集合、三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、第一講一、要求：回歸“課本”回歸“基礎(chǔ)”回歸“高考題”二、主要內(nèi)容1、集合（1）基本知識(shí)點(diǎn)1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：.元素的確定性；.元素的互異性；.元素的無序性說明：(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了

2、確定性和整體性。3、集合的分類：1有限集含有有限個(gè)元素的集合2無限集含有無限個(gè)元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=54、集合的表示：如我校的籃球隊(duì)員，太平洋大西洋印度洋北冰洋1.用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員B=123452集合的表示方法：列舉法與描述法。注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作aA，相反，a不屬于集合A記作a?A列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性

3、描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R|x-32或x|x-32二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A記作AB或BA2.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。3“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5)實(shí)例：設(shè)A=x|x2-1=0B=-11“元素相同”結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合

4、B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B任何一個(gè)集合是它本身的子集。A?A真子集:如果A?B且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)如果A?BB?C那么A?C如果A?B同時(shí)B?A那么A=B三、集合的運(yùn)算1、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做AB的并集。記作：AB(讀作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB2交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合叫做AB的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB3、全集與補(bǔ)集（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即），

5、由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作：CSA即CSA=x?x?S且x?A（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。（3）性質(zhì)：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U4、交集與并集的性質(zhì)：AA=AA=AB=BA，AA=AA=AAB=BA.（2）題海撈金1若x|x2a，aR，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知，x2a有解，故a0.答案：a02已知集合Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x5，集合Bx|xa，若命題“xA”是命題“xB”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：命題“xA

6、”是命題“xB” 的充分不必要條件，AB，a5.答案：a0，Bx|x1，則AUB_.解析：UBx|x1，AUBx|0 x1答案：x|0 x16(2012年高考全國(guó)卷改編)設(shè)集合A4,5,7,9，B3,4,7,8,9，全集UAB，則集合U(AB)中的元素共有_個(gè)解析：AB4,7,9，AB3,4,5,7,8,9，U(AB)3,5,8答案：37已知集合M0,1,2，Nx|x2a，aM，則集合MN_.解析：由題意知，N0,2,4，故MN0,2答案：0,28(原創(chuàng)題)設(shè)A，B是非空集合，定義ABx|xAB且xAB，已知Ax|0 x2，By|y0，則AB_.解析：AB0，)，AB0,2，所以AB(2，)答

7、案：(2，)9(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_解析：設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人數(shù)為x，畫出韋恩圖得到方程15-x+x+10-x+8=30 x=3，喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但10已知函數(shù)f(x) eq r(f(6,x1)1)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g(x)lg(x22xm)的定義域?yàn)榧螧.(1)當(dāng)m3時(shí)，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求實(shí)數(shù)m的值解：Ax|1x5(1)當(dāng)m3時(shí)，Bx|1x3，則RBx|x1或x3，A(RB)x|3x5(2)Ax|1x5，ABx|1x4，有4224m0，解得

8、m8，此時(shí)Bx|2x4，符合題意2、基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、三角恒等變換（1）基本知識(shí)1、角的概念的推廣與弧度制2、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式3、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式4、函數(shù)f(x)Asin(x)的圖像（2）題海撈金1點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq f(,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析：由于點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq f(,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，如圖，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(coseq f(2,3)，sineq f(2,3)，即Q(eq f(1,2)，eq f(r(3),2)答案：(eq f(1,2)，eq f(r(3),2)2設(shè)

9、為第四象限角，則下列函數(shù)值一定是負(fù)值的是_taneq f(,2)sineq f(,2)coseq f(,2)cos2解析：為第四象限角，則eq f(,2)為第二、四象限角，因此taneq f(,2)0恒成立，應(yīng)填，其余三個(gè)符號(hào)可正可負(fù)答案：3(2008年高考全國(guó)卷改編)若sin0，則是第_象限的角答案：三4若coseq f(3,5)，(eq f(,2)，)，則tan_.解析：coseq f(3,5)，(eq f(,2)，)，所以sineq f(4,5)，taneq f(sin,cos)eq f(4,3).答案：eq f(4,3)5(2009年高考北京卷)若sineq f(4,5)，tan0，則

10、cos_.解析：由sineq f(4,5)0知，是第三象限角，故coseq f(3,5).答案：eq f(3,5)6若sin(eq f(,6)eq f(3,5)，則cos(eq f(,3)_.解析：cos(eq f(,3)coseq f(,2)(eq f(,6)sin(eq f(,6)eq f(3,5).答案：eq f(3,5)7(2009年高考廣東卷改編)函數(shù)y2cos2(xeq f(,4)1是_最小正周期為的奇函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)最小正周期為eq f(,2)的奇函數(shù)最小正周期為eq f(,2)的偶函數(shù)解析：y2cos2(xeq f(,4)1cos(2xeq f(,2)sin2x，T，且

11、為奇函數(shù)答案：8(2009年高考江西卷改編)若函數(shù)f(x)(1eq r(3)tanx)cosx，0 xeq f(,2)，則f(x)的最大值為_解析：f(x)(1eq r(3)eq f(sinx,cosx)cosxcosxeq r(3)sinx2sin(xeq f(,6)，0 xeq f(,2)，eq f(,6)xeq f(,6)eq f(2,3)，當(dāng)xeq f(,6)eq f(,2)時(shí)，f(x)取得最大值2.答案：29已知函數(shù)f(x)asin2xcos2x(aR)圖象的一條對(duì)稱軸方程為xeq f(,12)，則a的值為_解析：xeq f(,12)是對(duì)稱軸，f(0)f(eq f(,6)，即cos0

12、asineq f(,3)coseq f(,3)，aeq f(r(3),3).答案：eq f(r(3),3)10(2009年高考湖南卷改編)將函數(shù)ysinx的圖象向左平移(00)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為_解析：因?yàn)閒(x)eq r(3)sinxcosx2sin(xeq f(,6)，f(x)的圖象向右平移個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為eq f(5,6).答案：eq f(5,6)12如圖是函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，)，xR的部分圖象，則下列命題中，正確命題的序號(hào)為_函數(shù)f(x)的最小正周期為eq f(,2)；函數(shù)f(x)的振幅為2eq r(3)；函

13、數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸方程為xeq f(7,12)；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq f(,12)，eq f(7,12)；函數(shù)的解析式為f(x)eq r(3)sin(2xeq f(2,3)解析：據(jù)圖象可得：Aeq r(3)，eq f(T,2)eq f(5,6)eq f(,3)T，故2，又由f(eq f(7,12)eq r(3)sin(2eq f(7,12)1，解得2keq f(2,3)(kZ)，又，故eq f(2,3)，故f(x)eq r(3)sin(2xeq f(2,3)，依次判斷各選項(xiàng)，易知是錯(cuò)誤的，由圖象易知xeq f(7,12)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故正確，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有無窮多

14、個(gè)，區(qū)間eq f(,12)，eq f(7,12)只是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，由上述推導(dǎo)易知正確答案：13設(shè)函數(shù)f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，eq r(3)sin2xm)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x0，eq f(,6)時(shí)，f(x)的最大值為4，求m的值解：(1)f(x)ab2cos2xeq r(3)sin2xm2sin(2xeq f(,6)m1，函數(shù)f(x)的最小正周期Teq f(2,2).在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間為0，eq f(,6)，eq f(2,3)，(2)當(dāng)x0，eq f(,6)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xeq f(,6)時(shí)

15、，f(x)取得最大值為m3，即m34，解之得m1，m的值為1.三、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)1集合A3，log2a，Ba，b，若AB2，則AB_.解析：由AB2得log2a2，a4，從而b2，AB2,3,4答案：2,3,42(2009年高考江西卷改編)已知全集UAB中有m個(gè)元素，(UA)(UB)中有n個(gè)元素若AB非空，則AB的元素個(gè)數(shù)為_解析：UAB中有m個(gè)元素，(UA)(UB)U(AB)中有n個(gè)元素，AB中有mn個(gè)元素答案：mn3(2009年高考重慶卷)設(shè)Un|n是小于9的正整數(shù)，AnU|n是奇數(shù)，BnU|n是3的倍數(shù)，則U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B3,6，AB1

16、,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,84定義ABz|zxyeq f(x,y)，xA，yB設(shè)集合A0,2，B1,2，C1，則集合(AB)C的所有元素之和為_解析：由題意可求(AB)中所含的元素有0,4,5，則(AB)C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和為18.答案：185(2009年高考全國(guó)卷改編)若eq f(,4)xeq f(,2)，則函數(shù)ytan2xtan3x的最大值為_解析：eq f(,4)x1，令tan2x1t0，則ytan2xtan3xeq f(2tan4x,1tan2x)eq f(2(t1)2,t)2(teq f(1,t)2)8，故填8.答案：86(2010

17、年煙臺(tái)質(zhì)檢)函數(shù)f(x)sin2x2cosx在區(qū)間eq f(2,3)，上的最大值為1，則的值是_解析：因?yàn)閒(x)sin2x2cosxcos2x2cosx1(cosx1)22，又其在區(qū)間eq f(2,3)，上的最大值為1，可知只能取eq f(,2). 答案：eq f(,2)7已知sinx2cosx，則sin2x1_.解析：由已知，得tanx2，所以sin2x12sin2xcos2xeq f(2sin2xcos2x,sin2xcos2x)eq f(2tan2x1,tan2x1)eq f(9,5).答案：eq f(9,5)8(2010年南京調(diào)研)coseq f(10,3)_.解析：coseq f(10,3)coseq f(4,3)coseq f(,3)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)9(2010年西安調(diào)研)已知sineq f(3,5)，且(eq f(,2)，)，那么eq f(sin2,cos2)的值等于_解析：coseq r(1sin2)eq f(4,5)， eq f(sin2,cos2)eq f(2sincos,cos2)e