空間向量應(yīng)用

1、1、(2013,課標(biāo) 1,理，18)如圖，三棱柱i n 中，1,| ,Z + BAAi =證明：.I;； L . 若平面】；上平面.】；.,.】；:,求直線與平面: |：所成角的正 弦值。答案詳解取 忑的中點(diǎn)，連接 1 i 因?yàn)?1 ,所以L/因?yàn)镋 I -,所以平面，又平面，故.L一、. 由(I)知 E：；.、又平面平面.：；：,交線為.；，所以E平面.、：；：,故.lOl.E兩兩互相垂直。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，|：-.；|為單位長，建立如圖所示的空間直角 TOC o 1-5 h z 由題設(shè)知 1 1 1 - 1 - I 1設(shè)s是平面的法向量,則|,即二可取.I . . I ,

2、.|+叫|1。|。所以 與平面*，所以 與平面*，: r所成角的正弦值為解析:本題主要考查立體幾何中直線與平面的位置關(guān)系。取 e的中點(diǎn)，連接 |；:，- - 中 ， ，.；，所以,所以平面 -，即得八一、. 由面面垂直性質(zhì)得平面，：；：；！，以為原點(diǎn)，-的方向?yàn)檩S的正方向， |；工|為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面 的法向量為./；,由法向量與 - 垂直可求得法向量，再求出其法向量與直線；夾角的余弦值即可得到直線:與 平面*，： I的正弦值。2.(2013，課標(biāo)2，理，18)如圖，直三棱柱ABC-A中，d,E分別是的中 點(diǎn)，AA1 = AC = CB =壽AS證明. 88平面4 CD求二面

3、角D-A-E的正弦值.答案詳解證明：連接HG，交攻于點(diǎn)F，則F為媽,的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn).連接DF，則BCJIDF.因?yàn)镈F仁平面配1史 平面4CD所以/平面AUD.解：由AC = CB = -ABMAC.LBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，&的方向?yàn)槎S正方向，建立如圖所示的空間真角坐標(biāo)系設(shè)依=(有見，可)是平面的法向量，則哈0,哈0,即 如電=0,W取*”】）.場 + 1 = IJ._m CE = 0 一l n，m J5 從而E5 = =r= m同理，設(shè)房是平面也日占的法向量，則，可取幽l n，m J5 從而E5 = =r= m3，故m3,酬)=即二面角口_由_下的正弦值為日4、(2013,山東，

4、理18)如圖所示，在三棱錐：，| 中，：平面】：；：， ；，：分別是心，MJ，；，：.的中點(diǎn)，；.，.；.與交于點(diǎn).與求證:，;匚求二面角：.：， 的余弦值。答案詳解因?yàn)?為中點(diǎn)，所以 雋同理:-! .,所以，.*-平面，所以* 平面、，乂平面；門，所以 ；，又*,所以 由 空；m的中點(diǎn)可得，為直角三角形，以、,為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),： 二可得平面廠的一個(gè)法向量為二：1 :,44平面的一個(gè)法向量為n ，：l ，可得:=所以二面角:的余弦值為”-瑚解析：本題主要考查空間幾何中線與線之間的關(guān)系，二面角的求解。本問多次使用三角形的中位線定理證明兩直線平行。包含了轉(zhuǎn)化思想，將證明轉(zhuǎn)

5、化為證明，忑七本問采用向量法，向量法在空間幾何中是一種簡單而適用的方法。先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo) 系，然后分別求出平面和平面的法向量。然后根據(jù)來那個(gè)法向量的夾角公式求出 該二面角。(2016,課標(biāo)卷，山西河南，18)如圖，在以L注，；，-，；為頂點(diǎn)的五面體中， 面.，；*為正方形，.打I!.，；，！.，*；，且二面角與二面角:都是。證明：平面，；：.；平面澆； 求二面角;.E!的余弦值。答案詳解(1)因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以，又因?yàn)椋?；八|-1，所以L一十.又因?yàn)槠矫?，所以平面、：?平面澆。（2），.；，忑平面平面;；,所以.；平面.，而平面.；， 平面，所以如下圖，四邊形為等腰梯形，以為原點(diǎn)，建立如

6、下空間直角坐標(biāo)系，設(shè)， ” ， ： ： ,，.，.-，. I I，所以. Ji . .M，設(shè)平面蕓.的法向量為f 且 可；5 丁二可設(shè)二面角廠的大小為、n ：| I. ，因?yàn)槎娼菓?yīng)該為正值，所以二面角：E!的余弦值為頊土。19解析: （1）應(yīng)用一條直線垂直于平面上相交的兩條直線，則該直線垂直于這一平面，可證明；.平面:，又因?yàn)槠矫?，即可證明平面.，頊:平面。（2）根據(jù)證得的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面注I、平面務(wù),的法向量，即可求得二面角; E!的余弦值。6、（2015,北京，理17）如圖，在四棱錐 - ：中， 為等邊三角形，平面技*平面：；，：； *，；，：*，為的中點(diǎn)。(1)(2

7、)求二面角：:的余弦值;若,平面心(2)求二面角：:的余弦值;若,平面心.，求，的值。(3)答案詳解（1）因?yàn)?J是等邊三角形，為-的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫?W 平面：；，心 平面，所以-JL平面：.；：；，所以 心L-（2） 取中點(diǎn)，連結(jié)e，由題設(shè)知是等腰梯形，所以e ，由（1）知心 平面 ，又e 平面： ；：，所以 心L 如圖建立空間直角坐標(biāo)系.-，則，.：，.，.：.，；-.- ill：，所以，-們號(hào)-即 ，令一1- ill：，所以，-們號(hào)-7|-j -，由題知二面角；為鈍角，所 以它的余弦值為。（3）因?yàn)槠矫嫘?，所?:，即.，因?yàn)?二:-，. ，.，所以:J .； . 手由，及，解得

8、”.：。解析：本題主要考查二面角及空間直角坐標(biāo)系。（1）由題意可知，*，又因?yàn)槠矫妫?平面；，；，平面.】：.；，即可得。（2）由題設(shè)和（1）可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，分別設(shè)法向量，由法向量和平面中 向量的乘積為可分別得出兩平面的法向量，再由公式可得出余弦 值為（3）因?yàn)?. ，所以，又因?yàn)閙 ，：，所以可解得“7、（2016,北京，理17）（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面平面.】：*，；，（1）求證：；平面| ；;；（2）求直線與平面廠所成角的正弦值；（3）在棱.口.上是否存在點(diǎn)“，使得平面：廠？若存在，求蕓的值；若不存在，說明理由。答案詳解（1）因?yàn)槠矫嫫矫妗?；，q 平面w

9、，且.】，；，所以：.： jl平面- .-，（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線.與平面廠所成角為，根據(jù)已知條件解出各點(diǎn)坐標(biāo)，三,；：.、：.J：、，,、：二.，則有.、：| | I.，.，,.：.，.，.1.，. |.，設(shè)平面“的法向量為 4由 ，得 -._.，所以* f 匕一.-二，又因?yàn)橹本€口與平面I所成角為銳角，所以所求線面角的正弦值（3）假設(shè)存在這樣的”.點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 則. I .，要使直線 平面:V、即需要求 k .，所以I ，解得，此時(shí)壬.二.* 解析：本題主要考查線線、線面、面面的位置關(guān)系。（1）證明一條直線與平面垂直，只需證明該直線與平面內(nèi)兩相交直線垂直即可，本題先證

10、明平面 .，可得.I .，再結(jié)合已知條件；！，可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量.-，則線面所成角的正弦值即為直線所 在向量與法向量所成角的余弦值，利用日Wq可求解，再注意符號(hào)即可;（3）假設(shè)存在這樣的“，設(shè)出其坐標(biāo)，寫出滿足條件的表達(dá)式，表達(dá)式有解即滿足條件的 “存在，再進(jìn)一步求解即可。8、（2015 山東，理 17）如圖，在三棱臺(tái)DEi ABC中，宜 2DG,H分別為AC,BC的中點(diǎn).（I ）求證:3平面FGH;（II）若。1平面ABC，歸上及，（ D匕，/萬。15，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小.答案詳解解：（I）證明:根據(jù)已知條件，H為BC中點(diǎn)，

11、Lf（；上fH，且匕BH；四邊形EFHB為平行四邊形；,BWHi ，平面FGH，歸匕攵平面FGH;擋0平面FGH;同樣，因?yàn)镚H為中位線，二CH*;又B;工）0（出;二二平面BDE;W 平面 FGH;(II)連接 HE，則7 ;平面ABC;HL 平面 ABC,并且 H（H L ；hO,HG,HE三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)H（設(shè)H（1,則。l.L 八1.1： I.H.II-連接BG,根據(jù)已知條件B1B（Lg為AC中點(diǎn);.！?（，（； 又（LL 平面 ABC, EG，U 平面 ABC;.,（，/。；:.B（1-平面 ACFD;向量彩；（1.1.（）

12、為平面ACFD的法向量；設(shè)平面FGH的法向量為/廣 （.匚V二），則：，取二1,則:1 1川）設(shè)平面FGH和平面ACFD所成的銳二面角為:，則：（|（3 : B（；. n- :;.平面FGH與平面ACFD所成的角為解析：（I ）根據(jù)2DE便可得到月（2以,從而可以得出四邊形EFHB為平行四邊形，從而 得到BE/iHL ,便有BE/平面FGH,再證明DE/平面FGH,從而得到平面BPO平面FGH,從而平面FGH;(II)連接HE,根據(jù)條件能夠說明HC,HG,HE三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x,y,z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出一些點(diǎn)的坐標(biāo).連接BG,可說明為平面ACFD的一條法向量

13、,設(shè)平面FGH的法向量為行(.匚.：)，根據(jù))即可求出法向量量,設(shè)平面FGH的法向量為行(.匚.：)，根據(jù)FGH與平面ACFD所成的角為，根據(jù)|廣。，. B(;|即可求出平面FGH與平面ACFD所成的角的大小.考查棱臺(tái)的定義，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性質(zhì)， 線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角 的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要條件，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，平面和 平面所成角的定義.9、(2015,課標(biāo)，河南山西，18)(本小題滿分12分)如圖，四邊形為菱形，-1，、是平面同一側(cè)的兩點(diǎn)，/;平面U，頃

14、平面.；3 .，*.，誓。(I)證明：平面平面(I)求直線與直線 ；所成角的余弦值。答案詳解在菱形MH二得j。由，: JL平面.，.；.!，可知仃。又. ，所以. ；，且在印中，可得*.-故山=: 在 Hl ； 中，可得；r 在直角梯形中，由】，：:;，L可得/從而 求證H平面*?； 求平面.與平面注所成銳二面角的余弦值。答案詳解(1求證H平面*?；求平面.與平面注所成銳二面角的余弦值。答案詳解(1)如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié).，、又-，可得-平面.* L。因?yàn)?，平面，所以平面，平? 3 。(II)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以r.*，2,垂直平面向上的方向?yàn)檩S，.軸，軸正方向，斗為單位長，建立空間直

15、角坐標(biāo)系 .。由(I)可得*- ：1，；I.，.， ，所以 I： I -.- -，U:- !壬，。10 分故:所以直線與直線所成角的余弦值為工。12分10、(2015，福建，17)(本小題滿分13分)如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，：平面：，蕓 上十-，分別是線段注，頃 的中點(diǎn)。A又二是的中點(diǎn)，所以*,且：,又是*的中點(diǎn)，所以-Ji;5平面。(2)如圖，在平面內(nèi)，過注點(diǎn)作*.，因?yàn)?1 ，所以方，又因?yàn)?平面：，所以】；.：；，；以注為原點(diǎn)，分別以三，：，:，強(qiáng)；的方向?yàn)檩S，.軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.，.，：n |，因?yàn)?心 平面，所以.：.；. l為平面的法向量，設(shè)4. -為平面的法向量，又.1二手.I，由 ，得 ，?。?，得.，從而 -:.，所以平面與平面客.所成銳二面角的余弦行仆|3x23值為；11、(2015，安徽，19)(本小題滿分13分)如圖所示，在多面體頃：:|中，四 邊形】：；：，、，均為正方形，為的中點(diǎn)，過 ，的平面交. 于。證明：-：； 求二面角 -1 11 I的余弦值。答案詳解 (I)證明：因?yàn)?，；?：，；|，-面- : I，所以面又因?yàn)槊婷? ，所以.：，.：，所以，。(I)解法一：將原來圖形補(bǔ)全成正方體。如圖所示，過作，取，；中點(diǎn)，連結(jié)f，則-，所以，頓,是二面角；.1