《四邊形》考點提要精練精析

1、第十九章四邊形提要：本章重點是四邊形的有關(guān)概念及內(nèi)角和定理.因為四邊形的有關(guān)概念及內(nèi)角和定理是本章的基礎(chǔ)知識，對后繼知識的學(xué)習(xí)起著重要的作用.本章難點在于四邊形的概念及四邊形不穩(wěn)定性的理解和應(yīng)用.在前面學(xué)習(xí)三角形的概念時，因為三角形的三個頂點確定一個平面，所以三個頂點總是共面的，也就是說，三角形肯定是平面圖形，而四邊形就不是這樣，它的四個頂點有不共面的情況，又限于我們現(xiàn)在研究的是平面圖形，所以在四邊形的定義中加上“在同一平面內(nèi)”這個條件，這幾個字的意思不容易理解，所以是難點.習(xí)題一、填空題1如圖19-1，一個矩形推拉窗，窗高1.5米，則活動窗扇的通風(fēng)面積A（平方米）與拉開長度b（米）的關(guān)系式是

2、： 2用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖19-2所示的規(guī)律，拼成若干個圖形：（1）第4個圖形中有白色地面磚 塊；（2）第n個圖形中有白色地面磚 塊圖19-2圖19-2圖19-13黑板上畫有一個圖形，學(xué)生甲說它是多邊形，學(xué)生乙說它是平行四邊形，學(xué)生丙說它是菱形，學(xué)生丁說它是矩形，老師說這四名同學(xué)的答案都正確，則黑板上畫的圖形是_ 4在正方形ABCD所在的平面內(nèi),到正方形三邊所在直線距離相等的點有_個5四邊形ABCD為菱形,A=60, 對角線BD長度為10cm， 則此菱形的周長 cm6已知正方形的一條對角線長為8cm，則其面積是_cm27平行四邊形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm

3、，則8在平行四邊形ABCD中，A=70，D=_, B=_9等腰梯形ABCD中，ADBC，A=120，兩底分別是15cm和49c10用一塊面積為450cm2的等腰梯形彩紙做風(fēng)箏，為了牢固起見，用竹條做梯形的對角線，對角線恰好互相垂直，那么至少需要竹條 cmABCDO圖19-311已知在平行四邊形ABCE中,AB=14,BC=16,則此平行四邊形的周長為ABCDO圖19-312要說明一個四邊形是菱形,可以先說明這個四邊形是 形,再說明 （只需填寫一種方法）13如圖19-3,正方形ABCD的對線AC、BD相交于點O.那么圖中共有 個等腰直角三角形.14把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入

4、下列相應(yīng)的空格上.（1）正方形可以由兩個能夠完全重合的 拼合而成;（2）菱形可以由兩個能夠完全重合的 拼合而成;（3）矩形可以由兩個能夠完全重合的 拼合而成.15矩形的兩條對角線的夾角為,較短的邊長為12,則對角線長為 .16若直角梯形被一條對角線分成兩個等腰直角三角形，那么這個梯形中除兩個直角外，其余兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為 和 .17平行四邊形的周長為24,相鄰兩邊長的比為3:1,那么這個平行四邊形較短的邊長為 .11 圖19-4ABCDO11 圖19-4ABCDO 圖19-5 19已知菱形的兩條對角線長為12和6,那么這個菱形的面積為 .20如圖19-5,是四邊形ABCD的對稱軸,如果ADB

5、C,有下列結(jié)論: （1）ABCD;（2）AB=CD;（3）ABBC;（4）AO=OC.其中正確的結(jié)論是 . （把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）二、選擇題21給出五種圖形：矩形； 菱形； 等腰三角形（腰與底邊不相等）； 等邊三角形； 平行四邊形（不含矩形、菱形）其中，能用完全重合的含有300角的兩塊三角板拼成的圖形是（ ）A B C D22如圖19-6,設(shè)將一張正方形紙片沿右圖中虛線剪開后，能拼成下列四個圖形，則其中是中心對稱圖形的是（ ）AABCD圖19-623四邊形ABCD中，ABCD=2213，則這個四邊形是（ ） A梯形 B等腰梯形 C直角梯形 D任意四邊形24要從一張長40cm，寬20

6、cm的矩形紙片中剪出長為18cmA1張 B2張C3張 D4張25如圖19-7，在平行四邊形ABCD中，CE是DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點，AB6，BC4，則AEEFFB為（）ADCBFEADCBFE圖19-7 C 321 D 31226下列說法中錯誤的是（）A兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；B兩條對角線相等的四邊形是矩形；C兩條對角線互相垂直的矩形是正方形；D兩條對角線相等的菱形是正方形27下列說法正確的是（ ）A任何一個具有對稱中心的四邊形一定是正方形或矩形；B角既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；C線段、圓、矩形、菱形、正方形都是中心對稱圖形；D正三角形、矩形、菱形、正方形是軸對稱圖

7、形，且對稱軸都有四條28點A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從ABABC 圖19-9 圖19-10 圖19-1110 CDAEBC圖19-12AEBCFONMD圖19-13AEBDCF1圖19-142O圖ABC 圖19-9 圖19-10 圖19-11DAEBC圖19-12AEBCFONMD圖19-13AEBDCF1圖19-142O圖19-15ABNMCDO圖19-16AFBCED圖19-17DABCMEN圖19-18圖19-19ABCD ABCD ABCD 圖19-2047如圖19-20, 中,G是CD上一點,BG交AD延長線于E,AF=CG,.圖19-20（1）試說明DF=BG; （2）試求的度數(shù)

8、. 48.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進(jìn)行:（1）先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖19-21）,使AB=CD,EF=GH;（2）擺放成如圖的四邊形,則這時窗框的形狀是 形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是: ;（3）將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖）,調(diào)整窗框的邊框,當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖）,說明窗框合格,這時窗框是 形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是: .（圖） （圖） （圖） （圖） 圖19-21 圖19-21 圖19-2249如圖19-22，已知平行四邊形ABCD，AE平分DAB交DC于E，BF平分ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、 圖19-2250如圖19-23，

9、已知矩形ABCD中，AC與BD相交于O，DE平分ADC交BC于E，BDE15，試求COE的度數(shù)。 圖19-23 圖19-2351如圖19-24，在正方形ABCD中，Q是CD的中點，P在BC上，且AP=PC+CD， 圖19-23求證：AQ平分DAP。 圖19-2352已知四邊形ABCD中,AB=CD,AC=BD,試添加適當(dāng)?shù)臈l件使四邊形ABCD成為特殊的平行四邊形,并說明理由. 53如圖19-24,直線MN經(jīng)過線段AC的端點A,點B、分別在和的角平分線AE、AF上,BD交AC于點O,如果O是BD的中點,試找出當(dāng)點O在AC的什么位置時,四邊形ABCD是矩形,并說明理由. 圖19-24 圖19-24

10、54如圖19-25，李大伯家有一口如圖所示的四邊形的池塘,在它的四個角上均有一棵大柳樹,李大伯開挖池塘,使池塘面積擴(kuò)大一倍,又想保持柳樹不動,如果要求新池塘成平行四邊形的形狀.請問李大伯愿望能否實現(xiàn)?若能,請畫出你的設(shè)計;若不能,請說明理由.AABCD 圖19-25 ABCPFE（E）（A）圖19-2655如圖19-26，在ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的ABCPFE（E）（A）圖19-26在ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成矩形，剪切線與拼圖畫在圖示2的位置；在ABC中，增加條件 ，沿著一刀剪切后可以拼成菱形，剪切線與拼圖畫在圖示3的位置

11、；在ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成正方形，剪切線與拼圖畫在圖示4的位置在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要確定剪切線，其操作過程（剪切線的作法）是：然后，沿著剪切線一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切線與拼圖畫在圖示5的位置.圖示1圖示1ABCPFE（E）（A）圖示2圖示3圖示4圖示5參考解析一、填空題1A=b （點撥：利用矩形的面積等于長與寬的積）2（1）18；（2）4n+2（點撥：每相鄰兩個大正六邊形有兩塊白色地磚是公共的，因此第n個圖形中有白色地面磚4n+2塊）3正方形（點撥：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形）45個點（點撥：正方形的中心O；正方形四個外角

12、角平分線的交點）540（點撥：當(dāng)A=60時，菱形的邊長等于它較短的對角線長）632（點撥：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形）713（點撥：平行四邊形的對角線互相平分，則OA+OB=7）8110,110（點撥：平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)）934（點撥：過點A作腰的平行線得到等邊三角形，則腰長等于兩底的差）1060（點撥：設(shè)對角線長為a，過上底的一個端點作對角線的平行線，與下底及梯形的另一條腰構(gòu)成等腰直角三角形，則它的面積=a2=450，a=30）1160 12平行四邊形;有一組鄰邊相等 138 提示:它們是 答圖19-114（1）等腰直角三角形; （2）等腰三角形;

13、（3）直角三角形 答圖19-11524 16135; 45 173 184（點撥：如圖19-1所示,將“十”字標(biāo)志的某些邊進(jìn)行平移后可得到一個邊長為1的正方形,所以它的周長為4 1936 提示:菱形的面積等于菱形兩條對角線乘積的一半20（1）（2）（4）提示:四邊形ABCD是菱形21C（點撥：當(dāng)兩塊三角板的最小邊重合時，可得到平行四邊形或腰和底邊不相等的等腰三角形；當(dāng)它們的斜邊重合在一起時，可得到矩形）22C（點撥：圖（B）繞小正方形的中心旋轉(zhuǎn)180，能與原來的圖形重合）23C（點撥：四邊形的四個內(nèi)角分別為90、90、45、135）24C（點撥：在矩形的長上依次剪三個12，再在寬上剪18）25

14、B（點撥：BE=BC=4，AE=2，BF=3，則EF=BEBF=1）26B（點撥：對角線相等的平行四邊形是矩形）27C（點撥：菱形也是中心對稱圖形，A錯；角不是中心對稱圖形，B錯）28B（點撥：由，的組合都能得到平行四邊形）29B（點撥：平行四邊形ABCD不一定是矩形，因而它的對角線不一定相等）30C（點撥：利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）31B 32D 33C 34C 35C（點撥：因為的底邊BC的長不變,BC邊上的高等于直線之間的距離也不變,所以的面積不變）36A（點撥：由于 ）37B（點撥：先說明DF=BF,DE=CE,所以四邊形AFDE的周長=AF+DF+DE+AE=

15、AF+BF+CE+AE=AB+AC）38C 三、解答題39AD=BC=AE，BD=AC=BE，AB=AB，則AEBADB，故ABD=ABE40（1） CE平分ACB，則ACE=BCE，而MN答圖19-2AFBCGE答圖19-2AFBCGED 答圖19-3DABCPMEN 答圖19-447（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB=DC,又AF=CG,所以ABAF=DCCG,即GD=BF,又 DGBF,所以四邊形DFBG是平行四邊形,所以DF=BG; （2）因為四邊形DFBG是平行四邊形,所以DFGB,所以,同理可得,所以. 48（1）平行四邊,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形; （2）

16、矩,有一個是直角的平行四邊形是矩形. 49因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB2cm2cm6 cm2 cm2 cm2 cm 答圖19-5因為 答圖19-5（2）添加條件AC垂直平分BD,那么該四邊形是正方形. 理由:因為AC垂直平分BD,所以AB=AD,BC=CD,又因為AB=DC,所以AB=AD=BC=DC,所以四邊形ABCD是菱形,又因為AC垂直BD,所以四邊形ABCD是正方形.說明:解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙,運(yùn)用發(fā)散思維,多方思考,探究問題在不同條件下的不同結(jié)論,挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系,向“縱、橫、深、廣”拓展,從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.53解析：O在AC的中點時,四

17、邊形ABCD是矩形.因為AO=CO,BO=DO,所以四邊形ABCD是平行四邊形,又=,所以四邊形ABCD是矩形. 54如圖19-6所示,連結(jié)對角線AC、BD,過A、B、C、D分別作BD、AC、BD、AC的平行線,且這些平行線兩兩相交于E、F、G、H,四邊形EFGH即為符合條件的平行四邊形.ABCDEFABCDEFGH答圖19-6方法一：B90，中位線EF，如圖示21.方法二：ABAC，中線（或高）AD，如圖示22.AB2BC（或者C90，A30），中位線EF，如圖示3.方法一：B90且AB2BC，中位線EF，如圖示41.方法二：ABAC且BAC90，中線（或高）AD，如圖示42.方法一：不妨設(shè)BC，在BC邊上取一點D，作GDBB交AB于G，過AC的中點E作EFGD交BC于F，則EF為剪切線.如圖示51.方法二：不妨設(shè)BC，分別