取中年職工為400=200人, 應(yīng)抽取青年職工為4

11、00=120人,應(yīng)抽取青年職工為400=80人.例6. 見課本例1.點評：因為總體由三類差異較明顯的個體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽抽樣樣方法進行抽取. 總體分布的估計.頻率分布表：見課本第51頁： 例1 1. 注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當(dāng)?shù)牧孔鳛槿?，正常情況下分為十組左右，也就是合理分組2. 分組的時候一般取左閉右開區(qū)間，最后一個區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫分組、頻數(shù)、頻率、合計3. 如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當(dāng)?shù)脑龃笕?，即在左右兩端增加相同的?.分組過少，總體的特征不明顯；分組過多，總體特征不利于比較.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內(nèi)容，每

12、一線段表示一個組的組距，注意橫軸要有單位2.縱軸表示的是： 3.每個小矩形的面積都是該組所對應(yīng)的頻率.頻率分布折線圖： 1. 由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點分別向外延伸半個組距并取此組距上再x軸上的點，然后順次連接直方圖中每一個小矩形上底邊的中點，形成折線圖 2.當(dāng)樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為1 3. 在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的可能性就是直線x=a , x=b , y=0 和總體密度曲線圍成的面積 4. 累計頻率分布曲線上任意一點 的縱坐標(biāo)標(biāo)b表示的連續(xù)型總體，取小于

13、等于 a 的值的可能性. 三者的特點頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實、具體、清晰明了，便于查閱頻率分布直方圖：形象直觀，對比效果強烈頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢.莖葉圖的特點： 優(yōu)點簡單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到. 缺點分析只是粗略的，對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時效果不是很好. 注意點： 1. 對重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏 2. 莖要從小到大自上而下的排列，中間用一條豎線隔開 3. 葉也要按照從小到大的順序排列，對于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條豎線把莖和葉隔開，左邊的葉最好按照從大到

14、小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的順序排列 4. 莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運動員在比賽時的得分情況（ 例題見課本 ）總體特征數(shù)的估計反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等 .平均數(shù)（average） 或均值（mean）： 其原理：最小二乘法 設(shè)與實驗數(shù)據(jù)近似的值為 x 則它與這n個實驗數(shù)據(jù)的離差為由于上面的離差有正有負(fù)，故不易直接相加，就考慮離差的平方和 所以當(dāng)時，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故而用 作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值. .平均數(shù)的求法: 題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況 加權(quán)平均數(shù): （其中 為 對應(yīng)的頻率），這里也是為我們今后將要學(xué)習(xí)的

15、數(shù)學(xué)期望作鋪墊見課本 例2 注：特別地，對于連續(xù)型的隨機變量在分好組后，其 應(yīng)該取每一組的組中值近似的表示.樣本方差（variance）: =樣本標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)：說明：1. 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量 2. 方差、標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)波動大小或穩(wěn)定程度或各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度的統(tǒng)計量，記住它們的表達形式，在選擇題中常出現(xiàn)關(guān)于它們的判斷3. 一個重要結(jié)論：4. 方差與越大，穩(wěn)定性越差5. 關(guān)于它們的運算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見課本 對于離散型的隨機變量也要注意選擇組中值 例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測得它們的株高如下（

16、單位：cm ）:甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問題：（1）哪種玉米苗長得高？（2）哪種玉米苗長得齊？分析 ：看哪種玉米苗長得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因為方差反映的是一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度解：（1） （2）評： 1. 特別注意本題中的兩問的說法的不同，所以算法就不同2. 一般的說哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、波動情況等都是通過方差來判斷.幾個重要的結(jié)論：對于一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為若 都增加

17、,則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 也可以這樣解釋：同時增加，也就是相當(dāng)數(shù)據(jù)平移了，不會改變數(shù)據(jù)的波動程度，所以方差和標(biāo)準(zhǔn)差都不會變.若 都遞增%，則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 若 都變?yōu)樵瓉淼谋?，則平均數(shù)為 方差為 標(biāo)準(zhǔn)差為 例題: 已知的方差為2，則 的標(biāo)準(zhǔn)差為 ？解法1：（公式推導(dǎo)法） 解法2：（推理法）因為數(shù)據(jù)的每一項都是先2倍后加上3，而加上3對方差沒有影響，2倍后則方差變?yōu)樵瓉淼?倍，即方差標(biāo)為8 ，則標(biāo)準(zhǔn)差為 . 線性回歸方程.變量之間的關(guān)系： 確定的函數(shù)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系（有一定的關(guān)系，但不能用函數(shù)表達出來）. 對于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關(guān)系，可以先畫出散點圖，看它們的大致趨勢，然后選

18、擇一種函數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說對于一組數(shù)據(jù)可以用各種函數(shù)模型來擬合，只不過擬合度不同而已，當(dāng)擬合度越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也就是求線性回歸方程. 線性回歸分析：理論依據(jù)最小二乘法 見課本 . 設(shè)線性回歸方程為 ，關(guān)鍵在于求 . 相關(guān)系數(shù)： 稱為. 說明：1. 由于公式的復(fù)雜，數(shù)據(jù)有的也較多，所以在具體做題目時可以列出表格來，對應(yīng)填進去，然后用公式計算，這樣就不會產(chǎn)生慌亂的感覺 2.做題目時要細心，不要亂，在我們高一階段一般只給出56組數(shù)據(jù)，算起來已經(jīng)不是很難了3. 當(dāng)然這種擬合（我們主要學(xué)習(xí)線性擬合就是求線性回歸方程）在電腦里都可作出來

19、圖像來，而且求出相應(yīng)的擬合度，有興趣的同學(xué)可以在Excel軟件里試一試4.表格形式：12n合計 然后代入公式計算3. 概率事件：隨機事件（ random event ），確定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 隨機事件的概率(統(tǒng)計定義)：一般的，如果隨機事件 在次實驗中發(fā)生了次，當(dāng)實驗的次數(shù)很大時，我們稱事件A發(fā)生的概率為 說明： 一個隨機事件發(fā)生于具有隨機性，但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性，在進行大量的重復(fù)事件時某個事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性 ，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一 不可能事件和確定事件可以看成隨

20、機事件的極端情況 隨機事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這個擺動的幅度越來越小，而這個接近的某個常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率 概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計的結(jié)果 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值 概率必須滿足三個基本要求： 對任意的一個隨機事件 ，有 如果事件 古典概率（Classical probability model）： 所有基本事件有限個 每個基本事件發(fā)生的可能性都相等 滿足這兩個條件的概率模型成為古典概型 如果一次試驗的等可能的基本事件的

21、個數(shù)為個，則每一個基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件包含了其中的個等可能的基本事件，則事件發(fā)生的概率為 幾何概型（geomegtric probability model）：一般地，一個幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件“改點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域內(nèi)”為事件，則事件發(fā)生的概率為 （ 這里要求的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由確定，一般地，線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積 ）幾何概型的基本特點： 基本事件等可性 基本事件無限多說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域內(nèi)隨機地取點，指的是該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的

22、，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)。互斥事件(exclusive events)：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件 對立事件（complementary events）：兩個互斥事件中必有一個發(fā)生,則稱兩個事件為對立事件 ，事件的對立事件 記為：獨立事件的概率：，若說明： 若可能都不發(fā)生，但不可能同時發(fā)生 ，從集合的關(guān)來看兩個事件互斥，即指兩個事件的集合的交集是空集 對立事件是指的兩個事件，而且必須有一個發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個發(fā)生，可能都不發(fā)生 對立事件一定是互斥事件 從集合論來看：表示互斥事件和對立事件的集合的交集都是空集，但兩個對立

23、事件的并集是全集 ，而兩個互斥事件的并集不一定是全集 兩個對立事件的概率之和一定是1 ，而兩個互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件是互斥事件，則有 一般地，如果 兩兩互斥，則有 在本教材中 指的是 中至少發(fā)生一個 在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設(shè)處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來 ，具體的格式請參照我們課本上（新課標(biāo)試驗教科書-蘇教版）的例題例題選講：例1. 在大小相同的6個球中，4個是紅球，若從中任意選2個，求所選的2個球至少有一個是紅球的概率？【分析】題目所給的6個球中有4個紅球，2個其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同

24、的解法解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，則其互斥事件為 意義為“選取2個球都是其它顏色球” 答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有 所以答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .解法3：（獨立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，事件有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對應(yīng)的概率分別為：， 則有 答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .評價：本題重點考察我們對于概率基本知識的理

25、解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!變式訓(xùn)練1： 在大小相同的6個球中，2個是紅球，4 個是白球，若從中任意選取3個，求至少有1個是紅球的概率？解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球”，則其互斥事件為， 意義為“選取3個球都是白球”答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有， 所以 答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .解法3：（獨立事件概率）設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球” ，則事件的情況如下：

26、紅 白 白 1紅2白 白 白 紅 白 紅 白 紅 紅 白 2紅1白 紅 白 紅 白 紅 紅 所以 答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件為“第1次抽到的是次品”， 事件為“抽到的2次中，正品、次品各一次”則 ，（或者）答：第1次抽到的是次品的概率為 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概

27、率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨立的，所以可以用獨立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解：設(shè)事件為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件為“至少1人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題” （1）（2） 則 答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為 ，少1人抽到選擇題的概率為 .變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個大小形狀相同的球，其中3個紅球，2 個黃球，從中不放回摸出2個球，球兩個球顏色不同的概率？【分析】先后抽出兩個球顏色相同要么是1紅1球，要么是

28、1黃1球略解:變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個球，其中4個紅球，2 個白球，每次人抽一個，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到1個紅球1個白球的概率是多少？略解: 例2. 急救飛機向一個邊長為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個長寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時，物品會失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域 ，事件“發(fā)放急救物品無效”為 ，距離水池

29、10米范圍為區(qū)域 ，即為圖中的陰影部分， 則有答：略說明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會有落在所給的大的區(qū)域之外的不計的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個條件，因為超出一個網(wǎng)格，就會進入另外一個網(wǎng)格，分析是同樣的變式訓(xùn)練1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個正方形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都是 , 現(xiàn)有一直徑等于的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？【分析】因為圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點只要圓心到

30、網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解：如圖，正三角形內(nèi)有一正三角形 ，其中 ，當(dāng)圓心落在三角形 之外時，硬幣與網(wǎng)格有公共點 答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率為 0.82 .變式訓(xùn)練3：如圖，已知矩形 的概率？略解：變式訓(xùn)練4：平面上畫了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r a的硬幣，任意的拋在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？解：設(shè)事件為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線，垂足2a為， 線段的長度的取值范圍為 ，其長度就是2a幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域的幾何測度，只有當(dāng)時，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件 的區(qū)域的幾何測度，所以答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為【評價與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域和區(qū)域，理解它們的關(guān)系以及它們的測度如何來刻畫。蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為（） ，向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為的針，求針與平行線相交的概率？ 解：以表示針的中點與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知 ，有這兩式可以確定平面上的一個矩形，這是為了針與平行線相交，其充要條件為，有這個不等式表示的區(qū)域為圖中的陰影部分，由等可能性知 2a 2a如果，而關(guān)于的值，則可以用實驗的方法，用頻率去近似它，既: 如果 投