2021屆廣東省肇慶市高三下學期第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學試題(解析版)

1、試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2021屆廣東省肇慶市高三下學期第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學試題一、單選題1已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（ ）A2BCD【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求解即可.【詳解】因為，所以復數(shù)的虛部為，故選：B2已知，則（ ）ABCD【答案】C【分析】由時，可判定A，B錯誤；由時，可判定D錯誤；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，可判定C正確.【詳解】對于A、B中，例如：時，可得A，B錯誤；對于D中，例如：時，所以D錯誤；對于C中，因為指數(shù)函數(shù)是上

2、的增函數(shù)，由，可得，所以C正確.故選：C.3，則（ ）A49B56C59D64【答案】C【分析】令，可得各項系數(shù)和.【詳解】令，.故選：C.【點睛】求二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和問題關鍵是賦值法應用.若，則展開式中：(1)各項系數(shù)之和為；(2)；(3).4中國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數(shù)學家劉徽的有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個上底面

3、邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ）A16BCD21【答案】D【分析】由祖暅原理知不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺體積相等即可求解.【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故.故選：D5函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值對選項進行排除，由此確定正確選項【詳解】，故A錯誤；，故B，C錯誤故選：D6在的等腰直角中，為的中點，為的中點，則（ ）ABCD【答案】A【分析】以為原點建立直角坐標系，設直角邊長為2，寫出各點坐標，計算可得的值.【詳解】以為原點建立直角坐標系，

4、設，則，則，所以，所以.故選：A7已知是橢圓的右焦點，過橢圓的下頂點且斜率為的直線與以點為圓心、半焦距為半徑的圓相切，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【分析】求得過橢圓的下頂點且斜率為的直線，利用圓心到此直線的距離列方程，化簡求得離心率.【詳解】過橢圓的下頂點且斜率為的直線方程為，由點到直線距離公式，得，即，則.又，即，解得.故選：A8已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】先分離參數(shù)，再將零點問題轉化成兩個函數(shù)的交點問題來求解即可【詳解】由，設，當時，當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故，因為函數(shù)有三個零點，故故選：B二、多選

5、題9某學校組織學生參加勞動實踐，學生需要手工制作一種模具，勞動實踐結束后，學校任選了一個班級，統(tǒng)計了該班每人制作的合格品個數(shù)，其結果用莖葉圖記錄如下：由以上統(tǒng)計結果，下列判斷正確的是（ ）A男生制作合格品個數(shù)的方差更大B女生制作合格品個數(shù)的分布更接近正態(tài)分布.C男生制作合格品個數(shù)的分布更接近正態(tài)分布D該班女生制作合格模具的平均能力要低于男生【答案】ACD【分析】根據(jù)莖葉圖中男生組的數(shù)據(jù)和女生組的數(shù)據(jù)分布情況，對選項中的命題判斷正誤即可【詳解】解：對于A，由莖葉圖中數(shù)據(jù)知，男生組的數(shù)據(jù)較為分散，波動性大，所以方差大，女生組的數(shù)據(jù)比較集中，波動性小，方差小，所以選項A正確；對于B，女生組的數(shù)據(jù)比較

6、集中，但對稱性不高，不接近于正態(tài)分布，所以選項B錯誤；對于C，男生組的數(shù)據(jù)較為分散，但對稱性好，更接近于正態(tài)分布，所以選項C正確；對于D，男生組的數(shù)據(jù)分布在20左右，女生組的數(shù)據(jù)集中在1020，所以女生組數(shù)據(jù)的平均值小于男生組，選項D正確故選：ACD10已知集合，則下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則或D若時，則或【答案】ABC【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷【詳解】，若，則，且，故A正確.時，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當時，解得或，故C正確.故選：ABC11已知函數(shù)，則（ ）AB的最大值為C是奇函數(shù)D的最小值為【答案】AB【分析】

7、由，可判定A正確；由，集合基本不等式，可判定B正確；由函數(shù)奇偶性的定義，可判定C不正確；由，可判定D不正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以A正確；由，當且僅當時等號成立，故B正確；由，所以，所以C不正確；由，所以D不正確.故選：AB12已知是數(shù)列的前項和，且，則（ ）A數(shù)列是等比數(shù)列B恒成立C恒成立D恒成立【答案】BC【分析】根據(jù)條件寫出，兩式作比可得，為隔項等比數(shù)列，由，代入計算可得，代入可求出通項公式，進而求出前項和公式，從而判斷選項的正誤.【詳解】，故，又，故，故，所以A錯誤，B正確；，所以C正確，D錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：數(shù)列中出現(xiàn)兩項的和或積時，經(jīng)常令代替再寫一項，兩式

8、做差或做商，從而找出隔項的關系，進而求出通項公式.三、填空題13已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線上一點，且，的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【分析】利用雙曲線的定義和勾股定理可求得，再利用三角形的面積公式可得出，進而可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，則，所以，因為，所以，可得.因此，雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：雙曲線中的焦點三角形：雙曲線上一點與雙曲線的兩個焦點、構成的稱為焦點三角形，在處理雙曲線中的焦點三角形問題時，可結合雙曲線的定義以及三角形中的有關定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等）來求解.14現(xiàn)有5個參加演講比賽的名

9、額，要分配給甲、乙、丙三個班級，要求每班至少要分配一個名額，則甲班恰好分配到兩個名額的概率為_.【答案】【分析】3個班分5個名額，每班至少一個有2種情況：一個班分3個，其余各分1個；2個班各分2個，另一個班分一個，求得總數(shù)，然后再求甲分到2個名額的數(shù)目即可.【詳解】3個班分5個名額，每班至少一個有2種情況：一個班分3個，其余各分1個；2個班各分2個，另一個班分一個，則分配的總數(shù)為，甲班恰好分配到兩個名額，則余下的3個名額要分配給乙、丙兩班，有2種分配方法，所以甲班恰好分配到兩個名額的概率為故答案為：15在三棱錐中，是以為直角的等腰直角三角形，是邊長為2的等邊三角形，二面角的余弦值為，則三棱錐的

10、外接球的表面積為_.【答案】【分析】作出三棱錐的外接球，找到其球心，根據(jù)題干條件找到外接球半徑與已知邊，角的關系，從而求得外接球半徑，即可得到外接球表面積.【詳解】如圖，設的中點為，過點作平面的法線，過的重心作平面的法線，與交于點，則為三棱錐的外接球的球心.又，所以.又，所以，故外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：8.【點睛】關鍵點點睛：找到球心與邊長，角度的關系，在直角三角形中求得外接球半徑.四、雙空題16寫出一個以為對稱中心的偶函數(shù)_，該函數(shù)的最小正周期是_.【答案】 4 【分析】偶函數(shù)又有周期的可考慮余弦型函數(shù)，注意對稱中心即可【詳解】只要寫出符合條件的函數(shù)即可，如，該函數(shù)的最小

11、正周期是4.故答案為：；4（答不唯一）五、解答題17如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，從而求得；（2）由（1）可知，再結合余弦定理即可求得結果【詳解】（1）由正弦定理，得，即.所以，故.所以.（2）由（1）可知，所以.由余弦定理，得，所以.18已知：數(shù)列中，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）化簡遞推關系可得，即可證明并得到通項公式；（2）根據(jù)錯位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：由，得又，所以故，所以數(shù)列是以

12、1為首項，以2為公比的等比數(shù)列所以數(shù)列的通項公式為（2）解：由，得， ， 由得，則【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)遞推關系式得出是解題的關鍵，屬于中檔題.19如圖，三棱柱中，分別是和的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）若底面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明線線平行，從而推出線面平行.（2）利用題設得三條兩兩垂直的線段，建系求平面法向量，利用法向量夾角求所求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，連接，.因為，分別是和的中點，故，故.又，故，故.又平面，所以平面.（2）由題意知，兩兩垂直，以為坐標原點，以的方向為軸正方向，分別以，為軸和軸的

13、正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.則，.設為平面的法向量，則，即，可取.設為平面的法向量，則，即，可取.所以.由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：若二面角的平面角不便作出，且?guī)缀误w中有便于建系的垂直條件時，常通過建系求相關平面的法向量，從求二面角的余弦值.20某高三學生小明準備利用暑假的7月和8月勤工儉學，現(xiàn)有“送外賣員”和“銷售員”兩份工作可供其選擇.已知“銷售員”工作每日底薪為50元，每日銷售的前5件每件獎勵20元，超過5件的部分每件獎勵30元.小明通過調查，統(tǒng)計了100名銷售員1天的銷售記錄，其柱狀圖如圖1；“送外賣員”沒有底薪，收入與送的單數(shù)相關，在一日內(nèi)：

14、1至20單（含20單）每送一單3元，超過20單且不超過40單的部分每送一單4元，超過40單的部分，每送一單元.小明通過隨機調查，統(tǒng)計了100名送外賣員的日送單數(shù)，并繪制成如下直方圖（如圖2）.（1）分別求出“銷售員”的日薪（單位：元）與銷售件數(shù)的函數(shù)關系式、“送外賣員”的日薪（單位：元）與所送單數(shù)的函數(shù)關系式；（2）若將頻率視為概率，根據(jù)統(tǒng)計圖，試分別估計“銷售員”的日薪和“送外賣員”的日薪（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）的數(shù)學期望，分析選擇哪種工作比較合適，并說明你的理由.【答案】（1），；（2）選擇做“送外賣員”，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)兩份工作日薪的計算方法，求得兩個函數(shù)關

15、系式.（2）求得日薪和的分布列，進而計算出兩份工作日薪的期望值，從而做出決策.【詳解】（1）“銷售員”的日薪（單位：元）與銷售件數(shù)的函數(shù)關系式為，“送外賣員”的日薪（單位：元）與所送單數(shù)的函數(shù)關系式為.（2）由柱狀圖知，日平均銷售量滿足如下表格：銷售量/件34567頻率所以的分布列為110130150180210所以（元）.由直方圖可知，日送單數(shù)滿足如下表格：單數(shù)/單1030507090頻率所以的分布列如下表：30100185275365由直方圖知，（元）.由以上計算得，做“送外賣員”掙的更多，故小明選擇做“送外賣員”的工作比較合適.【點睛】決策問題，利潤或收益需要期望值最大的，成本或支出需要

16、期望值最小的.21設拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，當在上時，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點，滿足，證明：點總在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用直線的斜率列方程，化簡求得，由此求得拋物線方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關系.利用向量的坐標運算建立中的關系式，由此求得點所在定直線方程.【詳解】（1）由題意，得，則，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設，直線的方程為.由得，.由，得，故，化簡得.又，故，化簡得，即，則或.當點在定直線上時，直線與拋物線只有一個交點，與題意不符.故點在定直線上.【點睛】在解析幾何中的向量運算，可用來建立方程，通過化簡方程來進行解題.22已知函數(shù)，為的導函數(shù).（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）.【分析】（1）求得，對進行分類討論，利用導數(shù)研究的單調性，從而求得在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù).（2）先根據(jù)求得，利用放縮法得到，利用導數(shù)證得，即恒成立，由此確定的取值范圍.【詳解】（1）由，得.令，則.因為，所以，.當時，單調遞增，即在區(qū)間內(nèi)無極值點；當時，所以，所以在單調遞增.又，故存在，使且時