《復(fù)變函數(shù)與積分變換》試卷九參考模板范本

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換試卷九滿分：100分 考試時(shí)間：120分鐘題號(hào)一二三四五總分判斷題（2*10=20）1、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，均值不等式仍然是成立的，即有。（ ）2、根據(jù)規(guī)定，所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，的平方根有且只有一個(gè)。（ ）3、復(fù)變函數(shù)在復(fù)平面上一個(gè)點(diǎn)處可導(dǎo)和解析式等價(jià)的，因此，一個(gè)復(fù)變函數(shù)在復(fù)平面上可導(dǎo)和解析沒有一點(diǎn)點(diǎn)區(qū)別。（ ）4、如果在區(qū)域中二元函數(shù)滿足，則為整個(gè)復(fù)平面上的調(diào)和函數(shù)。（ ）5、一切復(fù)變函數(shù)在曲線上的積分都只與起點(diǎn)和末點(diǎn)有關(guān)，與積分路徑無關(guān)，所以不存在有向曲線的積分。（ ）6、只要復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析（常數(shù)也是解析函數(shù)），則的模在區(qū)域內(nèi)取不到最大值。（ ）7、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓

2、內(nèi)是解析函數(shù)，而且在收斂圓周上也處處解析。（ ）8、復(fù)變函數(shù)在去掉圓心的圓內(nèi)，不能展開洛朗級(jí)數(shù)，因?yàn)槿サ魣A心的圓不能看成是圓環(huán)。（ ）9、如果是復(fù)變函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則。 （ ）10、任何解析函數(shù)，如果有零點(diǎn)，則零點(diǎn)都是孤立存在的，也就是說函數(shù)在零點(diǎn)的任何小鄰域內(nèi)只有這一個(gè)零點(diǎn)，不存在其他零點(diǎn)。 （ ）二、填空（2*10=20）11兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)(conjugate complex number)。（當(dāng)虛部不等于0時(shí)也叫共軛虛數(shù)），已知，則的共軛復(fù)數(shù)為_.12黎曼(G.F.B.Riemann、1826.9.17一1866.7.20)是德國(guó)數(shù)學(xué)家，生于德國(guó)北部漢諾威

3、的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他6歲開始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥丁根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來繼承父志也當(dāng)一名牧師。由于從小酷愛數(shù)學(xué)，他在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)，也聽些數(shù)學(xué)課。當(dāng)時(shí)的哥丁根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一。些著名的數(shù)學(xué)家，如高斯(C.F.Guass)、韋伯(H.Wcbcr)、斯持爾(Sten)在校執(zhí)教，黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氣氛所感染，決定放棄神學(xué)，專攻數(shù)學(xué)。1847年他轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比(C.G.J.Jacobi)、狄利克雷(P.G.L.Dirichlet)、施泰納(J.Steiner)、艾森斯坦(F.G.M.E1Sen

4、stein)的學(xué)生。1849年重回哥丁很大學(xué)攻讀博士學(xué)位。成為高斯晚年的學(xué)生。l851年在高斯指導(dǎo)下完成的題為“單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)”的博士論文，獲數(shù)學(xué)博士學(xué)位。l854年被聘為哥丁根大學(xué)的編外講師。1857年晉升為副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。因長(zhǎng)年貧困、勞累，1862年婚后不到一個(gè)月患胸膜炎和肺結(jié)核，先后三次到意大利治病、療養(yǎng)。1866年病逝于意大利、終年39歲?？挛?、黎曼和外爾斯特拉斯是世人公認(rèn)的復(fù)函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來?？挛?黎曼條件解析函數(shù)一個(gè)重要條件。復(fù)平面上解析函數(shù)滿足的柯西-

5、黎曼條件為_.13對(duì)于 HYPERLINK /view/15061.htm t _blank 函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的 HYPERLINK /view/122755.htm t _blank 常數(shù)，使得當(dāng)取 HYPERLINK /view/432831.htm t _blank 定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)都是它的周期。函數(shù)的一個(gè)周期是_.14、歐拉公式是一個(gè)恒等式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，把指數(shù)函數(shù)寫成正弦函數(shù)做虛部、余弦函數(shù)做實(shí)部的一個(gè)恒等式。如果將其中的指數(shù)取特殊形式可以得到一個(gè)很有意義的公式，這個(gè)

6、公式將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。你能寫出這個(gè)上帝創(chuàng)造的公式嗎？_.15、柯西積分公式是一把鑰匙，它開啟了許多方法與定理；它刻畫了解析函數(shù)的又一種定義；人們對(duì)它的研究極具意義，讓解析函數(shù)論能夠單獨(dú)脫離于實(shí)函數(shù)而充滿活力！ 若函數(shù)在簡(jiǎn)單正向閉曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域的邊界上連續(xù)，是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有，利用柯西積分公式計(jì)算_.16、 是擴(kuò)充復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，且 為分式線性變換,則 任意點(diǎn) 稱為保交比（交比）性質(zhì)，利用該性質(zhì)計(jì)算，把

7、點(diǎn)分別映成點(diǎn)的分式線性變換為_.17、如下圖，分式線性變換將上半平面保形變換成單位圓，你知道哪一點(diǎn)變成了圓心嗎？_.18、利用，已知（為實(shí)常數(shù)，j為復(fù)數(shù)單位常數(shù)），求_.已知是在傅里葉變換下的原像。19、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)有三類，除了可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)外，還有一種是_.20、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)與解析函數(shù)在改點(diǎn)鄰域里的洛朗級(jí)數(shù)有密切的關(guān)系，其中洛朗展式中有一項(xiàng)的系數(shù)對(duì)留數(shù)其決定的作用，你知道是哪一項(xiàng)嗎？用給出是哪一項(xiàng)，請(qǐng)寫出是_.三、解答題，應(yīng)用積分變換知識(shí)解答下列題目（每題分，共3分）、解方程、驗(yàn)證是平面上的調(diào)和函數(shù),并求以為實(shí)部的解析函數(shù),使、利用留數(shù)計(jì)算廣義積分（已知）4、利用正弦傅里葉

8、積分變換求解積分方程，其中。、用拉普拉斯積分變換性質(zhì)已知：求解常微分方程，。6、已知高階導(dǎo)數(shù)公式為,利用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算：7、求函數(shù)分別在圓環(huán)1|z|2及內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式。四、用所學(xué)知識(shí)說明什么是積分變換，你學(xué)過的積分變換有哪些？并舉例說明積分變換工程實(shí)際中有什么應(yīng)用？如何用積分變換來解決一些實(shí)際問題？（10分）五、實(shí)驗(yàn)題（5分）1、寫出求函數(shù)的泰勒展式的Matlab程序。（3分）2、繪出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形.（4分）【Matlab源程序】z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3 w=w+i*2*pi; surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w); hold on title(Lnz)endview(-75,30) 回答：title(字符串)表示（ ）surf(x,y,z,c);表示（ ）3、用Matlab語言寫出函數(shù)，并求其傅里葉積分變換。（4分）4、【Mat