空間向量巧解平行垂直關(guān)系

1、,.高中數(shù)學(xué)空間向量巧解平行、垂直關(guān)系編稿老師劉詠霞一校黃楠二校楊雪審察鄭建彬一、考點(diǎn)打破知識點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明能夠運(yùn)用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行或垂直。2.理解直線的方向向量與平面的注意用向量方選擇題法解決平行和垂直空間向量巧解法向量。3.填空題問題中坐標(biāo)系的建平行、垂直關(guān)系能用向量方法解決線面、面面的解答題立以及法向量的求垂直與平行問題，領(lǐng)悟向量方法在法。立體幾何中的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面的平行和垂直關(guān)系問題。難點(diǎn)：用向量語言證明立體幾何中有關(guān)平行和垂直關(guān)系的問題。考點(diǎn)一：直線的方向向量與平面的法向量1.直線l上的向量a或與a共線的向量叫作直線l的方向向量

2、。2.若是表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，此時(shí)向量a叫作平面的法向量?！竞诵臍w納】,.一條直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)，一個(gè)平面的法向量也有無數(shù)多個(gè)，且它們是共線的。在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一確定的?！倦S堂練習(xí)】已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），則平面ABC的一個(gè)法向量的單位向量是（）A.（1，1，1）B.(3,3,3)333C.(1,1,1)D.(3,3,3)333333思路解析：設(shè)出法向量坐標(biāo)，列方程組求解。uuuruuur答案：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n（x，y，z），AB（

3、0，1，1），BC（uuuryz0uuurABnuuurxy0，xyz，1，1，0），AC（1，0，1），則BCnuuurxz0ACn又單位向量的模為1，故只有B正確。技巧點(diǎn)撥：一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟以下：（1）設(shè)出平面的法向量為n（x，y，z）。（2）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a（a，b1，c），b（a，b，c）。11222（3）依照法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組na0nb0.（4）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量?？键c(diǎn)二：用向量法證明空間中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a（a1，b1，c1），b（a2，線線平行ab

4、?（a1，b1，c1）k（a2，b2，c2）b2，c2），則lm?設(shè)l的方向向量為a（a1，b1，c1），的法向量為u（a2，b2，c2），線面平行uabclaauabc設(shè)，的法向量分別為u（a1，b1，c1），v（a2，b2，c2），面面平行則?uv?（a1，b1，c1）k（a2，b2，c2）設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a（a1，b1，c1），b（a2，線線垂直b1b2c1c20b2，c2），則lm?ab?ab0?a1a2設(shè)l的方向向量為a（a1，b1，c1），的法向量為u（a2，b2，c2），線面垂直則l?au?aku?（a1，b1，c1）k（a2，b2，c2）（kR）設(shè)，的法

5、向量分別為u（a1，b1，c1），v（a2，b2，c2），面面垂直則?uv?uv0?a1a2b1b2c1c20Oxyz。,.【核心打破】用向量法解決立體幾何問題是空間向量的一個(gè)詳盡應(yīng)用，表現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)變成空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，表現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)變思想。用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：建立立體圖形與空間經(jīng)過向量運(yùn)算，研究把向量的運(yùn)算結(jié)果向量的聯(lián)系，用空間點(diǎn)、直線、平面之間“翻譯”成相應(yīng)的幾向量表示問題中涉及的地址關(guān)系以及它們何意義。的點(diǎn)、直線、平面，之間的距離和夾角等把立體幾何問題轉(zhuǎn)變問題。為向量問題。例題1

6、（浙江改編）如圖，在周圍體AD2，BD22，M是AD的中點(diǎn)，P是證明：PQ平面BCD。ABCD中，AD平面BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段BCD，BCCD，AC上，且AQ3QC。思路解析：利用直線的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行。答案：證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意知，A（0，2，2），B（0，2，0），D（0，2，0）。uuuruuur3x0,23y0,1設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x0，y0，0）。因?yàn)锳Q3QC，所以Q。4442因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M（0，2，1），又P為BM的中點(diǎn)，故P0,0,1，2,.uuur323。所以PQ

7、44y0,04x0,uuur又平面BCD的一個(gè)法向量為a（0，0，1），故PQa0。又PQ?平面BCD，所以PQ平面BCD。技巧點(diǎn)撥：解決此類問題的依照是要依照線面平行的判判定理，可證直線的方向向量與平面內(nèi)某向來量平行，也可證直線的方向向量與平面的法向量垂直。例題2長都為2，D以下列圖，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱）為CC1的中點(diǎn)。求證：AB1平面A1BD。ABCA1B1C1的所有棱思路解析：證明線面垂直能夠經(jīng)過證明線與面的法向量平行來實(shí)現(xiàn)。答案：證明：以下列圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)锳BC為正三角形，所以AOBC。在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO

8、平面BCC1B1，uuuruuuuruuur取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（1，1，0），A1（0，2，3），A（0，0，3），B1（1，2，0）。uuuruuuruuurBA1（1，2，3），BD（2，1，0）。AB1=（1，2，3）設(shè)平面A1BD的法向量為n（x，y，z），uuuruuuruuurnBA10 x2y3z0因?yàn)閚BA1，nBD，故uuur02xy0，nBD令x1，則y2，z3，故n（1，2，3）為平面A1BD的一個(gè)法向量，uuuruuuruuur而AB1（1，2，3），所以AB1n

9、，所以AB1n，故AB1平面A1BD。技巧點(diǎn)撥：解決此類問題的依照是要依照線面垂直的判判定理，證明直線的方向向量與平面的法向量平行。例題3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1平面AA1C1C。,.思路解析：建系寫出坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)平面垂直。答案：證明：由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，1），uuuruuuruuuuruuu

10、r2則AA1（0，0，1），AC（2，2，0），AC1（2，2，1），AE（2，0，1）。2uuurz0設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1AA10n1（x，y，z），則uuur2x2y0n1AC0令x1，得y1，n1（1，1，0）。設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2（x0，y0，z0），則uuuur2x02y0z00n2uuurAC102x01z00n2AE02,.令z04，得x01，y01。n2（1，1，4）。n1n2111（1）040，n1n2.平面AEC1平面AA1C1C。技巧點(diǎn)撥：利用空間向量證明面面垂直平時(shí)能夠有兩個(gè)路子，一是利用兩個(gè)平面垂直的判判定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)變成線面垂直進(jìn)而

11、轉(zhuǎn)變成線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直。向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要表現(xiàn)在不用考慮圖形的地址關(guān)系。合適建系或用基向量表示后，只須經(jīng)過向量運(yùn)算即可獲取要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思想難度。利用向量解決立體幾何中的研究性問題【滿分訓(xùn)練】在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，棱BB1上可否存在一點(diǎn)M，使得D1M平面EFB1。思路解析：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用線面垂直列方程組求解。答案：建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長為2，則E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）。uuu

12、ruuuruuuuur設(shè)M（2，2，m），則EF（1，1，0），B1E（0，1，2），D1M（2，2，m2）。D1M平面EFB1，D1MEF，D1MB1E，uuuuuruuuruuuuuruuurD1MEF0且D1MB1E0，220于是，m1。22(m2)0故取B1B的中點(diǎn)為M就能滿足D1M平面EFB1。技巧點(diǎn)撥：關(guān)于“可否存在”型問題的研究方式有兩種：一種是依照條件做出判斷，再,.進(jìn)一步論證。另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在的點(diǎn)的坐標(biāo)，再依照條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能夠求出，或有矛盾，則判斷“不存在”。（答題時(shí)間：40分鐘）1.（東營高二檢測）已知平面的法向量為a

13、（1，2，2），平面的法向量為b（2，4，k），若，則k（）A.4B.4uuurC.5D.5uuuruuur2.（青島高二檢測）若ABCDCE，則直線AB與平面CDE的地址關(guān)系是（）A.訂交B.平行uuurC.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)uuuruuuruuuruuur已知AB（1，5，2），BC（3，1，z），若ABBC，BP（x1，y，3），且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為（）33，15401540，2，4D.4，40A.，4B.，4C.，15777777（汕頭模擬）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11。（1）求證：E，

14、B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；2（2）若點(diǎn)G在BC上，BG，點(diǎn)M在BB1上，GMBF，垂足為H，求證：EM3平面BCC1B1。5.以下命題中，正確的選項(xiàng)是_。（填序號）若n1，n2分別是平面，的一個(gè)法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的一個(gè)法向量，則n1n20；,.若n是平面的一個(gè)法向量，a與平面共面，則na0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面必然不垂直。uuuruuuruuuruuuruuur平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知（DBDC2DA）（ABAC）0，則ABC的形狀是三角形。7.如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是B

15、C的中點(diǎn)。在DD1上可否存在一點(diǎn)N，使MNDC1？并說明原由。（衡水調(diào)研卷）以下列圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A1A2。（1）證明：ACA1B；uuuruuur（2）可否在棱A1A上存在一點(diǎn)P，使得APPA1，且面AB1C1面PB1C1。,.D解析：，ab，ab282k0，k5。uuuruuuruuuruuuruuuruuurD解析：ABCDCE，AB、CD、CE共面，則AB與平面CDE的地址關(guān)系是平行或在平面內(nèi)。uuuruuuruuuruuur3.B解析：ABBC，ABBC0，即352z0，解得z4，40uuuruuuruu

16、uruuurx15y60 x7。又BP平面ABC，BPAB，BPBC，則3x1y12，解得150y7證明：（1）以B為原點(diǎn)，以BA，BC，BB1為x軸，y軸，z軸，建立以下列圖的空間uuur直角坐標(biāo)系B-xyz，則B（0，0，0），E（3，0，1），F(xiàn)（0，3，2），D1（3，3，3），則BEuuuruuuuruuuuruuuruuur（3，0，1），BF（0，3，2），BD1（3，3，3），所以BD1BEBF。由向量共面的充要條件知E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面。（2）設(shè)M（0，0，z0），G0,2,03，則GM0,2uuur,z0，而BF（0，3，2），3uuur21。故M（0uuurBF00，

17、0，1），有ME（3，30，0）。uuuruuuruuuruuuruuuruuur又BB1（0，0，3），BC（0，3，0），所以MEBB10，MEBC0，進(jìn)而MEBB1，MEBC。又BB1BCB，故EM平面BCC1B1。解析：必然正確，中兩平面有可能重合。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur6.等腰解析：（DBDC2DA）（ABAC）（DBDADCDA）CBuuuruuuruuur（ABAC）CB0，故ABC為等腰三角形。解：以下列圖，建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸的坐標(biāo)系，則C1（0，2，3），M（1，2，0），D（0，0，0）。設(shè)N（0，0，h），2,.uuuur1uuuur（0，2，3），則MN（，2，h），DC12uuuuruuuur1由MNDC1（，2，h）（0，2，3）43h.2當(dāng)h4uuuuruuuuruuuuruuuur3時(shí)，MNDC10，此時(shí)MNDC1。存在NDD1，使MNDC1。8.證明：以DA，DC，DA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，3），B（1，1，0），D1（1，0，3），B1（0，1，3），C1（