VAR模型講義解讀

1、第8章 VAR 模型與協(xié)整8.1向量自回歸(VAR)模型1980年Sims提出向量自回歸模型(vector autoregressive model)。這種模型采用多方程 聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)，在模型的每一個方程中，內(nèi)生變量對模型的全部內(nèi)生 變量的滯后值進(jìn)行回歸，從而估計全部內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系。8.1.1 VAR模型定義VAR模型是自回歸模型的聯(lián)立形式，所以稱向量自回歸模型。假設(shè)y1t，y2t之間存在關(guān) 系，如果分別建立兩個自回歸模型y1,t= f (y1, t-1, y1,t-2, )y2,t= f (y2, t-1, y2,t-2, )則無法捕捉兩個變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián)立

2、的形式，就可以建立起兩個變量之間的關(guān)系 VAR模型的結(jié)構(gòu)與兩個參數(shù)有關(guān)。一個是所含變量個數(shù)N, 個是最大滯后階數(shù)k。以兩個變量y1t，y2t滯后1期的VAR模型為例，1, t =出 + 冗 11.11, t-1 + 冗 12.12, t-1 + U1 t2, t =馬 + 兀21.11, t-1 + 兀22.12, t-1 + U2 t(8)其中 u11, u21 IID (0, Q 2), Cov(U t, u21) = 0。寫成矩陣形式是，設(shè)，y1t+兀11.1卜2t -1_巴-兀L 21.1兀 22.1 -設(shè)，y1t+兀11.1卜2t -1_巴-兀L 21.1兀 22.1 -1t12.1

3、5-111.1+1t(8.2)Yt =兀2t-A2-兀21.1兀u12.1, ut =1t兀u22.1 -L 2t -2ttttt)(8.3)(8.4)tttt)(8.3)(8.4)則，Yt = A + 口 1 Yt-1 + u那么，含有N個變量滯后k期的VAR模型表示如下：Yt = A + 口 1 Yt-1 + 口2 Yt-2 + + 口k Yt-k + u 叫IID(0, G) 其中，A =(出馬an)兀11. j兀-12.j 兀1N. j斗=兀21. j兀-22.j兀2 n . j,j = 1, 2,，k兀L N1.j兀-N2.j兀NN.j -ut = (u1 t u2,t 訃Yt為Nx

4、1階時間序列列向量。A為Nx1階常數(shù)項(xiàng)列向量。口nk均為NxN階參數(shù)矩陣, 氣IID (0, G)是Nx1階隨機(jī)誤差列向量，其中每一個元素都是非自相關(guān)的，但這些元素， 即不同方程對應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相關(guān)。因VAR模型中每個方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，他們與ut是不相關(guān)的，所以 可以用OLS法依次估計每一個方程，得到的參數(shù)估計量都具有一致性。VAR 模型的特點(diǎn)是：不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。在建模過程中只需明確兩件事：共有哪些變量是 相互有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在VAR模型中；確定滯后期k。使模型能反映出變 量間相互影響的絕大部分。VAR模型對參數(shù)不施加零約束。(參數(shù)估計值有無顯

5、著性，都保留在模型中)VAR 模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問題在 VAR 模型中都不存在。VAR模型的另一個特點(diǎn)是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計。比如一個VAR模型含有三 個變量，最大滯后期k = 3,則有kN2 = 3 x 32 = 27個參數(shù)需要估計。當(dāng)樣本容量較小時， 多數(shù)參數(shù)的估計量誤差較大。無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測。由于在VAR模型中每個方程的右側(cè)都不含 有當(dāng)期變量，這種模型用于預(yù)測的優(yōu)點(diǎn)是不必對解釋變量在預(yù)測期內(nèi)的取值做任何預(yù)測。西姆斯(Sims)認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認(rèn)為具有 單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加

6、入VAR模型。8.1.2 VAR模型的穩(wěn)定性特征現(xiàn)在討論VAR模型的穩(wěn)定性特征。穩(wěn)定性是指當(dāng)把一個脈動沖擊施加在VAR模型中某 一個方程的新息(in novation )過程上時，隨著時間的推移，分析這個沖擊是否會逐漸地消失。如果是逐漸地消失，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 下面分析一階VAR模型 TOC o 1-5 h z Y=卩+口 i Yt-i + u(85)為例。當(dāng)t = i時，有 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document Yi = M + 口 1Y0 + ui(8.6)當(dāng) t = 2 時，采用迭代方式計算，y2 = M- + 口 i Y

7、i + u2 = A + 口 i (A + 口 i Y0 + “) + u2 =(I + 口1)M + 口2 丫0 + 口 1 U + “2(8.7)當(dāng) t = 3 時，進(jìn)一步迭代，Y3 = M + 口i 丫? + 叫=M + 口i (I + 口J M + 口2 Y。+ 口 U + 陶+ 叫 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document =(I + 斗 + 口2) m + 口總 Y0 + 口嚴(yán)ui + 口 u2 + u3(8.8)對于t期，按上述形式推導(dǎo)Yt = (I + 口 + 口2 + . + nit-i) M + 口tY0 + 藝口i Ut .(8.

8、9)i=0由上式可知，ni0 = I。通過上述變換，把Yt表示成了漂移項(xiàng)向量M、初始值向量Y0和新 息向量ut的函數(shù)?？梢娤到y(tǒng)是否穩(wěn)定就決定于漂移項(xiàng)向量M、初始值向量Y0和新息向量ut 經(jīng)受沖擊后的表現(xiàn)。假定模型是穩(wěn)定的，將有如下3個結(jié)論。假設(shè)t = 1時，對M施加一個單位的沖擊，那么到t期的影響是（I + 斗 + 口2 + . + 口占1）當(dāng)t X 時，此影響是一個有限值，（I - 口） -1。 TOC o 1-5 h z （2）假設(shè)在初始值y0上施加一個單位的沖擊。到t期的影響是n1to隨著t*-0,影響消失（因?yàn)閷τ谄椒€(wěn)的VAR模型，口中的元素小于1,所以隨著t 取t次方 后，口tT 0

9、）。（3）從Sn i ut項(xiàng)可以看出，白噪聲中的沖擊離t期越遠(yuǎn)，影響力就越小。Sn i =（i1 t-i1i=0i=0-n1）-i，稱作長期乘子矩陣，是對Snj ut-i求期望得到的。i=0 對單一方程的分析知道，含有單位根的自回歸過程對新息中的脈動沖擊有長久的記憶能 力。同理，含有單位根的VAR模型也是非平穩(wěn)過程。當(dāng)新息中存在脈動沖擊時,VAR模型 中內(nèi)生變量的響應(yīng)不會隨時間的推移而消失。平穩(wěn)變量構(gòu)成的一定是穩(wěn)定（stability）的模型，但穩(wěn)定的模型不一定由平穩(wěn)變量構(gòu)成。 也可能由非平穩(wěn)（nonstationary）變量（存在協(xié)整關(guān)系）構(gòu)成。8.1.3 VAR模型穩(wěn)定的條件VAR模型穩(wěn)定

10、的充分與必要條件是口（見（8.3）式）的所有特征值都要在單位圓以內(nèi) （在以橫軸為實(shí)數(shù)軸，縱軸為虛數(shù)軸的坐標(biāo)體系中，以原點(diǎn)為圓心半徑為 1 的圓稱為單位 圓），或特征值的模都要小于1。先回顧單方程情形。以AR（2）過程兒宀-1 + 也 yt-2+ut（&11）為例。改寫為（1-% L -% L 2） yt =（L） yt = ut（8.12）yt穩(wěn)定的條件是（L） = 0的根必須在單位圓以外。對于VAR模型，用特征方程判別穩(wěn)定性。以（8.3）式，Yt =卩+ 口 Yt-1 + ut，為例， 改寫為(8.13)(I - n1 L) Yt =卩 + ut(8.13)其中A（L） = （I - 口L）

11、。VAR模型穩(wěn)定的條件是特征方程丨口-尢I I = 0的根都在單位圓以內(nèi)。 特征方程I n1-尢I I = 0的根就是口的特征值。例8.1以二變量（N = 2），k = 1的VAR模型為例分析穩(wěn)定性。其中y1t-y 2t -5/8 1/ 21/ 4 5/8y1,t其中y1t-y 2t -5/8 1/ 21/ 4 5/8y1,t-1+1t2t丿5/81/41/25/8(8.14)特征方程5/8 1/2_祝0_1/4 5/8_0九5/8 九 1/2 = 01/45/8 九即(5/8 -尢)2 1/8 = (5/8 -尢)2-T/8)2= (0.978 -尢)(0.271 -尢)=0(8.15)得殲

12、=0.9786,尢2 = 0.2714。殲，、是特征方程I 口-尢I I = 0的根，也是口的特征值。因?yàn)闅?0.978,尢2 = 0.271,都小于1,所以對應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。3. VAR模型的穩(wěn)定性也可以用相反的特征方程(reverse characteristic function), 11- L n1 | = 0判別。即保持VAR模型平穩(wěn)的條件是相反的特征方程11 - L口1 = 0的根都在單位圓 以外。例 8.2 仍以 VAR 模型(8.14) 為例，相反的特征方程11 - L 口11 - L 口I =(5/8)L(1/4)L(1/2) L1(5/8) L J1 - (5/8)

13、 L - (1/2) L 1-(1/4) L 1 - (5/8) L J= (1- (5/8) L)2 - 1/8 L2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0(8.16)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,因?yàn)長 1，L 2都大于1,所以對應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。注意：特征方程與相反的特征方程的根互為倒數(shù)，尢=1/L。在單方程模型中，通常用相反的特征方程(L) = 0的根描述模型的穩(wěn)定性；而在 VAR模型中通常用特征方程I 口-尢I I = 0的根描述模型的穩(wěn)定性。即單變量過程穩(wěn)定的條 件是(相反的)特征方程(L)

14、= 0的根都要在單位圓以外。VAR模型穩(wěn)定的條件是，相反的 特征方程II- L n1 I = 0的根都要在單位圓以外，或特征方程I n1-尢I I = 0的根都要在單位 圓以內(nèi)。4.對于k1的k階VAR模型可以通過友矩陣變換(companion form),改寫成1階分 塊矩陣的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判別穩(wěn)定性。具體變換過程如下。(8.17)給出k階VAR模型，(8.17)Yt =卩 + 口 1 Yt-1 + 口2 Yt-2 + + nk Y-k + U 再給出如下等式，t-k +1t- k +1把以上k個等式寫成分塊矩陣形式,Y -Y -tn1n 2Yt-10I0 -Yt-2

15、=0+0I -Y1- t-k+1NKx1_ 0 _NKx1_ 00 -nk-1n _kY 1 t-1u 1t0011-200011-3+0(8.18)I0Y0NKxNK L t_knkL NKx1其中每一個元素都表示一個向量或矩陣。令Y = (Y Y Y ) tt-1t-2t-k+1 NKx 1A0 =(卩 00 0) nKx1n1In20nk-10n _k0A1 =0I00_ 00 I0 _Ut =(ut00 0) x 1NK x 1NK x NK上式可寫為Yt = A0 +A1 Yt -1 + Ut（8.19）注意，用友矩陣變換的矩陣（向量）用正黑體字母表示。k階VAR模型用友矩陣表示 成

16、了 1階分塊矩陣的VAR模型。(8.20)例如，2變量2階VAR模型的友矩陣變換形式是(8.20)Y口口Yut=+12t-1+tY-t 1 -0I0-Y- t-2 -0其中等式的每一個元素（項(xiàng)）都表示一個4x1階向量或4x4階矩陣。 例如，2變量3階VAR模型的友矩陣變換形式是Y 一tY 一tYt-1=0Y- t-2 -0口1(8.21)其中等式的每一個元素（項(xiàng)）都表示一個6x1階向量或6x6階矩陣。VAR模型的穩(wěn)定性要求A1的全部特征值，即特征方程丨A 1-尢II = 0的全部根必須在 單位圓以內(nèi)或者相反的特征方程 |I -LA 1| = 0的全部根必須在單位圓以外。注意：特征方程中的A 1

17、是NkxNk階的。特征方程中的I也是NkxNk階的。以2階VAR模型的友矩陣變換為例，=|1-l n=|1-l n1- l 2 n21 = 0的全部根必須在單位圓以外。以 3 階 VAR 模型的友矩陣變換為例，I 0 0_口n1911 - L A 1I =0 I 0-L0-0 0 I-0=11- L 口-L 2 口2-L 3 口3丨n 一1 - Ln- Ln-Ln31230=-LII00-0- LII(8.22)0(8.23)I0_口口 I - L口-L 口-L121=12oI _-10-LII丨 I - L A 1丨 =的全部根必須在單位圓以外。因此，對于k階VAR模型的友矩陣變換形式，特征

18、方程是,(8.24)丨 I - 口1 L - 口2L 2-口kLk 1 = 0(8.24)例8.3用以具體數(shù)字為系數(shù)的2變量、2階VAR模型做進(jìn)一步說明。有Yt =卩 + 口 1 Yt-1 + 口2 Yt-2 + U其中，口1=5/83/45/16口1=5/83/45/163/16-1/81/4-1/43/4(8.25)友矩陣變換形式是(8.25)f yit Iy 2t 丿5/8f yit Iy 2t 丿5/8、3/4r i、05/16、3/16 丿丿0、1丿r1/8 1/4、1/43/4丿r0 0、衛(wèi)0丿rfy1t1 、丿Iy 2t1 丿y1t2、 Iy 2t2 丿-IU 2t 丿r0、 0

19、丿(8.26)Y _t=+口1i口 120-11+u 1tYt 1 -0h 2 -0(8.27)或Yt = A)+ A1 Yt -1 + Ut(8.27)所以有4 個特因?yàn)锳1的階數(shù)為4x4 (注意，因?yàn)镹=2, k=2,所以A1的階數(shù)為4x4所以有4 個特|A 15/85/161/81/4110001尢i i=3/43/161/43/40100九1000001001000001-5/8 九5/161/81/413/43/16 九1/43/4 1=010-九0010九-(8.28)模1.0000.947模1.0000.9470.4060.406根九=1.000九 2 = 0.947 九3 =

20、0.380-0.144 i 九.=0.380-0.144 i 4盡管有3 個根在單位圓內(nèi)，因?yàn)橛幸粋€根為1，落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿 足。8.1.4 VAR 模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解由于VAR模型參數(shù)的OLS估計量只具有一致性，單個參數(shù)估計值的經(jīng)濟(jì)解釋是很困難 的。要想對一個VAR模型做出分析，通常是觀察系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解。( 1)脈沖響應(yīng)函數(shù)。 脈沖響應(yīng)函數(shù)描述一個內(nèi)生變量對誤差沖擊的反應(yīng)。具體地說，它描述的是在隨機(jī)誤 差項(xiàng)上施加一個標(biāo)準(zhǔn)差大小的沖擊后對內(nèi)生變量的當(dāng)期值和未來值所帶來的影響。對于如下VAR模型，y,t表示GDP, y2,t表示貨幣供應(yīng)量,yi, t

21、 =岀 +兀 ii.i1,t-1+兀 12.12,t-1+ ui t(8.1)丁2, t =込 +冗21.P1,t-1+“2,t-1+ u21(8.1)在模型(8.1)中，如果誤差u1t和u2t不相關(guān)，就很容易解釋。u1t是y, t的誤差項(xiàng)；u2t 是y2勺誤差項(xiàng)。u2t的脈沖響應(yīng)函數(shù)衡量當(dāng)期一個標(biāo)準(zhǔn)差的貨幣沖擊對GDP和貨幣存量的 當(dāng)前值和未來值的影響。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA(-)過程。具體方法是對 于任何一個VAR(k)模型都可以通過友矩陣變換改寫成一個VAR( 1)模型(見8.1.3節(jié))。Yt = A1 Yt -1 + Ut(I -L A 1) Yt =U

22、tYt = (I -L A 1)-1 Ut= Ut +A1Ut-1 + A12Ut-2 + + A1sUt-s + 這是一個無限階的向量MA(-)過程?；?qū)懗?，Yt+s =Ut+s +A1Ut+s -1 + A12 Ut+s -2 + + A1sUt + Yt+s = Ut+s + %Ut+s -1 + 芯 Ut+s -2 + + % Ut + (829)其中匕=A,屮2= A12,W s = A1 s, 顯然，由 (8.29)式有下式成立，ayW =卄sautW s中第i行第j列元素表示的是，令其他誤差項(xiàng)在任何時期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個變量對應(yīng)的誤差項(xiàng)U.t在t期受到一個單位的沖擊后，對第

23、i個內(nèi)生變量在t+s期造成的影響。jt把W s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數(shù)ay, s = 1, 2, 3,.aUjt稱作脈沖響應(yīng)函數(shù)(impulse-response function),脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其他變量在t期以及以 前各期保持不變的前提下，yit+s對巧t時一次沖擊的響應(yīng)過程。對脈沖響應(yīng)函數(shù)的解釋出現(xiàn)困難源于誤差項(xiàng)從來都不是完全非相關(guān)的。當(dāng)誤差項(xiàng)相關(guān) 時，它們有一個共同的組成部分，不能被任何特定的變量所識別。為處理這一問題，常引入 一個變換矩陣M與ut相乘，vt = M ut - (0, G)從而把ut的方差協(xié)方差矩陣變換為一個對角矩陣O?，F(xiàn)在有多種方法。其中一種變換方法

24、稱 作喬利斯基(Cholesky)分解法，從而使誤差項(xiàng)正交。原誤差項(xiàng)相關(guān)的部分歸于 VAR 系統(tǒng)中的第一個變量的隨機(jī)擾動項(xiàng)。在上面的例子里， U t和u2t的共同部分完全歸于u1t，因?yàn)閡1t在U2t之前。雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對于共同部分的歸屬來說，它還是一種很隨意的方法。所以方程順序的改變將會影響到脈沖響應(yīng)函數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時應(yīng)小心。對于每一個VAR模型都可以表示成為一個無限階的向量MA(g)過程。Yt =卩 + u + W1 ut-1 + W2 Ut -2 + (829)對于 ut 中的每一個誤差項(xiàng)，內(nèi)生變量都對應(yīng)著一個脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個含有 4個內(nèi)生變量的VA

25、R將有16個脈沖響應(yīng)函數(shù)。要得到VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以在VAR-jni2dDale: 06/16/02 Time: 09:-40電-jni2dDale: 06/16/02 Time: 09:-40電1業(yè)匕 | Harm | F“p工 a |t ieplQ | 邑IpI世 | Tnpul mo | 尺直匚i ds Ved:oEiutciTEgiir隸購的m Estimatesflesponse of LNIFio One 5 D Innorai的工具欄中選擇Impulse功能健。Van JR1 Workfile-lSSU（2）方差分解。另一個評價VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分

26、解能夠給出隨機(jī)新息的相對重 要性信息。EViews對于每一個內(nèi)生變量都計算一個獨(dú)立的方差分解。3個變量的VAR跨時 為10的方差分解如下圖。Variance Decomposition of LNGP:Period；E1、RCILkl Xfarlance Decumposillor! or Lhl巧 F10.05057Qloo.amo ODOCODO.OODODOLNCF LNIF*Doaresa4 H3EOE3EOC0ED30.09152G9.401397.24117B3.ESEA344II 1 I：. 41 ； .7：ll.川 l.JIII4 Ml II寸0 12617617 9E91.3

27、6) = 0.19316圖示如下：P（F23.44） = 0.00000因?yàn)镕值（1.36）落在原假設(shè)接受域，所以原假設(shè)“上海股票價格綜合指數(shù)對深圳股票 價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被接受。因?yàn)镕值（23.44）落在原假設(shè)拒絕域，所以原假設(shè)“深圳股票價格綜合指數(shù)對上海股 票價格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系”被推翻。用滯后110期的檢驗(yàn)式分別檢驗(yàn)，結(jié)論都是深圳股票價格綜合指數(shù)是上海股票價格綜 合指數(shù)變化的原因，但上海股票價格綜合指數(shù)不是深圳股票價格綜合指數(shù)變化的原因，EViews操作方法是，打開數(shù)劇組窗口，點(diǎn)View鍵，選Granger Causility。在打開的對 話窗

28、口中填上滯后期（下面的結(jié)果取滯后期為10。），點(diǎn)擊OK鍵。VAR模型的EViews估計步驟。 點(diǎn)擊 Quick,選 Estimate VAR 功能。Urwestricted Verter Antoregressfen罰E岸雇嘰Fie Edr Objects 華電 Role |gLick OEtlons 世罰E岸雇嘰Fie Edr Objects 華電 Role |gLick OEtlons 世dM 曲匚Sarrpm3=tl8.510w .VAR speciFiEaliDn+ UmertnclEd VAFi*亡ctar Error 匚 cmctiotiEnifiy Group (Edt Merl

29、es)Series卜GroucStatiSics卜Eftim-ate Equation.Lag riiervds g rang匕 parl 1 11953199?Seiiei (Giaupl ta intLid in Vifl1Erdcgenxis-輸出結(jié)果如下(部分)：Date:Time: 22:17Samplefadjusted): 1955 1997Includend oberraliDnE. 43 slter adjusting endpoinh Standard arrors l-gtatistica in parenthesesLMGPLNCPLNIPLNGP(-1)1772230

30、 (0 379011 (4.B7595)0.5J9233(0.24(1 呵(2.2002IJ3.5BEE5D(1 425861(2.515 J3LNGP(-2：i-1.325D73(D如站出 i；3羽旳9j-0.375297 p 2J35S i：d.S091)-5.159977 i：1 JWGS2 (-3.5063)LNCP(-1)-0 257650 ip.35ie7| (-0.73223)0 699956 iP222Bj1| (4 030621-2 4閃酣4i：1.32375(-1 86106LNCP(-：2) 9EB31Dip.371(2 770J71 D1E225111220601ip

31、0735214 552447i：1.31096) (3.472G1)8.2 VAR模型與協(xié)整(8.40)如果VAR模型(8.40)Yt = 口 1 Yt-1 + n2 Yt-1+ q Yk + u 冒 IID(0, Q) 的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個平穩(wěn)的VAR模型。氓=口 1* AYt-1 + n2* 阿-2 + + 口k* 嘰 + 呼（&41）然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時，這種建模方法不是最好的選擇。如果嶺1（1），且 非平穩(wěn)變量間存在協(xié)整關(guān)系。那么非平穩(wěn)變量的由協(xié)整向量組成的線性組合則是平穩(wěn)的。這 時，采用差分的方法構(gòu)造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是

32、最好的選擇。建立單純的差分VAR 模型將丟失重要的非均衡誤差信息。因?yàn)樽兞块g的協(xié)整關(guān)系給出了變量間的長期關(guān)系。同時 用這種非均衡誤差以及變量的差分變量同樣可以構(gòu)造平穩(wěn)的VAR模型。從而得到一類重要 的模型，這就是向量誤差修正模型。下面推導(dǎo)向量誤差修正（VEC）模型的一般形式。對于k = 1的VAR模型，Yt = 口 Yt1 +氣，兩側(cè)同減兀,得A Yt =（ni -1 ）Yt-1 + ut（8.42）對于k=2的VAR模型，Yt = 口 Yt-1 + n2 Yt-2 + ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減口2 Yt-1， 并整理得A Yt =（ni + n2 -1）Yt-1 - 口2 AYt

33、-i + 叫（8.43）對于k=3的VAR模型，Yt = 口 Yt-1 + 口2 Yt-2 + 口3 Yt-3 + ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減 口2 Yt-1和口 3 Yt-1并整理得AYt = （口 1 + 口2 + n3 - 1）Yt-1 - 口2 Yt-1 - 03 Yt-1 + 02 Yt-2 + 口3 Yt-3+ U=（01 + n2 + n3 - 1）Yt-1 - 口2 AYt-1 - 口3 Yt-1 + 口3 Yt-3+ U在右側(cè)加、減口3 Yt-2并整理得AYt =（n1 + n2 + n3 - 1）Yt-1 - 口2 AYt-1 - 口3 Yt-1 + 口3 Yt-

34、2 - 口3 Yt-2 + 口3 Yt-3+ 叫=（口 1 + 口2 + 03 - 1）Yt-1 - 口2 AYt-1 - 口3 AYt-1 - 口3 AYt-2 + U=（口 1 + 口2 + 口3 - 1）Yt-1 - （n2+n3）AYt-1 - 口3 AYt-2 + 叫（&44）對于k階VAR模型，Yt = 口 Yt-1 + 口2兀2 +斗Y仏+ ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型 的推導(dǎo)規(guī)律，見（8.42） - （8.44）式，其向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是 AYt = （口 1 + 口2 +耳-1 ） Y -1- （口2 + +nk） AYt-1-（+nk） AYt-

35、2 -nk AYt - （k-1） +Ut（8.45）令 r.=-丈口 . , j = 1, 2,., k-1，jii=j+1口=-r0 -1=i 口 -1=n, + n2 +. + n; -i，（8.46）0i12ki=1則上式寫為AYt = 口 Yt-1 + r1 AYt-1 + r2 AYt-2 + + rk-1 AYt - （k-1） + 叫（847）這是向量誤差修正模型（VEC）的一般表達(dá)式?？诜Q為壓縮矩陣（影響矩陣）。n是全部參 數(shù)矩陣的和減一個單位陣。n為多項(xiàng)式矩陣，其中每一個元素都是一個多項(xiàng)式。運(yùn)算規(guī)則 于一般矩陣相同。滯后期的延長不影響對協(xié)整向量個數(shù)的分析。根據(jù)Granger

36、定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是(8.48)A （L） （1-L） Yt = aP Yt1 + d （L） ut(8.48)tt-1t其中At(L)是多項(xiàng)式矩陣A(L)分離出因子(1- L)后降低一階的多項(xiàng)式矩陣，d (L)是由滯后算 子表示的多項(xiàng)式矩陣。上式與 (8.47) 式完全相同。其中A仏)(1-L Yt = A仏)N =沢 ri % - r2 餡-2 -匚1 漢-(k-1)d(L) ut = ut在這里 d (L) 退化為單位陣。若YtCI(1, 1),比較(8.47)和(8.48)式必然有口 = ap其中卩是協(xié)整矩陣，a是調(diào)整系數(shù)矩陣。a和P都是Nxr階矩陣。表示有r個協(xié)

37、整向量，P2，Pr，存在r個協(xié)整關(guān)系。因?yàn)閅t1(1)，所以0t【()。從模型(8.45)變換為模型(8.47) 稱為協(xié)整變換。壓縮矩陣口決定模型(8.47)中是否存在，以及以什么規(guī)模存在協(xié)整關(guān)系。 因?yàn)椤?)，所以除了口，模型(8.47)中各項(xiàng)都是平穩(wěn)的。而對于nYt-k有如下三種可能。當(dāng)Yt的分量不存在協(xié)整關(guān)系，n的特征根為零，n = 0。若rank (口) = N (滿秩)，保證n Y核平穩(wěn)的唯種可能是Yf I()o當(dāng)Yti(1)，若保證nYt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即嶺的分量存在協(xié)整關(guān)系。p Yt 【()VEC模型是帶有誤差修正機(jī)制的關(guān)于AYt的VAR模型。增加AYt-1滯后項(xiàng)的目的是

38、吸收 ut中的自相關(guān)成分，使其變?yōu)榘自肼暋]有這些項(xiàng)，等于丟掉了動態(tài)成分。若n = ap成立，且存在r個協(xié)整關(guān)系,a2r假定 Y若n = ap成立，且存在r個協(xié)整關(guān)系,a2rN1Nr N1Nr 丿 Nxr(卩 r1 y1,t-1 + . + 卩 rN$N,t_1) ”辺(a11a )1r( p- B (y)丿 1,t-1nYt-1 = ap Yt-1 =a21 a2r 111Ny 2,t-1Va a宀r1p rN 丿rxNyV N1Nr 丿Nx rV N,t-1 丿N x1(a11 a21a )1r則n Yt-1的一般表達(dá)式是(P11 y1,t-1 + . + P1NyN ,t-1a (卩 y

39、 +. + 卩 y ) + 八 + a (卩 y+. + 卩 y )11 忙 11 丿 1,t-1忙 1N 丿 N ,t-1 丿1r r1J 1,t-1忙 rN 丿 N ,t-1 丿= a (卩 y +. + 卩 y ) + a (卩 y+. + 卩 y )V Nr 1K 1,t-11N N,t-UNr r1J1,t-1r rN J N,t-K丿Nx1(8.49) 為便于理解，現(xiàn)在以N =2, k=1的VEC模型為例，說明VEC模型中的協(xié)整關(guān)系。 例 8.4 有 VEC 模型(8.50)(8.5i)a yi, t=-*( yi, t-i - 82, t-J + u(8.50)(8.5i)A2,

40、 t = 2( yi, t-1 - 12, t-1)+ U2 t看(8.50)式，令誤差修正項(xiàng)y,t-1 - (1/8) y2, t-1 = V,t-1。當(dāng)V,t-1增加，系統(tǒng)偏離了均衡點(diǎn)，y t-1 (1/8) y2 t-,因?yàn)檎{(diào)整系數(shù)為負(fù)(-1/2)在t期將導(dǎo)致Ay t減小，也即y t減小。從而 使y1；t移向均衡點(diǎn)。反之亦然。把(8.51)式改寫如下，A2, t =十2, t-1- 8 y, t-1) + V 2 t誤差修正機(jī)制的解釋與上類似。把 (8.50)， (8.51) 寫成矩陣形式。Ay 71,tAAy 71,tAyL 72,t-1/21/21/16-1/16y1,t-1+u1t

41、 = 口 Yt u 2t+ ut(8.52)現(xiàn)在分析矩陣口。因?yàn)閕ni = -1；2 -1q = 0，口是降秩的。為求口的特征值，解如下特征方程，n -n -尢 i i =-1/21/16 _九011/21/16-01/2-九1/161/21/16 九=1/32 + 9/16 尢 + 尢 2 -1/32=尢 2 + 9/16 尢=尢(尢 + 9/16) = 0(8.53)兩個根是尢1 = 0，尢2 = - 9/16。対=0,說明n是降秩的。一般來說，非零根的個數(shù)既是n的秩。n有三種情形。(1)當(dāng)n完全降秩，即rank(n)= 0時，任意形式的n通過適當(dāng)線 性變換，可以得到 n =0。于是(8.

42、52)式變?yōu)?，A Yt=u這是一階差分形式的平穩(wěn)的VAR模型。說明Yt中含有一個單位根。VAR模型中沒有協(xié)整向 量?，F(xiàn)在討論多于一個協(xié)整關(guān)系的情形。例8.5設(shè)三個變量的k = 1的誤差修正模型如下，A1, t = - (1/2) M, t-1 - (1/8)2 t-1 + (1/4) X, t-1 - (1/4)兒 t-1+ U1 tA y2, t=(1/8)M, t-1 -(1/8)y21-1-(5/8)w t-1 - d/4) y3+ u tA3, t = (1/4) M, t-1 - (1/8)2 t-1 + (3/8) 2, t-1 - (1/4)兒 t-1+ U3 t 矩陣形式是A2

43、,t=LAy3,t _-1/21/81/41/4-A2,t=LAy3,t _-1/21/81/41/4-5/83/81 -1/8010-1/4(8.54)-1/21/81/41/45/8-1/21/81/41/45/83/81/811/25/161/161/8 41/645/321/411/32 3/3201/4n的特征值是-0.7928,-0.4416, 0。存在兩個協(xié)整關(guān)系。注意：在第一個協(xié)整向量中，y3t的系數(shù)被約束為零。在第二個協(xié)整向量中，y1t的系數(shù) 被約束為零。這說明兩個均衡關(guān)系是不一樣的，可識別的。例8.6設(shè)k = 2的VAR模型y1t y 2t -5/8 1/163/4 3/1

44、6y1,ty1t y 2t -5/8 1/163/4 3/16y1,t1 y 2,t1 -1/81/41/43/4yJ1,t2 y2,t2 uitu2t與其相應(yīng)的誤差修正模型是，其中n=lAy 2,t 丿1/21/21/21/21/2=1/21/21/161/2 1/161/161/16(1 -1)( y1, t-1y1,t其中n=lAy 2,t 丿1/21/21/21/21/2=1/21/21/161/2 1/161/161/16(1 -1)( y1, t-1y1,t1 y2,t1yi,t1 y 2,t1 _1/81/41/81/41/43/41/43/4Ay丿 1,t1Ay2,t1 Ay丿

45、 1,t-1+uitu2t uituAy 1F1+u 11tAyLu L y 2,t1L2t 2tAy2,t1 1/8 1/4-1/4 3/4(8.55)若YtCK11),則協(xié)整向量是(1 -1) o8.3存在單位根與n降秩的關(guān)系。下面分析VAR模型中存在單位根與壓縮矩陣n降秩的關(guān)系。以k = 1的VAR模型為例,Yt =n1Yt-1 +ut(8.56)它的 VEC 表達(dá)式是 AYt= nYt-1 + ut。 (8.56)式還可以寫為tt-1t(I-n1L)Yt =A (L)Yt =ut(8.57)其中A (L) = (I - n1 L)。8.1.3節(jié)已經(jīng)介紹，對于1階VAR模型，變量穩(wěn)定的條

46、件是斗的所 有特征值的模都要比1 小,或者說相反的特征方程的根應(yīng)在單位圓以外。根據(jù)矩陣運(yùn)算規(guī)則，對于方陣A,有A(L)-1 = adj (A(L) )/ | A(L) |,或I A(L) | A(L)-1 = adj (A(L) )(8.58)其中adj (A(L)是A的伴隨矩陣。用adj (A(L)左乘(8.57)式adj (A(L) )A (L)Yt = adj (A(L) )ut把(8.58)式關(guān)系代入上式,得|A(L)| Yt = adj (A(L) )ut(8.59)其中| A(L) |是一個以滯后算子L為變數(shù)的k階多項(xiàng)式(標(biāo)量)|A(L) |與Yt中每一個分量相 乘。因?yàn)閡t是平穩(wěn)

47、的，如果嶺I (1), | A(L) |就可以被分解為(1- L) A*(L) |。其中A*(L) | 是分解出因子(1- L)后，相應(yīng)k -1階多項(xiàng)式(標(biāo)量)。單位根算子(1- L)將與Yt中每一個變量相乘。為了評價VEC模型中協(xié)整向量的個數(shù)，需要考察口 =為口 -(見(8.46)式)非零特征 ii=1值的個數(shù)，也即口的秩。存在協(xié)整關(guān)系就意味著口降秩。為了考察Y.中是否含有單位根，需要計算I A(L) I = 11 -為n (L) I的值。1Ii =1注意：上面所說的協(xié)整向量個數(shù)與單位根個數(shù)的關(guān)系是，若存在單位根，則必有 A(1) | =11-為n(1)| = -|n| = o。所以如果va

48、r模型中存在單位根，n 定是降秩的，而這意味 ii =1 著至少存在一個協(xié)整向量。例 8.4 一階 2 變量 VAR 模型如下：Yt = n1 Yt-1 +ut其中1/2 n其中1/2 ni = 1/21/1615/16y丿1t= (1-7/16 L)1ty丿1t= (1-7/16 L)1t-y 2t -Ay2t1 15/16L1/2L1/16L1 1/2L1t2t(1 15/16 L)u +1/16 Lu1t2t(1/2 L)u + (1 1/2 L)u1t2t1 0_1/2 1/16 -A(L) =I - n1 L=-10 11/2 15/16| A(L) | = 1- (23/16)L

49、+ (7/16)L2 = (1-7/16 L) (1- L)其中A*(L) = (1-7/16 L)o上式顯示存在兩個根，一個是L=1, 一個是L=7/16。條件|A(1)| = 0與單變量過程中的條件是一致的。|A(1)| = 0,意味著|n| = 0, n降秩。把結(jié)論代入(8.59) 式, | A(L) | Y = adj (A(L)氣。(1-7/16 L) (1- L)Yt = (1-7/16 L) (1- L)整理上式Ay1 1t= 7/16Ay 1t1+(115/16L)u1t+1/16 Lu2tAy2tAy2t1(1/2 L)u + (11t1 / 2 L)u2t因?yàn)榇嬖谝粋€單位根

50、，所以原變量的差分變量:人乞?qū)懗傻谋磉_(dá)式是平穩(wěn)的。8.3 VAR模型中協(xié)整向量的估計與檢驗(yàn)8.3.1 VAR模型中協(xié)整向量的估計此估計方法由Johansen提出。假定條件是，氣IID (0,0)。實(shí)際中這個條件比較容易滿足。當(dāng) ut 中存在自相關(guān)時，只要在 VAR 模型中適當(dāng)增加內(nèi)生變量的滯后階數(shù)，就能達(dá)到ut非自相關(guān)的要求。此估計方法為極大似然估計法。給定VAR模型Yt = 口 1 Yt-1 + 口2Yt-1 + + 口kYt-k + Dt + u 叫IID(0,。)(860)其中Yt是Nx1階列向量。Dt表示dxl階確定項(xiàng)向量(d表示確定性變量個數(shù))。用來描述常 數(shù)項(xiàng)從時間趨勢項(xiàng)t、季節(jié)虛

51、擬變量(如果需要)和其他一些有必要設(shè)置的虛擬變量。是 確定性變量2的Nx d階系數(shù)矩陣。其中每一行對應(yīng)VAR模型中的一個方程。上式的向量 誤差修正模型形式(推導(dǎo)過程見8.1.6節(jié))是斗=口 Yt-1 + ri AYt-1 + r2 嘰 + + 昭斗-(k-1) + Dt + 叫(&61)其中r.=丈 口. ,j =1,2,k-1，jii=j+1口 = r0 - 1 =為口 i - 1 = 口1 + 口2 + + 口k - 1i=1正確地估計協(xié)整參數(shù)矩陣卩的秩r非常重要。若r被正確估計，則所有誤差修正項(xiàng)都 是平穩(wěn)的。那么模型 (8.61) 中的所有項(xiàng)都是平穩(wěn)的。參數(shù)估計量具有一致性。任何高估或

52、低估r值都會給參數(shù)估計與推斷帶來錯誤。當(dāng)?shù)凸纑值時，將導(dǎo)致把余下的誤差修正項(xiàng)并入 模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)Ut。而高估r值將會把非協(xié)整向量帶入?yún)f(xié)整參數(shù)矩陣中。Nx1階的n Yt-k 將由I(0)項(xiàng)(協(xié)整向量與變量的積)和1(1)項(xiàng)(非協(xié)整向量與變量的積)混合而成，從而導(dǎo) 致回歸參數(shù)估計量及其相應(yīng)統(tǒng)計量的非正態(tài)性分布。當(dāng)用t檢驗(yàn)臨界值做顯著性檢驗(yàn)時就會 得出錯誤結(jié)論。估計的第一步是用樣本數(shù)據(jù)Yt, (t = - k + 1, - k + 2,0, 1, 2,T)確定協(xié)整參數(shù)矩陣 卩的秩r。對于任何r N情形，模型(8.61)的零假設(shè)是H0: rk(n) r 或 n = a0 (8.62)其中a和卩是N

53、x r階矩陣。注意，這一步只能估計r,無法估計a和卩，因?yàn)閷AR 模型(8.61)來說，a和卩是“過多參數(shù)”的，無法與r同時估計。接下來構(gòu)造協(xié)整檢驗(yàn)統(tǒng)計量LR,估計協(xié)整向量個數(shù)r,估計a和卩。把模型(8.61)看 作數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)，且0 r T1Ut = Z0t - 口Z1t - L(Z Z2t )( L Z Z2t )-1 Z + nL(Z Z2t )( L Z Z2t)-Z2tt=1t=1t=1t=1TTTT=zo -乙(zo z2 )(乙 z2 z2 )-1 z2 -nZ 乙(z、z2 )(乙 z2 z2 )-z20 0 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2=1=1=1=1(8.67)

54、 現(xiàn)在考慮如下回歸(目的是把上式表達(dá)為以n為參數(shù)的回歸式)，Z0 = r Z2 + u0(8.68)則r的ols估計量(Z Z2t )( ZZ2t Z2t )-1=1=1(8.69)若 u0 的估計量用 R0 表示，則R0t = Z0t -ZT (Z0t Z2t ) (ZTZ2tZ2t )-1 Z2tt =1t =1(8.70)考慮如下回歸，Z1 = r Z2 + u1則r的ols估計量(8.71)r=ZTT(Z1t Z2t ) (ZZ2t Z2t )-1(8.72)t =1t =1若的估計量用R1t表示，則(8.70)式等號右側(cè)兩項(xiàng)是(8.67)式等號右側(cè)第 1，2 項(xiàng)。(8.73)式等號右

55、側(cè)兩項(xiàng)是(8.67)式 等號右側(cè)第3項(xiàng)中括號內(nèi)部分。用R0t和R1t分別代替(8.67)式中相應(yīng)部分，Ut = Rot - 口Rit整理上式，R0t = 口 Rit + U t(874)上式表示殘差R0t對Rit回歸R0t和R1t分別表示Z0t, Z1t在排除Z2t影響以后的殘差(見(8.68) 和 (8.71)式)。比較 (8.74) 和 (8.65)式，Z = 口 Zu + r Z + U(8&)(8.74)式是排除Z2t影響以后的回歸式。因?yàn)閷?shù)似然函數(shù)對是非約束的，所以可先排除 Z2t的影響，進(jìn)一步求R0t和R1t的關(guān)于z2t的集中對數(shù)似然函數(shù)log(n)o (把Z2t當(dāng)作給定值 的似

56、然函數(shù))logL(口logL(口) = C0-七 logT-i 力(Ry 口 Rit)(Ro t - n Rit)l t=1(8.75)其中C0是常量。如果n是非約束的，則很容易計算n的估計值?，F(xiàn)在感興趣的是在施加n=ap約 束條件下求(8.61)式中n的估計量。把約束條件n = ap 代入上式和(8.74)式，LogL(a,LogL(a, p) = C0 - T2 log 丨 T-1為(Rot -apRit) (Rot -apRit)lt=1(8.76)T乙 R R p0t 1tT乙 R R p0t 1t卩工 R1t R1tpt=1(8.78)Si j =T-1T乙R Rit jtt=1i,

57、 j = o, 1,(8.79)Rot = aP Rit + U t(877)先設(shè)定p不變，通過R0t對p R1t回歸估計a，從而進(jìn)一步求關(guān)于a的集中對數(shù)似然 函數(shù)。a的ols計算公式是，工 R (p R )0t1ta =-工(卩R1t)(卩R1t)t=1定義殘差Ro t和Rkt的積矩量矩陣S.如下,則(8.78) 式表達(dá)為，(8.80)& = S01 P (卩 S11 卩)-1用(X代替(8.76)式中的a,得(8.80)0ta0ta 卩Rit。的估計量，(8.76)式中絕對值部分，|T-i送(R0t - aP R1t) (R0廠aP R1t) |,的估計量表t=1達(dá)為|d| = |T-i

58、送(Rot -a p Rit) (Ro t -a 卩Rit )lt=1= T -1力(Rot Rot -a 卩RitRot -RotRi Pa +a PRitRi Pa = T -1t=1(8.81)=l so o-a p s1o - so1 pa + a p s11 pa |(8.81)用a的表達(dá)式(8.8O)代換(8.81)式中的a,得|d| = | soo- SO1 p (p s11 p )-1 p s1 o|(8.82)對集中對數(shù)似然函數(shù)(8.76)求極大，即對上式求極小。這種極小化是通過對NX r階矩 陣 p 的取值來實(shí)現(xiàn)的。依據(jù)拉奧(Rao, 1973)，對于矩陣A, B, C有如

59、下關(guān)系存在。(8.83)= A C- BA -1B= C A -BC -1B(8.83)移項(xiàng)|A - BC-1B | = | C |-1 |A | |C - B A -1B |令 A = So o, B = SO1 p, C = p S11 p,于是有|d|=| So o-Sof ( p Sn p )-1 p S1o|= pS11p -1 Soo pS11p -pS1o Soo-1 So1p=|p Snp |-1| Soo |p (S11 - S1O Soo-1 S O1) p |(8.84)因?yàn)?Soo 是常量，所以對關(guān)于 p 的對數(shù)似然函數(shù)(8.76)求極大即是對 pS11p -1 p (

60、Sn - S1o Soo-1 So1) p| 求極小(忽略 | Soo)把上述求極小問題再轉(zhuǎn)化為設(shè)定p S11 p = I條件下，通過對|p (S11 - S1O SOO-1SO1) p| 的極小化求 p 的極大似然估計量。根據(jù)典型相關(guān)理論，上述求極小問題可以轉(zhuǎn)化為求廣義特征值問題，| 尢 S11 - S1 oSOO-1SO1| = o,(8.85)其中尢是關(guān)于S11的S1O SOO-1S O1的特征值。相應(yīng)特征向量Vj,i = 1,r則構(gòu)成p,即p = (v1 v2 . vr)(其中卩與r個最大的特征值相對應(yīng)，而r值則由假設(shè)檢驗(yàn)(8.62)確定。) 求出p的極大似然估計量p后，其他參數(shù)的極大