Matlab求解理論力學(xué)問題系列(一)剛體系統(tǒng)及桁架受力問題

1、關(guān)于對模態(tài)概念的理解摘要 通過分析模態(tài)的性質(zhì)并與復(fù)模態(tài)和非線性模態(tài)比較以加強對模態(tài)概念的理解。固有模態(tài)的基本性 質(zhì)是模態(tài)振動的同頻性、對初始條件的不變性、模態(tài)的正交性和系統(tǒng)響應(yīng)的疊加性。復(fù)模態(tài)仍具有模態(tài)振動的 同頻性，但沒有對初始條件的不變性，正交性和疊加性僅在狀態(tài)空間中成立。非線性模態(tài)僅保留了同頻性或不 變性，不具有正交性和疊加性。關(guān)鍵詞 教學(xué)，模態(tài)，復(fù)模態(tài)，非線性模態(tài)，振動ON THE CONCEPT OF MODESAbstract In order to better understand the concept of modes, the characteristics of mod

2、es are analyzed and compared with those of complex modes or nonlinear modes. The connotation of a mode includes the synchronicity of the modal vibrations, the invariance to the initial conditions, the orthogonality among modes, and the superposition of the modal vibrations into the response. A compl

3、ex mode concerns with the synchronicity but not the invariance, while the orthogonality and the superposition hold only in the state space. A nonlinear mode concerns both with the synchronicity and the invariance, but not the orthogonality nor the superposition. Key words teaching, mode, complex mod

4、e, nonlinear mode, vibration17世紀(jì)，人們開始對模態(tài)有所認(rèn)識。1733年丹 尼爾伯努利(Daniel Bernoulli)在研究垂直懸掛細(xì) 線振動時發(fā)現(xiàn)存在不同的模態(tài)，1742年對振動桿的 實驗中發(fā)現(xiàn)振動為不同模態(tài)的疊加。1747年，歐 拉(L. Euler)研究相同彈簧水平連接相同n個質(zhì)點 的縱向振動時，不僅精確地求出了 n個模態(tài)，而且證 明每個質(zhì)點的振動是這些模態(tài)振動的疊加I2。經(jīng)過拉 格朗日(J.L. Lagrange)3、瑞利(J.W.S. Rayleigh)、 開爾文(T.W. Kelvin)和臺特(P.G. Tait)同的發(fā)展 和應(yīng)用，模態(tài)概念成熟完善，

5、成為多自由度振動分 析的基礎(chǔ)，也是國內(nèi)外振動教材中6-10的重要內(nèi)容。 雖然模態(tài)概念是解耦多自由度系統(tǒng)或連續(xù)系統(tǒng)的基 礎(chǔ)，但在教學(xué)中往往著重介紹模態(tài)分析法，對模態(tài)概 念沒有重點闡述，因此學(xué)生缺乏對模態(tài)概念的透徹 理解。這樣，面對模態(tài)概念的進(jìn)一步發(fā)展，如復(fù)模態(tài) 和非線性模態(tài)，尤其覺得困惑。本文較為詳細(xì)地解釋 了模態(tài)概念的基本屬性，分析了模態(tài)概念發(fā)展為復(fù) 模態(tài)概念和非線性模態(tài)概念時保留或舍棄了模態(tài)的 哪些屬性。這將有助于模態(tài)概念的教學(xué)，教師可以從 更廣泛的角度深入理解模態(tài)，從而幫助學(xué)生全面掌 握模態(tài)概念。以下討論主要是針對離散振動系統(tǒng)，連 續(xù)振動系統(tǒng)基本上也有平行的結(jié)論。1固有模態(tài)模態(tài)是系統(tǒng)的一種

6、特征振動性態(tài)，系統(tǒng)中各廣 義坐標(biāo)以相同的頻率振動。因此，模態(tài)由模態(tài)頻率和 模態(tài)振型兩個基本量刻畫，模態(tài)頻率為系統(tǒng)呈現(xiàn)單 頻振動時的頻率，模態(tài)振型為各廣義坐標(biāo)同頻振動 時最大位移的相對關(guān)系。模態(tài)振型簡稱為振型，也稱 為主振型，有些文獻(xiàn)中稱為模態(tài)或主模態(tài)。線性離散 振動系統(tǒng)存在的模態(tài)個數(shù)為其自由度數(shù)，線性連續(xù) 振動系統(tǒng)存在著無窮多個模態(tài)。模態(tài)是線性系統(tǒng)的 固有特性，取決于系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼等因素, 與激勵無關(guān)，可以在實驗中進(jìn)行測量和辨識。最初對模態(tài)的研究，不僅局限于線性系統(tǒng)，而且 忽略了阻尼因素，即為無阻尼線性振動系統(tǒng)。振動系 統(tǒng)的特性由質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K決定。對于 n自由度系統(tǒng)，振動方程

7、為Mx + Kx = 0 (1)其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的n X 1列陣，n x n質(zhì)量 矩陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣。模態(tài)可以由廣 義特征值問題求解。特征值為實數(shù)，就是固有頻率, 而特征向量就是模態(tài)振型。這種振型不隨時間變化, 在所討論的離散振動系統(tǒng)可以用常向量表示。從能 量角度考慮，每個模態(tài)上機械能守恒，模態(tài)之間沒有 能量交換。這個物理事實的數(shù)學(xué)表述就是模態(tài)振型 關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的正交性。系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)以相同的頻率振動，意味著運 動具有一致性或同頻性。模態(tài)的出現(xiàn)依賴于激勵，特 定初值條件符合某個模態(tài)振型時，自由振動就以該 模態(tài)頻率振動。這意味著初值在某個模態(tài)上時后續(xù) 的運動都在該模態(tài)上，即模

8、態(tài)上的運動具有不變性。 如前所述，模態(tài)之間彼此獨立，不發(fā)生能量轉(zhuǎn)移，模 態(tài)振型彼此正交。在一般初值激勵下，線性系統(tǒng)的自 由振動是各模態(tài)振動的疊加。這種同頻性、不變性、 正交性和疊加性是模態(tài)的基本屬性。2從實模態(tài)到復(fù)模態(tài)當(dāng)系統(tǒng)存在大范圍整體運動對局部振動影響時, 有陀螺效應(yīng)，振動方程中含有相應(yīng)的陀螺項。n自由 度離散陀螺系統(tǒng)的振動方程為Mie + Go: + Kx = 0 (2) 其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的n X 1列陣，n x n質(zhì)量矩 陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣，陀螺矩陣G為反 對稱矩陣。陀螺矩陣與廣義速度列陣的乘積為陀螺 項。在連續(xù)振動系統(tǒng)情形，陀螺項是對時間一階和對 空間坐標(biāo)奇數(shù)階的混合偏導(dǎo)

9、數(shù)項。Meirovitch口發(fā) 展了陀螺系統(tǒng)的模態(tài)分析方法。由廣義速度和廣義 坐標(biāo)構(gòu)成狀態(tài)變量，把方程(2)改寫為狀態(tài)空間的 形式(0M 0) x = 0 Mj 0 K J x 由此求解廣義特征值問題。所得到的特征值為成對 出現(xiàn)的2n個純虛數(shù)，n個虛部系數(shù)即是振動系統(tǒng)的 頻率；特征向量為2n X 1復(fù)數(shù)列陣。對應(yīng)于廣義坐 標(biāo)的特征向量中第n + 1行到2n行構(gòu)成的n X 1復(fù) 數(shù)列陣稱為陀螺模態(tài)振型。陀螺模態(tài)振型為復(fù)數(shù)。陀 螺振動系統(tǒng)仍存在模態(tài)頻率，系統(tǒng)自由振動為各模 態(tài)頻率振動的疊加，模態(tài)頻率振動仍是簡諧振動。但 由于陀螺效應(yīng)，沒有前述經(jīng)典模態(tài)意義上獨立于時 間的振型。需要考慮阻尼時，振動方

10、程中增加了阻尼項。n 自由度離散阻尼系統(tǒng)的振動方程為Mx + ex + Kx = 0(4)其中x為廣義坐標(biāo)構(gòu)成的nX 1列陣，nxn質(zhì)量矩 陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K為對稱矩陣。阻 尼矩陣與廣義速度列陣的乘積為阻尼項。在連續(xù)振 動系統(tǒng)情形，陀螺項是對時間一階和對空間坐標(biāo)偶 數(shù)階的混合偏導(dǎo)數(shù)項。Foss給出一般黏性阻尼系 統(tǒng)解耦的方法。由廣義速度和廣義坐標(biāo)構(gòu)成狀態(tài)變 量，把方程(4)改寫為狀態(tài)空間的形式(0 M)(x+(_M 0)(x = 0 M 0 K J x 由此求解廣義特征值問題。與陀螺系統(tǒng)不同，所得到 的特征值為成對出現(xiàn)的2n個復(fù)數(shù)。n個虛部系數(shù)為 振動系統(tǒng)的阻尼頻率，n個實部系數(shù)為振

11、動系統(tǒng)的 衰減系數(shù)。阻尼頻率不是數(shù)學(xué)意義上的頻率，即振動 在單位時間重復(fù)發(fā)生的次數(shù)，而是振動在單位時間 通過平衡點或達(dá)到最大值次數(shù)，因為模態(tài)振動在數(shù) 學(xué)意義上已經(jīng)不是周期運動，但仍是具有等時性的 往復(fù)運動。與陀螺系統(tǒng)類似，特征向量為2n X 1復(fù) 數(shù)列陣。對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的特征向量中第n+1行到 2n行構(gòu)成的n X 1復(fù)數(shù)列陣稱為阻尼模態(tài)振型。阻 尼模態(tài)振型為復(fù)數(shù)。阻尼振動系統(tǒng)仍存在模態(tài)頻率, 系統(tǒng)自由振動為各模態(tài)振動的疊加，模態(tài)振動不再 是簡諧振動而是衰減振動。除了比例阻尼等特殊情 形IM,阻尼模態(tài)振型不是前述經(jīng)典模態(tài)意義上獨立 于時間的振型。陀螺模態(tài)和阻尼模態(tài)的共同之處是模態(tài)振型為 復(fù)數(shù)，兩

12、者統(tǒng)稱為復(fù)模態(tài)。復(fù)模態(tài)仍有頻率的等時 性，系統(tǒng)以單一頻率運動，即作模態(tài)振動；正交性和 疊加性都需要在狀態(tài)空間中建立；一般不具有不變 性。陀螺或阻尼振動系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)仍有模態(tài)頻率的 概念，但沒有保守振動系統(tǒng)那種具有不變性的模態(tài) 振型。復(fù)模態(tài)頻率和復(fù)模態(tài)振型都是阻尼或陀螺系 統(tǒng)客觀的固有振動性質(zhì)，取決于系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和 阻尼等因素，可以由實驗進(jìn)行測量和識別。復(fù)模態(tài)振型與實模態(tài)振型既有相似之處，也有 不同之處。兩者都具有正交性，但復(fù)模態(tài)振型的正交 性需要在狀態(tài)空間中定義，不存在實模態(tài)振型那種 在位形空間中定義的正交性。因此，應(yīng)用復(fù)模態(tài)正交 性進(jìn)行解耦時，要在狀態(tài)空間中進(jìn)行。不論是復(fù)模態(tài) 還是實模態(tài)，

13、系統(tǒng)響應(yīng)均為模態(tài)振動的疊加，但復(fù)模 態(tài)分析中的疊加要在狀態(tài)空間中進(jìn)行。有一般阻尼 或陀螺效應(yīng)時，系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)的模態(tài)振動同頻但 存在相位差，通常不同時取極值，也不同時通過平衡 位置。因此，復(fù)模態(tài)沒有反映各廣義坐標(biāo)上取極值時 的相對大小意義上的振型，一般也沒有固定不變的 節(jié)點。在連續(xù)系統(tǒng)的情形，振動由行波而不是駐波所 產(chǎn)生。復(fù)模態(tài)保持了實模態(tài)的同頻性，但不具有實模 態(tài)的不變性，正交性和疊加性都需要在狀態(tài)空間中 建立。因此，復(fù)模態(tài)并非經(jīng)典意義上的模態(tài)，是獨立 的概念，不能望文生義地理解為用復(fù)數(shù)表示的模態(tài)。3從線性模態(tài)到非線性模態(tài)非線性模態(tài)是推廣模態(tài)概念到非線性振動系統(tǒng) 的嘗試。描述在特定條件下，系

14、統(tǒng)響應(yīng)所包含的單頻 成分。為突出區(qū)別，線性振動系統(tǒng)的模態(tài)稱為線性模 態(tài)。早期的非線性模態(tài)著重刻畫系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)同 頻運動的同頻性，本質(zhì)上是固有模態(tài)對非線性系統(tǒng) 的推廣。隨后的非線性模態(tài)定義為狀態(tài)空間中的不 變流形。非線性系統(tǒng)仍保留著同頻性或不變性，但通 常沒有正交性和疊加性。非線性模態(tài)的概念最初由Rosenberg在1966年 提出14。針對無阻尼非線性振動系統(tǒng)，他將非線性 模態(tài)定義為系統(tǒng)的同頻或一致運動，系統(tǒng)各廣義坐 標(biāo)同時達(dá)到極值和同時通過平衡位置；若各廣義位 移之間存在線性關(guān)系，則稱之為相似非線性模態(tài)；否 則即為非相似非線性模態(tài)。這種定義有內(nèi)在局限性, 僅限于無阻尼系統(tǒng)，而且在有內(nèi)共振情

15、形系統(tǒng)可能出 現(xiàn)快慢運動破壞了非線性模態(tài)所要求的一致性。1991 年，Shaw等151提出了阻尼非線性系統(tǒng)的非線性模 態(tài)，把相空間的不變流形定義為非線性模態(tài)，這樣初 始位移和速度符合某一非線性模態(tài)或在該其吸引盆 內(nèi)，隨后系統(tǒng)就按該非線性模態(tài)運動。非線性模態(tài)具有若干基本性質(zhì)。第一，振動頻率 依賴于激勵幅值。即使系統(tǒng)做同頻周期運動，其頻 率也與初始激勵或初始能量有關(guān)。第二，在線性派生 系統(tǒng)的固有頻率有理通約時，非線性模態(tài)間仍可能 存在內(nèi)共振使得模態(tài)間有能量交換。第三，非線性模 態(tài)的數(shù)目和穩(wěn)定性可能隨著系統(tǒng)參數(shù)變化，也可能 隨著系統(tǒng)能量變化，即與運動幅值有關(guān)。非線性模態(tài) 的數(shù)目可能多于系統(tǒng)自由度數(shù)，

16、存在不穩(wěn)定的非線 性模態(tài)。從這些性質(zhì)可見，非線性模態(tài)與線性模態(tài)有 顯著的差別。因此，非線性模態(tài)不是經(jīng)典意義上的模 態(tài)，是獨立的概念，不能簡單理解為是非線性系統(tǒng)中 的模態(tài)。與實模態(tài)和復(fù)模態(tài)都由線性代數(shù)的廣義特征值 問題導(dǎo)出不同，非線性模態(tài)需要用解析方法或近似 解析方法確定16。解析方法有基于能量分析的方法, 但應(yīng)用過程中需要某種對稱性，目前只適用于奇數(shù) 階非線性項的情形；還有不變流形方法，其中用到幕 級數(shù)展開，通常只適用于運動幅值較小的情形。近似 解析方法有多尺度法，適用于非線性較弱的情形；還 有諧波平衡法，可應(yīng)用于強非線性的情形，但盡管可 以進(jìn)行符號運算，分析自由度數(shù)較大的系統(tǒng)仍很復(fù) 雜。非線性模態(tài)也可以用數(shù)值方法進(jìn)行計算。雖然非線性模態(tài)的應(yīng)用因疊加原理不成立而受 到限制，非線性模態(tài)仍可望成為分析特定非線性振 動系統(tǒng)