隨機(jī)事件與概率未

1、個(gè)人簡(jiǎn)歷張明迎，男， 1966年4月; 副教授 數(shù)學(xué)教育教學(xué)部專(zhuān)職數(shù)學(xué)教師1988.7 2002.9 從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)2002.9 至今1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)淄博職業(yè)學(xué)院-張明迎2課程簡(jiǎn)介： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)研究和探索客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。它以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象,是數(shù)學(xué)的分支學(xué)科,在金融、保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)與企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象與自然災(zāi)害預(yù)報(bào)等等方面都起到非常重要的作用。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，以及功能強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)軟件和數(shù)學(xué)軟件的開(kāi)發(fā)，這門(mén)學(xué)科得到了蓬勃的發(fā)展，它不僅形成了結(jié)構(gòu)宏大的理論，而且在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用越來(lái)越廣泛。因此，教育管理部門(mén)將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

2、這門(mén)課程列為經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)各專(zhuān)業(yè)的必修基礎(chǔ)課。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括兩部分：概率論部分與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分。 概率論：是根據(jù)大量同類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，并對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述，比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一套數(shù)學(xué)理論和方法。本內(nèi)容以具有不確定性的隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象，以探討和研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為任務(wù)，主要研究隨機(jī)事件及其概率，隨機(jī)變量及其概率分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律和中心極限定理。數(shù)理統(tǒng)計(jì)：是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，對(duì)通過(guò)科學(xué)安排一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論證

3、明，并判定各種方法應(yīng)用的條件及方法，公式、結(jié)論的可靠程度的局限性，使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當(dāng)大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的。并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率，通過(guò)對(duì)點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析的研究，介紹了怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，并對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決斷和行動(dòng)提供可靠依據(jù)和建議。3第一章 隨機(jī)事件與概率本章要求隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其運(yùn)算條件概率事件的獨(dú)立性 4本章要求1.掌握隨機(jī)事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算;2.理解概率的定義,掌握概率的基本性質(zhì),會(huì)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率的基本計(jì)算;3.理解古典概型的定義,會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)

4、題;4.理解條件概率的概念,會(huì)用乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行概率計(jì)算;5.理解事件獨(dú)立性的概念,會(huì)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算.5 特點(diǎn) 1 當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)不定性現(xiàn)象加以觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè). 而且在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法確知其結(jié)果.現(xiàn)在我們來(lái)考察一下不定性現(xiàn)象的特點(diǎn)例如: 在相同的條件下拋同一枚硬幣, 其結(jié)果可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在每次拋擲之前無(wú)法肯定拋擲的結(jié)果是什么.又如:一門(mén)火炮在一定條件下向同一目標(biāo)進(jìn)行射擊,各次的彈著點(diǎn)不盡相同,在一次射擊之前無(wú)法預(yù)測(cè)彈著點(diǎn)的確切位置. 1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象1.1 隨機(jī)事件6 特點(diǎn) 2

5、 不定性現(xiàn)象在大量重復(fù)觀察或試驗(yàn)下，它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出固有規(guī)律性.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,在大量重復(fù)觀察或試驗(yàn)中其結(jié)果卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象,稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象.7E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。隨機(jī)試驗(yàn)的例子1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間81.1.2隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：1.可在相同條件下重

6、復(fù)進(jìn)行； 2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果；3.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)可表為 E 9樣本空間 實(shí)驗(yàn)E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為S=e；試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e. 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱(chēng)為一個(gè)基本事件, 記為e. 例： 給出E1-E7的樣本空間1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間10給出E1-E7的樣本空間E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和面;H， TE2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；H H H ， H H T， H T H， T H H， H T T， T H T，T

7、T H ，T T TE3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);0，1，2，3E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；1，2，3，4，5，6E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；0，1，2，3，E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重111.1.3隨機(jī)事件定義 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”, 簡(jiǎn)稱(chēng)“事件”.記作A、B、C等.任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱(chēng)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素兩個(gè)特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.12 例如 對(duì)于試驗(yàn)E2 ，以下A 、 B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件:A“至少出一個(gè)正面” HHH,

8、 HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTTC=“恰好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，試驗(yàn)E6中D“燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí)” x:1000 x0,則 P(AB)P(A)P(B|A). 稱(chēng)為事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 46例 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、

9、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則47484950511.3.2全概率公式與貝葉斯公式例4.(p16)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠(chǎng)的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠(chǎng)的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。B52 定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱(chēng)為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿(mǎn)足：A1A2AnB53定理 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS有 稱(chēng)為全概率公式。54例 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六

10、個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔?wèn)此球是紅球的概率？解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；甲乙55定理 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS，有 稱(chēng)為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:56例 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買(mǎi)下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任

11、取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:57解：設(shè)分別表示第1、2、3廠(chǎng)的產(chǎn)品，B表示取到次品58 例 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率. 設(shè)A=飛機(jī)被擊落 Bi=飛機(jī)被i人擊中, i=1,2,3 由全概率公式則 A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6

12、, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)59可求得 為求P(Bi ) , 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.60P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是注意：本題與P21：1-34的不同6162顯然 P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱(chēng)事

13、件A、B獨(dú)立.1.兩事件的獨(dú)立性A=第二次擲出6點(diǎn)， B=第一次擲出6點(diǎn)，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè) 1.4 事件的獨(dú)立性1.4.1 事件的獨(dú)立63 由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制約.64若兩事件A、B滿(mǎn)足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱(chēng)A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義6566 例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的可

14、見(jiàn), P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 故 事件A、B獨(dú)立.問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,67 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的, 在實(shí)際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 可見(jiàn) P(A)= P(A|B), 即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/1368 在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于“甲命中”并不影響“乙命

15、中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率） 69一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次 抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無(wú)放回的，則A1與A2不獨(dú)立.70請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ 即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0,則A 、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不

16、獨(dú)立我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即牢記此關(guān)系71設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).72定理、以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)

17、事件A、B相互獨(dú)立。看P19:例1-30-32732、多個(gè)事件的獨(dú)立性742.多個(gè)事件的獨(dú)立定義 若三個(gè)事件A、B、C滿(mǎn)足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱(chēng)事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿(mǎn)足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱(chēng)事件A、B、C相互獨(dú)立。（前一改）75 對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱(chēng)事件A、B、C相互獨(dú)立.76請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立

18、與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì) n (n 2)個(gè)事件?7778即79 例: 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解 將三人編號(hào)為1，2，3，所求為 記 Ai=第i個(gè)人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/48012 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 381定義 若試驗(yàn)單次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，且保持不變，將試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)做次，稱(chēng)這 次試驗(yàn)為重獨(dú)立試驗(yàn)序列，這個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q(chēng)為重獨(dú)立試驗(yàn)序列概型，也稱(chēng)為重伯努利概型，簡(jiǎn)稱(chēng)伯努利概型返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1.4.2 n重貝努利實(shí)驗(yàn)82例 設(shè)有一批產(chǎn)品，次品率為，現(xiàn)進(jìn)行有放回的抽取，即任取一個(gè)產(chǎn)品，檢查一下它是正品還是次品后，仍放回去，再進(jìn)行第二次抽取，問(wèn)任取次后發(fā)現(xiàn)二個(gè)次品的概率是多少？返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1.4.2 伯努利()概型83設(shè) 表示第 次抽得的是次品，則表示第次抽得的是正品.在4次試驗(yàn)中，抽得兩件次品的方式有種：，解先討論的情形返回上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1.4.2 伯努利()概型84在4次試驗(yàn)中，恰抽得兩個(gè)次品的概率