隨機(jī)過(guò)程報(bào)告-馬爾可夫鏈

1、精品文檔馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過(guò)程，最初由 A.A .M arkov所研究。它的直觀背 景如下：設(shè)有一隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)E（例如運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)等），它可能處的狀態(tài)記為 Eo,Ei,.,En,.總共有可數(shù)個(gè)或者有窮個(gè)。這系統(tǒng)只可能在時(shí)刻t=1,2,n,上改變它的狀態(tài)。隨著的運(yùn)動(dòng)進(jìn)程，定義一列隨機(jī)變量Xn,n=0,1,2,?其中Xn=k,如在t=n時(shí)，位于Ek。定義1.1定義1.1設(shè)有隨機(jī)過(guò)程Xn, nT ,若對(duì)任意的整數(shù)n T和任意的io,ii,.in 1 I，條件概率滿足0PXn1 in 1Xo ioPXn1 in 1Xo io，.，Xnin) PXn1 in1Xn in)則稱Xn,

2、n T為馬爾可夫鏈,簡(jiǎn)稱為馬氏鏈。實(shí)際中常常碰到具有下列性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。如果己知它在t=n時(shí)的狀態(tài),則關(guān)于它在n時(shí)以前所處的狀態(tài)的補(bǔ)充知識(shí)，對(duì)預(yù)言在n時(shí)以后所處的狀態(tài)，不起任何作用。或者說(shuō)，在己知的“現(xiàn)在”的條件下，“將來(lái)”與“過(guò)去”是無(wú)關(guān)的。這種性質(zhì)，就是直觀意義上的“馬爾可夫性”，或者稱為“無(wú)后效性”假設(shè)馬爾可夫過(guò)程Xn, n T的參數(shù)集T是離散時(shí)間集合，即T=0,1,2,）,其相應(yīng)Xn可能取值的全體組成的狀態(tài)空間是離散狀態(tài)空間I=1,2,.）。定義1.2條件概率PijpXm jXn i）稱為馬爾可夫鏈Xn, n T在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣，其中i , j I,簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn) 移概率。一般地，轉(zhuǎn)移

3、概率P；n）不僅與狀態(tài)i,j有關(guān)，而且與時(shí)刻n有關(guān)。當(dāng)p不依賴 于時(shí)刻n時(shí)，表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。若對(duì)任意的i , j I,馬爾可夫1歡在下載精品文檔鏈Xn,n T的轉(zhuǎn)移概率Pj(n)與n無(wú)關(guān)，則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的。定義1.3設(shè)p表示一步轉(zhuǎn)移概率p,所組成的矩陣，且狀態(tài)空間1=1,2 , - n,則Pll,12Pn稱為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。它具有如下性質(zhì)：(2) Pj 1,i I(1) Pj 0, i，j I；. j 1定理1.1設(shè)Xn,n T為馬爾可夫鏈，則對(duì)任意的ij,./ I和n 1,有 n,pfM =小,無(wú)=L產(chǎn)Zrp%凡& mFo這表明馬爾可夫鏈的有限維分布完全由

4、它的初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率所決定。因此，只要知道初始概率和一部轉(zhuǎn)移概率，就可以知道馬爾可夫鏈的統(tǒng) 計(jì)特性。定義1.4假設(shè)Xn, n 0是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I,轉(zhuǎn)移概率為Pij ,稱概率分布 j , j I 為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足門=1也工專=L號(hào)之0對(duì)于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是非周期，正常返的，則它是遍歷的；對(duì)于不可約馬爾可夫鏈，若它的狀態(tài)是有限且非周期的，則它是遍歷的。值得注意的是，對(duì)于一個(gè)馬爾可夫鏈，并不是一定存在 limp。例如設(shè)馬爾可 n夫鏈的一部轉(zhuǎn)移矩陣為：【1刃易知p)I(單位矩陣)，p(2n1) p，所以limp 不存在。 n2歡在下載精品文檔在隨機(jī)過(guò)程

5、理論中，馬爾可夫鏈?zhǔn)且活愓加兄匾匚?，具有普遍意義的隨機(jī) 過(guò)程。它廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域， 尤其在預(yù)測(cè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 馬 爾可夫鏈的預(yù)測(cè)方法分為很多種。根據(jù)指標(biāo)值序列分組有3種。1）數(shù)據(jù)序列約定俗成的分組方法：根據(jù) 人 們 長(zhǎng) 久的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分組：由于人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中積累了生活經(jīng)驗(yàn)，人們對(duì)認(rèn)識(shí)的事物 有了感性的了解，就可以對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行分組。2）樣本均值一均方差分組法：對(duì)于數(shù)據(jù)序列Xi,X2,.,Xn,可看作是一個(gè)時(shí)間序列的前n個(gè)觀測(cè)值，算出樣本均值x和樣本均方差s,根據(jù)具體情況以樣本均值為中心，s為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組。3）有序聚 類分組法：有序聚類是對(duì)有序樣品進(jìn)行分類的一種方法，更加充分地考

6、慮序列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，使劃分的區(qū)間更加合理。有序聚類實(shí)現(xiàn)的經(jīng)典算法是Fisher算法，其 基本原理為：設(shè)時(shí)間序列Xi,X2,.,Xn的某一歸類是將公式。（。）=幺%-可）乜-虧）定義為Xi,X2,.,Xn的直徑，其含義表示該變量段內(nèi)部各變量之間的差異情況 其值越小，表示該段內(nèi)變量之間差異越小，或說(shuō)相互間越接近；反之，表示該段 內(nèi)變量之間差異越大，或說(shuō)相互間越分散。三種馬氏鏈預(yù)測(cè)方法：1）基于絕對(duì)分布的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2確定觀測(cè)值的狀態(tài)，寫出頻數(shù)矩陣（Qj）i,j e,和一步轉(zhuǎn)移矩陣（fji, jE ，n . nij 其中fij而，其中n為樣本容量，當(dāng)時(shí)n ,可用頻數(shù)估計(jì)

7、概率Pij fij，從3歡在下載精品文檔而得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣p1 pij。步驟3 “馬氏性”檢驗(yàn)步驟4已知時(shí)刻l時(shí)系統(tǒng)取各個(gè)狀態(tài)的概率可視為馬爾可夫鏈的初始分布，比如x1取狀態(tài)2, m=5,則始分布P（o）= （0, 1, 0, 0, 0）,于是l+1時(shí)的絕對(duì)分布Rd p（0）p （P1,p22）,P3,P4（4）,p55）,可認(rèn)為時(shí)刻1+1時(shí)系統(tǒng)所取的狀態(tài)j滿足Pj maxP,從而預(yù)測(cè)1+ t時(shí)刻的狀態(tài)。 1 i 5步驟5還可以用馬氏鏈的平穩(wěn)性，遍歷性對(duì)系統(tǒng)分析。2）疊加馬氏鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2計(jì)算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣 巳，P2,Pk, I 1,2,k,其中H （fj2）i

8、,jE,n（2）fj2,其他類推。n -2步驟3 “馬氏性”檢驗(yàn)步驟4如果要預(yù)測(cè)時(shí)刻1+1的狀態(tài)，可分別利用1, 1-1, ?, 1-k+1作為初始態(tài)， i+i所處的狀態(tài)j滿足pmaxp。）。列表分析初始時(shí)段狀態(tài)112345來(lái)覆/4Pe%g1成）曲*點(diǎn)瑪3福譚由舄1-32成瑁pF匕U3城）點(diǎn)點(diǎn)4合計(jì)P闔p8)P閭圖1疊加馬氏鏈預(yù)測(cè)分析表步驟5重復(fù)步驟1-4遞推預(yù)測(cè)；步驟6進(jìn)行平穩(wěn)性，遍歷性及其他分析。3）加權(quán)馬氏鏈預(yù)測(cè)步驟1對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分組；步驟2計(jì)算各階的一步轉(zhuǎn)移矩陣Pi, P2,Pk, I 1,2,k,其中P2（f；）i,j e4歡在下載精品文檔精品文檔(2)fj2j fj2n -2步驟

9、3 “馬氏性”檢驗(yàn)；步驟4計(jì)算各階相關(guān)系數(shù): a -工X% - 工）-e E，fa-于f-1叫 e。i/gm ikeR步驟5預(yù)測(cè)n+1時(shí)刻的狀態(tài)步驟6重復(fù)1-5,預(yù)測(cè)n+2時(shí)刻的狀態(tài)，其余類推步驟7討論其他性質(zhì)。馬爾可夫預(yù)測(cè)方法是馬爾可夫鏈在預(yù)測(cè)領(lǐng)域的一種應(yīng)用方法。最初這種方法在水文，氣象，地震等方面有廣泛的應(yīng)用，之后經(jīng)濟(jì)學(xué)家將其應(yīng)用于研究市場(chǎng)占有 率，預(yù)測(cè)經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)等方面。在馬爾可夫預(yù)測(cè)方法中，一個(gè)非常重要的問(wèn)題就是對(duì) 一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的估算。下面以實(shí)例分析馬爾可夫鏈在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。下面給出長(zhǎng)江水域6類水質(zhì)所占的比例。年份時(shí)網(wǎng)11夷U類II類IV，V類一丁類1則014.6阻5|K,92

10、.71,72.519%112.2m 2U9.5183.9199710.513.643.22h.O3.23.51現(xiàn)31彖9口工價(jià)46.2B.22.73.41W945 041.730 32.4，Q5.7200057內(nèi)35. 23n14.95.9620060.93A. 136 156 37.420027。S3S.731. 116. 12.Q13.42003苦1 . 3熱.541 1-63.414.52IM4925.7-40.2Ji. i5 2IL.95歡在下載精品文檔現(xiàn)在要對(duì)長(zhǎng)江未來(lái)10年的水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢(shì)做一個(gè)總體的預(yù)測(cè)。為此可建立長(zhǎng)江水質(zhì)污染的馬爾可夫鏈趨勢(shì)預(yù)測(cè)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣估計(jì)的最優(yōu)化模

11、型。設(shè)枯水期長(zhǎng)江全流域水質(zhì)在第t年屬于I類、R類、田類、IV類、V類、劣V類這6類狀態(tài)的比例向量分別為(t)( Pt ,Pt (2),.Pt (6),t0,1,2,.9.設(shè) P (Pj)6 6 為6類狀態(tài)矩陣的一步轉(zhuǎn) 移概率，根據(jù)誤差平方和達(dá)到最小的準(zhǔn)則，建立如下最優(yōu)化模型:(加 f + 1 ) 一 /)(比(，+ 1 ) 一 代 P V t =06廠1/卜,2 .6s. / j = 1、0,i J = 1 ,2,.6用matlab軟件求解得0.460 70. 034 50.000 00. 0.460 70. 034 50.000 00. (XX) 00. ()0() 00.000 00.27

12、7 80.270 51.(XJ0 00.110 70. 539 30.5(M 90.330 80. ()00 0(h 174 70.000 00.061 20T23 00.000 00.000 00. 000 00.060 30.000 00. ()00 00. 000 00.000 00.C61 40,C14 20.000 ()0. 174 6由下式a(9 + Q 二 口(9)嚴(yán)/ = I .2,.1?？梢詫?duì)長(zhǎng)江未來(lái)10年的水質(zhì)污染屬于I類、II類、田類、IV類、V類、劣V類這6類狀態(tài)的比例向量作出預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)下表6歡在下載精品文檔年份附間t1類II美修受R類奏M311)30,3超 3-

13、fi 2ftS 14, 6IN 63, M25 011. IK5 72UDbLS. 135 128. 655 13B.U05 UJJ.571 33. K2; aJU. AID K2(X)712工5加62H. 235 137.M22 214. 029 3i. K22 0in. #0 435.784 928.219 13fU明 3IS.976 K九M2 110JS9 1200914立即417n n38, 144 214.016 QV不用1上W6 G21)1015土皿b2S. INI 3SSL 191 514. ()44 bi.戲融4史 &S7 6刻1165,70138 &14.0606S. 80 75*.76030121719s7 2弭 206 7255 114.073 7VRD6 6Q. frV 4201.1is5.gT 328.217 3272 914.0H2 7工狎腳7立介訪T196 .003 a二工儂238.285 514.。密03, SIO 39.6J44從預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果可以看出：枯水期長(zhǎng)江全流域水質(zhì)屬于IV類、V類、劣V類這 3 類狀態(tài)的比例并沒(méi)有發(fā)生根本性的減少，水質(zhì)污染程度依然十分嚴(yán)重。因此我們要采取積極措施，例如要嚴(yán)加控制企業(yè)廢水和城市生活垃圾亂排亂放，政府要大力推進(jìn)城市發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)和有機(jī)農(nóng)