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文檔簡介
1、 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 第一節(jié)系統(tǒng)時間響應的性能指標和第二節(jié)一階系統(tǒng)的時域分析【教學目的】 熟悉系統(tǒng)時間響應的性能指標和一階系統(tǒng)?!窘虒W重點】典型輸入信號及其一階響應?!窘虒W難點】 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的輸出響應?!窘虒W方法及手段】通過課堂講解和提問使學生正確掌握一階響應?!菊n外作業(yè)】 習題3-3?!緦W時分配】2課時?!窘虒W內(nèi)容】3.1.1 典型試驗信號經(jīng)常采用的試驗輸入信號:實際系統(tǒng)的輸入信號不可知性;典型試驗信號的響應與系統(tǒng)的實際響應,存在某種關系;電壓試驗信號是時間的簡單函數(shù),便于分析。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù),則斜坡時間函數(shù)
2、是比較合適的。(單位)階躍函數(shù)(Step function) 室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)(單位)斜坡函數(shù)(Ramp function) 速度 (單位)加速度函數(shù)(Acceleration function)拋物線 (單位)脈沖函數(shù)(Impulse function) 正弦函數(shù)(Simusoidal function)Asinut ,當輸入作用具有周期性變化時。通常運用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號,這樣可在一個統(tǒng)一的基礎上對各種控制系統(tǒng)的特性進行比較和研究。本章討論系統(tǒng)非周期信號(Step、Ramp、對正弦試驗信號相應,將在第五章頻域分析法,第六章校正方法中討論)作用下系統(tǒng)的響應。3.1.2 動
3、態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程瞬時響應和穩(wěn)態(tài)響應 Transient Response & Steady_state Response在典型輸入信號作用下,任何一個控制系統(tǒng)的時間響應。1 瞬態(tài)響應 指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。2 穩(wěn)態(tài)響應 是指當t趨近于無窮大時,系統(tǒng)的輸出狀態(tài),表征系統(tǒng)輸入量最終復現(xiàn)輸入量的程度。3.1.3 絕對穩(wěn)定性,相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error在設計控制系統(tǒng)時,我們能夠根據(jù)元件的性能,估算出系統(tǒng)的動態(tài)特性??刂葡到y(tǒng)動態(tài)特性中
4、,最重要的是絕對穩(wěn)定性,即系統(tǒng)是穩(wěn)定的,還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動,或輸入信號的作用,系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上,控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定??刂葡到y(tǒng)受到擾動量的作用后,輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài),那么,這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定??刂葡到y(tǒng)受到擾動量作用后,輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài),那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。 實際上,物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍,此后或者受到機械止動裝置的限制,或者使系統(tǒng)遭到破壞,也可能當輸出量超過一定數(shù)值后,系統(tǒng)變成非線性的,而使線性微分方程不再適用。本章不討論非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 絕對穩(wěn)定性是前提。相對穩(wěn)定
5、性:因為物理控制系統(tǒng)包含有一些貯能元件,所以當輸入量作用于系統(tǒng)時,系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化,而是在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前,表現(xiàn)為瞬態(tài)響應過程。對于實際控制系統(tǒng),在達到穩(wěn)態(tài)以前,它的瞬態(tài)響應,常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。稱動態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)誤差:如果在穩(wěn)態(tài)時,系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合,就認為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個誤差表示系統(tǒng)的準確度。穩(wěn)態(tài)特性: 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。在分析控制系統(tǒng)時,我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,如達到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間,同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性,以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。動態(tài)性能指標: 在許多實際情況中,控制系統(tǒng)所需要的性能指標,常以時域
6、量值的形式給出。通常,控制系統(tǒng)的性能指標,系統(tǒng)在初使條件為零(靜止狀態(tài),輸出量和輸入量的各階導數(shù)為0),對(單位)階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,在達到穩(wěn)態(tài)以前,常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程,為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應特性,通常采用下列一些性能指標。延遲時間:(Delay Time)響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間,叫延遲時間。上升時間(Rise Time)響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%,所需的時間。5%上升到95%,或從0上升到100%,對于欠阻尼二階系統(tǒng),通常采用0100%的上升時間,對于過阻尼系統(tǒng),通常采用1090%的上升時間,上升時間越短,響應
7、速度越快。峰值時間(Peak Time):響應曲線達到過調(diào)量的第一個峰值所需要的時間。調(diào)節(jié)時間 (Settling Time):在響應曲線的穩(wěn)態(tài)線上,用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)(通常取5%或2%)作一個允許誤差范圍,響應曲線達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi),所需的時間。最大超調(diào)量(Maximum Overshoot):指響應的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比,即 或評價系統(tǒng)的響應速度;同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。評價系統(tǒng)的阻尼程度。3.2 一階系統(tǒng)的時域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-3(a)所示的RC電路,其微分方程為 (3-2)其中C(t)為電路輸出電壓,r(
8、t)為電路輸入電壓,T=RC為時間常數(shù)。圖3-3一階系統(tǒng)電路圖、方塊圖及等效方塊圖當初使條件為零時,其傳遞函數(shù)為 (3-3)這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號,分析該系統(tǒng)的時域響應。3.2.1 單位階躍響應Unit-Step Response of First-order System 因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為,則系統(tǒng)的輸出由式(3-3)可知為 對上式取拉氏反變換,得 (3-4)注:R(s)的極點形成系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量。這一個結論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng),而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應曲線在時的斜率為,如果系統(tǒng)
9、輸出響應的速度恒為,則只要tT時,輸出c(t)就能達到其終值。如圖3-4所示。由于c(t)的終值為1,因而系統(tǒng)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零。動態(tài)性能指標:3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時,R(s)1,輸入量的拉氏變換于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同,即 這時相同的輸出稱為脈沖響應記作g(t),因為,其表達式為 (3-5)3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應Unit-ramp Response of first-order Systems當對上式求拉氏反變換,得: (3-6)因為 (3-7)所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明: = 1 * GB3 一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡
10、輸入信號。穩(wěn)態(tài)時,輸入和輸出信號的變化率完全相同 由于系統(tǒng)存在慣性,從0上升到1時,對應的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量T,這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。 減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應的速度,還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。3.2.4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應 上式表明,跟蹤誤差隨時間推移而增大,直至無限大。因此,一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。表3-1 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應式輸入信號輸出響應傳遞函數(shù)微分 1微分1(t)t等價關系:系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應,就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù);系統(tǒng)對輸入信號積分的響應,就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分;積分常數(shù)由零
11、初始條件確定。線性定常系統(tǒng)的一個重要特性,適用于任何階線性定常系統(tǒng),但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此,研究線性定常系統(tǒng)的時間響應,不必對每種輸入信號形式進行測定和計算,往往只取其中一種典型形式進行研究?!咀詫W內(nèi)容】預習第三節(jié)。第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時域分析【教學目的】1熟悉典型二階系統(tǒng)的階躍響應。2掌握典型二階系統(tǒng)欠阻尼情況下性能指標的計算方法。3掌握根據(jù)性能指標的要求確定典型二階系統(tǒng)參數(shù)的方法?!窘虒W重點】二階系統(tǒng)時間響應及其動態(tài)性能指標計算。典型傳遞函數(shù) 當0時,特征根s1.2=,特征根在S平面上的位置見圖3.1。圖中 系統(tǒng)的單位階躍響應為C(t)=1-動態(tài)性能指標計算公式為上升時間
12、峰值時間 其中Td是有阻尼振蕩周期,且Td=是有阻尼振蕩頻率。超調(diào)量 調(diào)整時間 (=0.02)振蕩次數(shù) N= (=0.05)或 N= (=0.02)【教學難點】根據(jù)性能指標的要求確定典型二階系統(tǒng)參數(shù)的方法?!窘虒W方法及手段】 通過課堂授課,演示,提問使學生熟練掌握二階系統(tǒng),確定其參數(shù)并進行有關計算?!菊n外作業(yè)】 習題3-5,3-6?!緦W時分配】2學時?!窘虒W內(nèi)容】 3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng):凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng),稱為二階系統(tǒng)。3.3.1 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型隨動系統(tǒng)(位置控制系統(tǒng))如圖3-6所示。該系統(tǒng)的任務:控制機械負載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。工作原理:用
13、一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置,它們可以將輸入和輸出位置信號,轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置,由控制輸入信號確定,角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量,而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比,輸出電位計電刷臂的角位置,由輸出軸的位置確定。電位差就是誤差信號。 橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號被增益常數(shù)為的放大器放大,(應具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗)放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上。電動機激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號,電動機就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動輸出負載,并使誤差信號減少到零。(3)當激磁電流固定時,電動機產(chǎn)生的力矩(電磁轉(zhuǎn)距)為: (3-10)電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為
14、電樞電流對于電樞電路 (3-11) 電動機電樞繞組的電感和電阻。電動機的反電勢常數(shù),電動機的軸的角位移。電動機的力矩平衡方程為: (3-12)J:為電動機負載和齒輪傳動裝置,折合到電動機軸上的組合轉(zhuǎn)動慣量。f:為電動機負載和齒輪傳動裝置,折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。 (3-13)根據(jù)圖3-7,可以求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(即前向通路傳遞函數(shù))因為反饋回路傳遞函數(shù)為1 (3-14)如果略去電樞電感(3-15) 增益 阻尼系數(shù),由于電動機反電勢的存在,增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。 開環(huán)增益 機電時間常數(shù)那么,不考慮負載力矩的情況下,隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以簡化為: (3-16)相應的閉環(huán)傳遞函數(shù) (
15、3-17)為了使研究的結果具有普遍意義,可將式(3-17)表示為如下標準形式 (3-18) 自然頻率(或無阻尼振蕩頻率)阻尼比(相對阻尼系數(shù))二階系統(tǒng)的標準形式,相應的方塊圖如圖3-8所示二階系統(tǒng)的動態(tài)特性,可以用和這兩個參量的形式加以描述二階系統(tǒng)的特征方程: (3-19) (3-20)3.3.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應阻尼比是實際阻尼系數(shù)F與臨界阻尼系數(shù)的比值 臨界阻尼系數(shù),時,阻尼系數(shù) 兩個正實部的特征根 發(fā)散 ,閉環(huán)極點為共扼復根,位于右半S平面,這時的系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng) ,為兩個相等的根 ,兩個不相等的根根據(jù)性能指標的要求確定典型,虛軸上,瞬態(tài)響應變?yōu)榈确袷?1)欠阻尼()二階系統(tǒng)的
16、單位階躍響應 令衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率,由式(3-18)得 對上式取拉氏反變換,得單位階躍響應為 (3-21)穩(wěn)態(tài)分量 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量為1,表明圖3-8系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下,不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差,瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項,其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率包絡線決定收斂速度時, (3-23)這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩,其振蕩頻率為故稱為無阻尼振蕩頻率。由系統(tǒng)本身的結構參數(shù)K和,或和J確定,常稱自然頻率。實際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比,因此不可能通過實驗方法測得,而只能測得,且,不復存在,系統(tǒng)的響應不再出現(xiàn)振蕩。(2)臨界阻尼()臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應稱為臨界阻尼響應 (
17、3-24)當時,二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程,(3)過阻尼() (3-25)圖3-11表示了二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應曲線(書上圖3-10 P87)3.3.3 二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標欠阻尼情況圖3-12 為系統(tǒng)欠阻尼時的單位階躍響應曲線。下列所述的性能指標,將定量地描述系統(tǒng)瞬態(tài)響應的性能。在控制工程中,除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應的系統(tǒng)外,通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應速度和較短的調(diào)節(jié)時間。二階系統(tǒng)一般取 。其它的動態(tài)性能指標,有的可用精確表示,如,有的很難用準確表示,如,可采用近似算法。 在式(3-21)中,即令可得參見書P82,在較大的值范圍內(nèi),近似
18、有 (3-26) 書(3-19)式時,亦可用 (3-27) (書3-20)(上升時間) ,求得 (3-28) (3-31書)一定,即一定, ,響應速度越快對式(3-21)(書3-14)求導,并令其為零,求得 ,根據(jù)峰值時間定義,應取 (書3-22) 超調(diào)量在峰值時間發(fā)生,故即為最大輸出 (3-30) (書3-23)圖3-14時,時,時,當時 調(diào)節(jié)時間的計算典型二階系統(tǒng)欠阻尼條件下的單位階躍響應 書式(3-14)令表示實際響應于穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差,則有時,并在上述不等式右端分母中代入,選取誤差帶 (3-31) 書(3-24)當較小 穩(wěn)態(tài)誤差定義:當時,系統(tǒng)的參考輸入和輸出之間的誤差就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)
19、誤差,用表示。對圖3-8的標準二階系統(tǒng)有利用拉氏變換的終值定理,故二階系統(tǒng)在(單位)階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差恒為零。如果在斜坡信號作用下, (3-32)例3-1 考慮圖3-8所示系統(tǒng),已知設系統(tǒng)在單位階躍信號作用下。解:過阻尼 延遲時間同欠阻尼情況(仍然近似成立)上升時間 0.9的定義 調(diào)節(jié)時間 可用查圖法 無超調(diào)有二階系統(tǒng)的單位斜坡響應可自己看,書(3-29)可以對(3-14)進行積分求得 利用線性系統(tǒng)的性質(zhì),系統(tǒng)對輸入積分的響應等于系統(tǒng)響應的積分。3.3.4二階系統(tǒng)的動態(tài)校正對于特定的系統(tǒng),3.3.1節(jié)中介紹的位置控制系統(tǒng)(隨動系統(tǒng))其閉環(huán)傳遞函數(shù) 調(diào)整時間,當一定時與有關,大,小僅與有關
20、,大超調(diào)小控制系統(tǒng)設計的目的是穩(wěn)、準、快。但各項指標之間是矛盾的。如果要求系統(tǒng)反應快,顯然要求小大,因為一定(對特定的系統(tǒng)) K小同樣如果要求系統(tǒng)反應快, 就要大K大如果要求穩(wěn)態(tài)誤差小, K大必須采取合理折中方案,如果采取方案,仍不能使系統(tǒng)滿足要求,就必須研究其他控制方式,以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。如二階系統(tǒng)在斜坡信號作用下,有穩(wěn)態(tài)誤差 在改善二階系統(tǒng)性能的方法中,比例微分控制和測速反饋控制是兩種常用方法。3.3.4.1 比例微分控制Proportional-plusderivative Control Of Second-order Systems用分析法研究PD控制,對系統(tǒng)性能的影響
21、,由圖3-15,可得開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-15 PD控制系統(tǒng) (3-33) ,稱為開環(huán)增益,與有關。 (3-34)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (3-35)令 (3-36)結論:比例微分控制可以不該變自然頻率,但可增大系統(tǒng)的阻尼比。,由3-35可知,可通過適當選擇微分時間常數(shù),改變阻尼的大小。,由于均與K有關,所以適當選擇開環(huán)增益,以使系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差減小,單位階躍輸入時有滿意的動態(tài)性能(快速反應,小的超調(diào))。這種控制方法,工業(yè)上稱為PD控制,由于PD控制相當于給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點,故比例微分控制的二階系統(tǒng)稱為有零點的二階系統(tǒng)。適用范圍 微分時對噪聲有放大作用(高頻噪聲)。輸入噪聲放大時,不宜采
22、用。當輸入為單位階躍函數(shù)時 (3-37)可以化簡為書式(3-44)的簡化形式,但式(3-45)式 (3-38)書(3-44)好像有問題 丟了一個Z (3-39)r (3-38) (3-39) (3-40)3.3.4.2 測速反饋控制輸入量的導數(shù)同樣可以用來改善系統(tǒng)的性能。圖3-16 測速反饋控制的二階系統(tǒng)通過將輸出的速度信號反饋到系統(tǒng)輸入端,并與誤差信號比較,其效果與比例微分控制相似,可以增大系統(tǒng)阻尼,改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。實例:角度控制系統(tǒng)。為與測速發(fā)電機輸出斜率有關的測速反饋系數(shù)。(電壓/單位轉(zhuǎn)速)由圖3-16,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) (3-41) 開環(huán)作用 (3-42)相應的閉環(huán)傳遞函數(shù),可用
23、(3-41)式中的第一種表示方式令 與PD控制相比說明:由(3-42)式知,測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益,從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。 測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 不變可增大系統(tǒng)的阻尼比 與 (3-35) 形式相同測速反饋不形成閉環(huán)零點,因此時,測速反饋與比例微分控制對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度是不相同的。設計時,可適當增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以減小穩(wěn)態(tài)誤差。例3-2 圖3-17(a)所示的系統(tǒng),具有圖3-17(b)所示的響應,求K和T解:閉環(huán)傳遞函數(shù) 例3-3 一控制系統(tǒng)如圖3-18所示,其中輸入,試證明當,在穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)的輸出能無誤差地跟蹤單位斜坡輸入信號。解:圖3-18系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞
24、函數(shù) 圖3-18 控制系統(tǒng)的方塊圖由上式知,只要令,就可以實現(xiàn)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時無誤差地跟蹤單位斜坡輸入。例3-4 設一隨動系統(tǒng)如圖3-19所示,要求系統(tǒng)的超調(diào)量為0.2,峰值時間,求求增益K和速度反饋系數(shù)。 根據(jù)所求的圖3-19 控制系統(tǒng)的方塊圖解: 由 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 【自學內(nèi)容】預習第四節(jié)。第四節(jié) 高階系統(tǒng)的時域分析【教學目的】對三階及其高階系統(tǒng)的單位階躍響應能夠了解,會利用閉環(huán)主導極點對高階系統(tǒng)進行近似分析,從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的估算公式。 【教學重點】利用閉環(huán)主導極點對高階系統(tǒng)進行近似分析,得到高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的估算公式。【教學難點】 根據(jù)高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的估算公式對高
25、階系統(tǒng)進行估算。【教學方法及手段】主要通過課堂講解和提問?!菊n外作業(yè)】復習本節(jié)?!緦W時分配】 2課時。【教學內(nèi)容】3.4高階系統(tǒng)的時域響應設高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為將上式的分子與分母進行因式分解,可得:式中: 令系統(tǒng)所有的零、極點互不相同,且其極點有實數(shù)極點和復數(shù)極點,零點均為實數(shù)零點。設系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù),將式(3-47)用部分分式展開,得對上式求反變換得由可知:高階系統(tǒng)時域響應的瞬態(tài)分量是由一階系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))和二階系統(tǒng)(振蕩環(huán)節(jié))的響應函數(shù)組成。其中輸入信號(控制信號)極點所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)分量,傳遞函數(shù)極點所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量。系統(tǒng)瞬
26、態(tài)分量的形式由閉環(huán)極點的性質(zhì)所決定,而系統(tǒng)調(diào)整時間的長短與閉環(huán)極點負實部絕對值的大小有關。如果閉環(huán)極點遠離虛軸,則相應的瞬態(tài)分量就衰減得快,系統(tǒng)的調(diào)整時間也就較短。而閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號。如果所有閉環(huán)的極點均具有負實部,則由(3-49)可知,隨著時間的推移,式中所有的瞬態(tài)分量(指數(shù)項和阻尼正弦(余弦)項)將不斷地衰減趨于零,最后該式的右方只乘t。由輸入信號極點所確定的穩(wěn)態(tài)分量項。它表示過渡結束后,系統(tǒng)的輸出量(被控制量)僅與輸入量(控制量)有關。閉環(huán)極點均位于S左半平面的系統(tǒng),稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的首要條件,有關這方面的內(nèi)容,將在下節(jié)中做較詳細的闡述。如果閉環(huán)
27、傳遞函數(shù)中有一極點距坐標原點很遠,即有 其中 則當時,極點所對應的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時間很短,而且其相應的幅值亦較小,因而由它產(chǎn)生的瞬態(tài)分量可略去不計。如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中某一個極點 則極點對應瞬態(tài)分量的幅值很小,因而它在系統(tǒng)響應中所占百分比很小,可忽略不計。主導極點 如果系統(tǒng)中有一個(極點或一對)復數(shù)極點距虛軸最近,且附近沒有閉環(huán)零點;而其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大5倍以上,則此系統(tǒng)的響應可近似地視為由這個(或這對)極點所產(chǎn)生。這是因為這種極點所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時間最長,而且其初始幅值也大,充分體現(xiàn)了它在系統(tǒng)響應中的主導作用,故稱其為系統(tǒng)的主導極點。高階系統(tǒng)的主導極點通常
28、為一對復數(shù)極點。 在設計高階系統(tǒng)時,人們常利用主導極點這個概念選擇系統(tǒng)的參數(shù),使系統(tǒng)具有預期的一對主導極點,從而把一個高階系統(tǒng)近似地用一對主導極點的二階系統(tǒng)去表征。 【自學內(nèi)容】 預習第五節(jié) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 第五節(jié) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析?!窘虒W目的】1熟悉系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義。熟練掌握判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性及根據(jù)穩(wěn)定性要求確定系統(tǒng)參數(shù)的方法?!窘虒W重點】特征根必須全部分布在S平面的左半部,即具有負實部。 已知系統(tǒng)的特征方程時,可采用Routh穩(wěn)定判據(jù)或Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特征多項式各項系數(shù)均大于零(或同符號)是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。Routh判據(jù):由特征方程各項系數(shù)列出Routh
29、表,如果表中第一列各項嚴格為正,則系統(tǒng)穩(wěn)定;第一列出現(xiàn)負數(shù),則系統(tǒng)不穩(wěn)定,且第一列各項數(shù)值符號改變的次數(shù)就是正實部特征根的數(shù)目。Hurwitz判據(jù):由特征方程各項系數(shù)構成的各階Hurwitz行列式全部為正,則系統(tǒng)穩(wěn)定?!窘虒W難點】 Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)的兩種特殊情況。【教學方法及手段】通過課堂講解例題,使學生充分理解Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)?!菊n外作業(yè)】習題3-11,3-12?!緦W時分配】2課時?!窘虒W內(nèi)容】3.5 線形定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性對系統(tǒng)進行各類品質(zhì)指標的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施,是自動控制理論的基
30、本任務之一。3.5.1 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件基本概念 控制系統(tǒng)在實際運行過程中,總會受到外界和內(nèi)部一些因素的干擾,例如,負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。這些因素總是存在的,如果系統(tǒng)設計時不考慮這些因素,設計出來的系統(tǒng)不穩(wěn)定,那這樣的系統(tǒng)是不成功的,需要重新設計,或調(diào)整某些參數(shù)或結構。 例如:三軸搖擺臺的飛車問題是控制系統(tǒng)不穩(wěn)定、發(fā)散的一個典型實例。指令輸入信號走速率時,輸出不跟蹤指令,而是越走越快。陀螺會跟不上,力反饋拉不住。有關穩(wěn)定性的定義和理論較多??刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性的嚴格定義和理論闡述是由俄國學者李雅普諾夫于1892年提出的,它主要用于判別時變系統(tǒng)和非線性系
31、統(tǒng)的穩(wěn)定性。設一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài),若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài),當此擾動撤消后,系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之,系統(tǒng)為不穩(wěn)定。由此可知:線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征(結構、參數(shù)),與系統(tǒng)的輸入信號無關。 基于穩(wěn)定性研究的問題是擾動作用去除后系統(tǒng)的運動情況,它與系統(tǒng)的輸入信號無關,只取決于系統(tǒng)本身的特征,因而可用系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)來描述。如果脈沖響應函數(shù)是收斂的,即有 (3-52)表示系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài),因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知,系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應函數(shù)的收斂是一致的。由于單位脈沖函數(shù)的拉氏反變換等于1,所以系統(tǒng)的脈沖響應
32、函數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。如同上節(jié)所假設的那樣,令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q個實數(shù)極點和r對復數(shù)極點,則式(3-46)可改寫為式中 q+2r=ny用部分分式展開對上式取拉氏反變換,求得系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為由式(3-54)可見,若即系統(tǒng)穩(wěn)定,則閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面,每一個特征根不論是是實根還是復根都要具有負實部,這就是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。如果系統(tǒng)的特征根中只要有一個正實根或一對實部為正的復數(shù)根,則其脈沖響應函數(shù)就是發(fā)散形式,系統(tǒng)永遠不會再回到原有的平衡狀態(tài),這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。P52 物理系統(tǒng)的輸出量只能增加到一定的范圍,此后或者受到機械止動裝置的限制,或者系統(tǒng)
33、遭到破壞,也可能當輸出量超過一定數(shù)值后,系統(tǒng)變成非線性的,(而使線性微分方程不再適用。)由于非線性因素存在,僅表現(xiàn)為等幅振蕩。圖3-20 以上討論了在零輸入系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,人們也許會提出這樣一個問題:即一個在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng),會不會因某個參考輸入信號的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞?回答是否定的。下面以單位階躍函數(shù),即,則系統(tǒng)的輸出為 (3-47)顯然,上式就是上節(jié)所述的式(3-47),因而對應的單位階躍響應表達式就是式(3-49)。由該式可見,等號右方第一項是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量,它表示在穩(wěn)態(tài)時,系統(tǒng)的輸出量第二、第三項為系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量,它們是由系統(tǒng)的結構和參數(shù)確定的。如果所研究的系統(tǒng)在零輸入下
34、是穩(wěn)定的,即系統(tǒng)所有的特征根都具有負實部,則輸出響應中各瞬態(tài)分量都將隨著時間的推移而不斷地衰減,經(jīng)過充分長的時間后,系統(tǒng)的輸出量最終將趨向于穩(wěn)態(tài)分量的一個無限小的領域,系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)運行。這表明了一個在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng),在參考輸入信號作用下仍能將繼續(xù)保持穩(wěn)定。綜上所述,控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于它本身的結構和參數(shù),即取決于系統(tǒng)特征方程式根實部的符號,與系統(tǒng)的初始條件和輸入無關。如果系統(tǒng)特征方程式的根都具有負實部,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之,若系統(tǒng)特征方程式的根中有一個或一對以上實部為正的根,則對應的瞬態(tài)分量將隨著時間的推移而不斷地增大,并成為輸出響應的主要成分,而穩(wěn)態(tài)分量與之相比都變得無足輕重了。顯
35、然,這種系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程式的根中有一對共軛虛根,其余的根均在S的左半平面,則對應的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。此時系統(tǒng)的響應函數(shù)中含有等幅振蕩的分量,基于系統(tǒng)的參數(shù)和外部環(huán)境的變化,這種等幅振蕩不可能持久地維持下去,系統(tǒng)最后很可能會不穩(wěn)定。因此,在控制工程中通常把臨界穩(wěn)定亦當作不穩(wěn)定處理。3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)3.5.2.1勞斯表線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。能否找到一種不用求根而直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方式,稱為穩(wěn)定判據(jù)。令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為如果方程式的根都是負實部,或其實部為負的復數(shù)根,則其特征方程式的各項系數(shù)均為正值,且無零系數(shù)。證明、說明:設為實數(shù)
36、根,為復數(shù)根因為上式等號左方所有因式的系數(shù)都為正(數(shù))值,所以它們相乘后與各次項的系數(shù)必然仍為正值,且不會有系數(shù)為零的項。反之,若方程中如有一個根為正實根,或有一對實部為正的復數(shù)根,則由式(3-56)可知,對應方程式與各項的系數(shù)不會全為正值,即一定會有負系數(shù)項或缺項出現(xiàn)。不難證明,對于一階和二階線性定常系統(tǒng),其特征方程式的系數(shù)全為正值,是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和必要條件。但對于三階以上的系統(tǒng),特征方程式的各項系數(shù)均為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,而非充分條件。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是這種間接的方法(不用直接求根,因為求根很復雜),它是由勞斯于1877年首先提出的。有關勞斯判據(jù)自身的數(shù)學論證,從略。本節(jié)主要介
37、紹該判據(jù)有關的結論及其在判別控制系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的應用。設系統(tǒng)特征方程式如(3-55)所示,將各項系數(shù),按下面的格式排成老斯表這樣可求得n+1行系數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變化,去判別特征方程式根在S平面上的具體分布,過程如下:如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則其特征方程式的根都在S的左半平面,相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化,其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù),相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。例3-5 已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:列勞斯表 由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次,所以該方程中有二個根在S的右半平面
38、,因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-6 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解:列勞斯表由勞斯判據(jù)可知,若系統(tǒng)穩(wěn)定,則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值??傻茫?.5.2.2 勞斯判據(jù)特殊情況。在應用勞斯判據(jù)時,有可能會碰到以下兩種特殊情況。勞斯表某一行中的第一項等于零,而該行的其余各項不等于零或沒有余項,這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無法繼續(xù)往下排列。解決的辦法是以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項,據(jù)此算出其余的各項,完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化,其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目,相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同,則表示該方程中有一
39、對共軛虛根存在,相應的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。例3-7 已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:列勞斯表由于表中第一列上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同,表示該方程中有一對共軛虛根存在,相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯表中出現(xiàn)全零行則表示相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。這種情況,可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構造一個輔助多項式,并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到,而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。例如,一個控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表 由上表可知,第一列的系數(shù)均為正值,表明該方程在S右半平面上
40、沒有特征根。令F(s)=0,求得兩對大小相等、符號相反的根,顯然這個系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.5.2.3 勞斯判據(jù)的應用穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況,而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性能。換句話說,勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛軸的距離。希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設,并代入原方程式中,得到以為變量的特征方程式,然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線,右側。由此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠,從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。例3-8 用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上,并檢驗有
41、幾個根在垂線的右方。解:列勞斯表第一列全為正,所有的根均位于左半平面,系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程: 式中有負號,顯然有根在的右方。列勞斯表 第一列的系數(shù)符號變化了一次,表示原方程有一個根在垂直直線的右方。可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例3-9 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-21所示,試回答圖3-21解:排勞斯表 第一列均為正值,S全部位于左半平面,故系統(tǒng)穩(wěn)定。 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 列勞斯表 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值,既 由此得出系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為【自學內(nèi)容】 預習第六節(jié)。第六節(jié) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算【教學目的】掌握系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法和減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施
42、?!窘虒W重點】穩(wěn)態(tài)誤差的計算 計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的共同前提條件是:系統(tǒng)必須穩(wěn)定。 (1)靜態(tài)誤差系數(shù)法。根據(jù)系統(tǒng)的型別v,求靜態(tài)誤差系數(shù)。利用參考輸入作用下en()與系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)間的關系確定en()(2)利用拉氏變換的終值定理求en()。當sE(s)的全部極點(除坐標原點外)都具有負實部時,有en()=en()=sE(s) (3)動態(tài)誤差系數(shù)法。首先將誤差傳遞函數(shù)表示成s的冪級數(shù)把E(s)表示成輸入信號的拉氏變換R(s)與s的冪級數(shù)相乘的形式,再取拉氏反變換,就可把穩(wěn)態(tài)誤差en(t)表示成輸入信號r(t)與其導數(shù)的線性組合,從而可求出穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的表達式en(t)。【教學難點】減
43、小穩(wěn)態(tài)誤差的措施?!窘虒W方法及手段】 通過課堂講解使學生建立穩(wěn)態(tài)誤差的概念,通過例題講解使學生掌握求解穩(wěn)態(tài)誤差的方法?!菊n外作業(yè)】 習題3-16?!緦W時分配】 2學時?!窘虒W內(nèi)容】3.6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算前提:系統(tǒng)穩(wěn)定 一個符合工程要求的系統(tǒng),其穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在允許的范圍之內(nèi)。例如工業(yè)加熱爐的爐溫誤差若超過其允許的限度,就會影響加工產(chǎn)品的質(zhì)量。又如造紙廠中卷繞紙張的恒張力控制系統(tǒng),要求紙張在卷繞過程中張力的誤差保持在某一允許的范圍之內(nèi)。若張力過小,就會出現(xiàn)松滾現(xiàn)象,而張力過大,又會促使紙張的斷裂。重要性能指標??刂葡到y(tǒng)的性能是由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成的。動態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤
44、差的不可避免性 輸入量(控制量),擾動量不同,輸入函數(shù)的形式不同(階躍、斜坡、或加速度),控制系統(tǒng)的輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當,也不可能在任何形式的擾動作用下都準確地恢復到原平衡位置??刂葡到y(tǒng)中不可避免存在摩擦,不靈敏區(qū),零位輸出等非線性因素,都會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差。無差系統(tǒng):在階躍函數(shù)作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱之無差系統(tǒng)。有差系統(tǒng):在階躍函數(shù)作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱之有差系統(tǒng)。本節(jié)主要討論原理性誤差的計算方法3.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的定義圖3-22控制系統(tǒng)框圖 (3-56) 在實際系統(tǒng)中是可以量測的。 (3-57) 輸出的實際值輸出的希望值(真值很難得到),可舉例說
45、明。如果,輸出量的希望值,即為輸入量。由圖3-22可得誤差傳遞函數(shù) (3-58) (3-59) (3-60)插入 二階系統(tǒng)分別在斜坡輸入和階躍輸入作用下的響應的誤差曲線,說明不同的輸入對同一個系統(tǒng)所產(chǎn)生的誤差是不同的。終值定理,求穩(wěn)態(tài)誤差。 (3-61)公式條件:的極點均位于S左半平面(包括坐標原點)式(3-61)表明,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,不僅與開環(huán)傳遞函數(shù)的結構有關,還與輸入形式密切相關 。(3-61)對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng),當輸入信號形式一定時,系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結構。因此,按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號的能力來進行系統(tǒng)分類是必要的。3.6.2 系統(tǒng)類型令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)
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