奧數(shù)八年級詳解完美課件

1、初中升高中之奧數(shù)總復(fù)習(xí)之二(祥解)-初中八年級之一奧數(shù)(祥解集)初中升高中之奧數(shù)總復(fù)習(xí)之二(祥解)-初中八年級之一奧數(shù)(八年級（上冊）第11章 三角形全等11、把兩個全等的三角形，重合在一起，重合的頂點叫對應(yīng)頂點，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角。兩個三角形能完全重合，這兩個三角形叫全等三角形 用表示1、三邊對應(yīng)相等的二個三角形全等（邊邊邊，即SSS）2、兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（邊角邊，即SAS）3、兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（角邊解）即ASA4、兩角和其中一個角的對應(yīng)邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 （角角邊） 即AAS兩邊但不是兩邊夾角的的二個三角形不一定全等。

2、SSA三個角都相等的兩個三個形不一定全等 即AAA5、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。1、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。2、角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點都在角平分線上。3、怎樣作一個角的角平分線作解內(nèi)二個三角形全等。八年級（上冊）第11章 三角形全等11、把兩個全等的三角 三角形全等2例1）已知（如圖）所示，ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DGBC,交AB于點G，在GD的延長線上取點E,使DE=DC,連接AE、BD 求證 : (1)AGEDAB過點E作EFBD,交BC于點F,連接AF,求AFE的度數(shù)。解： （1）因為DGBC 所以AGD也是等邊三角形，則AG=AD AGD

3、= GAD=60 又 DE=DC AD+DC=DE+GD=AB 即GE=AB,又AG=AD AGD= GAD=60 所以AGEDAB（SAS）所以有ABD+ DBC=60 = AEG+ GEF,所以AFE是等邊三角形（等腰三角形，且有一個角是60 ），因而AFE=60因AGEDAB，所以AE=DB; 因 BFGE是平行四邊形. BD=EF DBC=DEF AEG=ABD; 例2）如圖所示，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且BE=CF,求證 OEC=OFD解：因為 EBC=DCF=45 BC=DC BE=FC 所以 BCEDCF (SAS) BEC= DFC. 又因為 OEC=180

4、- BEC =180 -DFC= OFD OEC=OFD 三角形全等2例1）已知（如圖）所示，ABC是等邊三角形， 三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F,且AE=EF,求證：AC=BF.解：作AD的延長線至H點，使AD=DH, 連接BH, BD=DC(中點) ；AD=DH; BDH=ADC BDH ADC(SAS) 有AC=BH 所以BHD= DAC又DAC = AFE(等邊對等角) BHD=BFD 所以 BF=BH(等腰三角形) AC=BH=BF 即 AC=BF 成立。例4）如圖所示， ABC是等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，使BDAE,求證

5、CE=DE解：在BE上取點F（或者過D點作AC的平行線，交BE于點F）， 使BD=BF, 則BDF是等邊三角形， BD=BF =AE BA+AF=AF+FE 即有AC=BA=FE EAC=EFD (同旁內(nèi)角相等) FD=BD=AE EAC EFD 所以CE=DE 三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中線，BE交A 三角形全等4例5）如圖正方形ABCD的對角線AC與BD點交O, E為AC上的一點，連接BE,過A點作BE垂線，垂足為M，AM交BD于F。求證： （1） OF=OE(2)如果E點在AC延長線上，AMEB 于點M,交DB的延長線于點F，其它條件不變，OF=OE 還成立嗎？解： （1

6、） AMB= AOF=90 BFM= AFO(對頂角相等)，所以FBM= FAO; FBM= FAO ,OB=OA AOF=BOE=90 AOF BOE 所以O(shè)F=OE (2) 只要求證AOF BOE 就可以了。 三角形全等4例5）如圖正方形ABCD的對角線AC與BD點 三角形全等5例6）已知ABC中， A=2B ; CD是 ACB平分線，求證：BC=AC+AD解：在BC上取點E，使得 CE=AC, 因為CD是ACB平分線，所以有 ACB= DCEACD CDE即DE=AD, DEC= A 又因為DEC= B+BDE=2 B.所以有B= BDE 即BE=ED(等角對等邊)所以BC=EC+BE=

7、AC+AD 求證成立。方法二：將CA延長至E,使EA=AD 也可以。例7） D、E分別是等邊三角形ABC邊上的點，且AD=CE,BD與AE交于P點這，BQAE于點Q。求證：PQ1/2PB解：因為AD=CE; BAC= C ; AB=AC 所以AEC ABD 因而有 ABP= EAC BPQ= ABP+ BAP= BAP+PAD=60 在直角三角形中， PQB=90 - PBQ=30 所以PQ=1/2PB 三角形全等5例6）已知ABC中， A=2B ; 三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90,ADBC, AB=BC,E是AB的中點，CEBD （1）求證 BE=AD; (2) 求證

8、：MAMD （3）DB=DC證明 （1） 因為 ABC=90，所以ABC=90 又CE BD BEC+ EBC=90 BEC+ BCE=90 EBD= BCE 在ABD與 BCE中， AB=BC; BAD= ABC=90 ABD= BCE 所以ABD BCE（ASA） BE=AD因為 AB=BE ABC=90 所以 BAC =BCA=45 CAD= ACB=45 (內(nèi)錯角相等) ； 又因為 EAD是等腰直角梯形， 所以ADE=45= CAD 所以AM=MD(等角對等邊)（3）因為 EAC=CAD=45; AE=EB=AD; AC=AC 所以AEC ADC (SAS) 即有 DC=EC 又因為B

9、D=EC 所以有BD=DC 三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90 三角形全等7 奧1例1）等腰梯形ABCD中，AD B C，ADABCD2， C60 ，M是BC的中點。求證： （1） MDC是等邊三解形。（2）MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD）與AB交于一點E，MC（MC）同時與AD交于一點F時，點E、F和點A構(gòu)成 AEF，試探究 AEF的周長是否存在最小值，如果不存在說理由，如果存在，請計出AEF周長的最小值。解： （1）過A、D分別作底 邊上的垂線，可知BPQC1 PQ2 因此BC2AD，因而有 四邊形ABMD 是棱形，所以有 BMMDMC（M是中點）DC（等腰梯形） D

10、MC等邊三角形。（2）因為EMF= AMB=60 又 AME+ EMB=60 AME+ AMF=60 所以有 EMB= AMF; MAF =MBE=60;BM=AM 所以有 BME AMF 因而有 AF=BE EM=MF AF+AE=AE+BE=AB=2cm 又因EMF=60 EM=MF 所以EFM是等邊三角形， 即EF=MF,從運(yùn)動可知，MF最短，是平行線AD與BC的距 離是 。AEF周長 AE+AF+EF=AB+EF=AB+MF,所以最短的距離為 2+ 三角形全等7 奧1例1）等腰梯形ABCD中，AD 三 角形全等7 奧22如圖2，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AD平分BAC，AD

11、的延長線交BF于E，且E為垂足，則結(jié)論AD=BF，CF=CD，AC+CD=AB，BE=CF，BF=2BE，其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ A ） A4 B3 C2 D12、解：在RtAEB中，ABE=1809022.5=67.5， 則FBC=67.545=22.5 RtBCF中，F(xiàn)=67.5,所以AF=AB，AC=BC， 從而BCFACD（ASA），則AD=BF CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF=AB， 等腰三角形ABF中，AE BF，則BF=2BE， 對于因為BCF和AEB的三個角對應(yīng)相等， 但是斜邊AB與BF不相等，從而不全等，不會BE=CF，三 角形全等7 奧22如圖2，在ABC中，A

12、C=BC三 角形全等7 奧2-13、如圖3，在ABC中，A=60，BE ，CF分別是ABC，ACB的角平分線，BE，CF相交于點D。（1）求FDE的度數(shù)（2）求證：DF=DE解： （1） FDE= BDC(對頂角） 又因BDC =180 - DBC- DCB = 180 - (1/2)(ABC+ ACB) =180 -(1/2) (180-60) =120 即FDE=120 （2）在BC上取一點G， 使得BF=BG， BDF BDG(SAS) FD=DG 所以5= 6 又因 5= 8=60 所以有： 7=360 - 5-6 - 8- D=60 DECDCG(ASA) DG=DE 所以得 DF=

13、DE三 角形全等7 奧2-13、如圖3，在ABC中，A=三 角形全等7 奧34如圖，點D是ABC三條角平分線的交點，ABC=68（1）求證：ADC=124；（2）若AB+BD=AC，求ACB的度數(shù)解：（1）證明：ABC=68， BAC+ACB=180-68=112， AD，CD是角平分線， DAC+ACD=1/2112=56所以ADC=180-DAC+ACD=180-56=124 （2）（方法一） 在AC上截取AE=AB，連接DE， 在ABD和AED中，ABAE DAE BAD（角平分線）ADAD ABDAED，BD=ED，DE=EC 所以 ABD1/2 68 = AED 又因DE=EC 則有

14、 DEC ECD =1/2 AED=17 ACB=2 AED=2 17 =34 （方法二） 延長AB至E，使BE=BD AEDADC 所以2= 3=17 ACB=2 3=2 17 =34 三 角形全等7 奧34如圖，點D是ABC三條角平分線三 角形全等7 奧45如圖，在ABC中ACBC，E、D分別是AC、BC上的點，且BAD=ABE，AE=BD求證：BAD=(1/2) c證明：作OBF=OAE交AD于FBAD=ABEOA=OB又AOE=BOFAOEBOF （ASA）AE=BFAE=BDBF=BDBDF=BFDBDF=C+OAEBFD=BOF+OBFBOF=CBOF=BAD+ABE=2BADBA

15、D= =(1/2) c三 角形全等7 奧45如圖，在ABC中ACBC，E八年級（上冊）第12章 軸對稱11、一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能重合，這個圖形就叫軸對稱圖形。這條直線就叫對稱軸。2、過線段的中點，且垂直于線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。3、兩個圖形關(guān)于某條直線對應(yīng)，對稱軸是任何一對對應(yīng)點的垂直平分線4、軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點的垂直平分線。51、線段垂直平分線上的點，到線段的兩個端點的距離相等。52、與一條直線距離相等的點，在這條直線的垂直平分線上。例1）怎樣作垂直平分線：在線段的兩邊分別作大于1/2的圓，相交的兩點再連線，就是垂直平分線。例2）怎樣作角

16、平分線：例2）某設(shè)計師在方格紙中畫了一部分，請完成余下部分，作關(guān)于Y軸的對稱圖作連同原形的繞圓點逆時針旋轉(zhuǎn)圖八年級（上冊）第12章 軸對稱11、一個圖形沿著一條直第12章 軸對稱中考-基礎(chǔ)1例1）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2, 5）與點B，關(guān)于Y軸對稱，則點B的坐標(biāo)為（ ）解：B點為 （2，5）例2）在平面直解坐標(biāo)系xoy中，已知點A（2, 3）若將OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)180度，到OA，則點A在平面直角坐標(biāo)系中的位置是在（ ）象限。解：A 的坐標(biāo)為（2，3） 因此 在第三象限。例3）將點P向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到點P（1，3） ，則點P的坐標(biāo)為（ ）解：解這樣的題要反推，反

17、向變?yōu)橄蛳乱?個單位，向右移2個單位。即得P的坐標(biāo)為（ 1，2 ）或者也可這樣理解：設(shè)點P（X，Y） 則有 x-2=-1 ; y+1=3,得X1， Y2第12章 軸對稱中考-基礎(chǔ)1例1）在平面直角坐標(biāo)系中 軸對稱2例1）在一條燃?xì)夤艿繪上修建一個泵站，分別向同一側(cè)的A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在什么地方，可使輸氣管線最短？如圖：例2）在三角形ABC中，如圖，AB=AC=12CM,BC=6CM;D為BC的中點，動點P從B點出發(fā)，以每妙1CMR 速度沿B A C的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t,那么當(dāng)t 妙時，過點D P兩點的直線，將ABC的周長分為兩部分，使其中一部分是另一部分的兩倍。解 : （t =7和

18、 t =17 即有兩種可能） 當(dāng)PA+AC+DC=2(BD+BP) 即(12-t)+12+3=2*(3+t) 得t=7 當(dāng)DB+AB+AP=2(PC+CD) 即3+t=2*(24-t+3) 得t=17 軸對稱2例1）在一條燃?xì)夤艿繪上修建一個泵站，分別向同一 軸對稱3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; AB垂直平分線交AC于點N，三解形BCN的周長是5CM，則BC的長（ ）CM解：N因是垂直平分線上的點，得ANBN 所以有 BN+NC3 又因BCN的周長是5CM, 所以有 BC532CM例4）已知直線ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE150 則C的度數(shù)等于（ ）解： CDE

19、150 所以CDB=30又因ABCD 所以 CDBDBA30 又因BE是角平分線， 所以DBA= DBC 即C1803030120 例5）在Rt ABC中， BAC90 ， B60 ， AB C 可以由ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 得到，連接CC ，則 CC B 的度數(shù)是（ ）解：因CAAC 所以 CC B45 所以 CC B 45 30 15 軸對稱3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; 軸對稱4例6）三角形ABC的頂點坐標(biāo)分別是A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果 ABC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90 ，得到 A B C ，那么點A的對應(yīng)點A 的坐標(biāo)是（ ）解：從圖中可以看出，

20、 坐標(biāo)是（3，3） 軸對稱4例6）三角形ABC的頂點坐標(biāo)分別是A（4，6）、3 等腰、等邊三角形11、等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）2、等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高、底邊的中線相互重合。3、如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對邊的也相等（等角對等邊）4、三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。 三個角都相等的三角形，也叫等邊三角形。 有一個角是60度的等腰三角形，也叫等邊三角形。5、等邊三角形，三個角都是60度。6、在直角三角形中，如果一個銳角是30度，那么它所對邊等于斜邊的一半。（怎樣證明）7、在不規(guī)則的三角形中，大邊對大角，小邊對小角；大角也對大邊，小角對小邊。3 等腰

21、、等邊三角形11、等腰三角形的兩個底角相等。（等邊3 等腰、等邊三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形AEC是等邊三角形，證明：BE=DC解：因為ABE ADC,所以BE=DC例2）在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊也較大。怎樣證明它。解: 將ABC對折疊，使邊AC與AB重合，C點落在AB的D 點。利用三角形全等就可證明了。例3）三角形ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CECD，求證：DBDE解： DBC= CDE= CED=30 ,所以三角形BED是等腰三角形3 等腰、等邊三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形3 等腰、等邊三角形奧數(shù)-1

22、1、在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形AOB的頂點與O重合，點A的坐標(biāo)(m , n) ，底邊AB的中線在第一、三象限的角平分線上，則點B的坐標(biāo)是（ ） A、（n , m） B、（m , n）C、（m , n）D、（m , n） 解：因為中線在角平分線上，即y=x 所以A、B兩點的從標(biāo)的和相等，只有A合符條件 x=(m+n)/2 y=(m+n)/2 即 y=x 選、A2如圖，在ABC中，ACB=100，點D、E在AB上，且 BE=BC，AD=AC，則DCE的大小是 度 解析： （解法一）：設(shè)ACE=x，DCE=y，BCD=z， BE=BC，AD=AC， ADC=ACD=ACE+DCE=（x+y），

23、BEC=BCE=BCD+DCE=（y+z）， A=BEC-ACE=（y+z-x），B=ADC-BCD=（x+y-z）， 在ABC中，ACB=100，A+B=180-ACB=80， y+z-x+x+y-z=80，即2y=80，y=40，DCE=40故答案為：40 （解法二） BE=BC，AD=AC 得1+ DCE= 4 2+ DCE= 3 所以 1+ DCE+ 2+ DCE= 3+ 4 即 2 DCE+（100 - DCE）=180 - DCE 2 DCE =80 DCE=40 3 等腰、等邊三角形奧數(shù)-11、在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三八年級（上冊）第13章 實數(shù)慨念1 有理數(shù)（有限小數(shù)或無限循

24、環(huán)小數(shù)）實數(shù)： 無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）八年級（上冊）第13章 實數(shù)慨念1 八年級（上冊）第13章 實數(shù)慨念21、如果一個正數(shù)X的平方等于a ,那么這個正數(shù)X叫做a的算 術(shù)平方根。記作X ；a叫做被開方數(shù)，0的算術(shù)平方根是0. （習(xí)慣上將二次根號的2省略，即 ）2、如果一個數(shù)X的平方等于a,那么這個數(shù)X就叫做a的平方根。就是說，如果 a 那么X叫做a平方根；即X 3、求一個數(shù)的平方根運(yùn)算，叫做開平方。平方與開平方是 互為逆運(yùn)算。4、正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的平方 根就是算術(shù)平方根。0的平方根是0；5、因為任何一個數(shù)的平方都是正數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根。1、如果一個數(shù)的立方等于a

25、,那么這個數(shù)叫a的立方根，或者 三次方根。即 ，那第X叫做a的立方根。2、求一個數(shù)的立方根運(yùn)算，叫開立方，表示為X 。 立方和開立方是互為逆運(yùn)算。3、正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)， 0的立方根0.1、a相反數(shù)是a； 1、實數(shù)由：有理數(shù)（即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）組成八年級（上冊）第13章 實數(shù)慨念21、如果一個正數(shù)X的 實數(shù)21、若a與b為倒數(shù)，則ab=1相反數(shù)是它本身的數(shù)，只有0；倒數(shù)是它本身的數(shù)只有1.2、一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕紂值是0. 可以記作 ：利用非負(fù)的性質(zhì)求值：當(dāng)兩個（多個）非負(fù)的數(shù)的和等于0時，所有非負(fù)

26、的數(shù)式子分別等于0。 實數(shù)21、若a與b為倒數(shù)，則ab=12、一個正數(shù)的絕對值 實數(shù)3例1）一個數(shù)的絕對值是 ，求這個數(shù)？ 解：因為 絕對值均為 ，所以這個數(shù)為1、從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)后，實數(shù)之間不僅可以加、減、乘、除（分母不為0）、乘方運(yùn)算，2、正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意實數(shù)可以進(jìn)開立方運(yùn)算。例2） （1）無限小數(shù)都是無理數(shù)；（2）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（3）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（4）所有實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來數(shù)軸上點都可以表示實數(shù)。例3） （1）有沒有最小的正整數(shù)（最小的正整數(shù)是1）；（2）有沒有最小的自然數(shù)（最小的自然數(shù)是0）；（3）有沒有最大的負(fù)整數(shù)（最大的負(fù)整數(shù)是1）

27、（4）有沒有最小的無理數(shù) （5）有沒有最小的實數(shù)（6）有沒有絕對值最小的實數(shù)。 實數(shù)3例1）一個數(shù)的絕對值是 ，求這個數(shù) 實數(shù)4例4）已知X 2 , X是整數(shù)，求x的值。 解：分x 0時和x0時，兩種情況進(jìn)行討論。例5） 2 的相反數(shù)是（ 1 ）（1）2 （2） 2 （3 ） 1/2 （4 ） 1/2 例6）下列實數(shù) 2/3; 0; ; ; 中，無理數(shù)有多少個？（A）1個（B）2個 (3)3個 (4) 4個答案：B例7） 9的平方根是（ B ）（A) 81 (B) 3 (C) 3 (D) -3 例8） 若0 x1時，則x2, x , 1/x ，的大小關(guān)系是（ B ） (D) 不能確定 例9）2

28、013的相反數(shù)是（ 2013 ） 實數(shù)4例4）已知X 2 , X是整數(shù)，求x的 實數(shù)5例10）1/2的倒數(shù)是（ 2 ）例11）設(shè) ,a在兩上相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（ 3和4 ） 例12）化簡： 解：原式3 3/2 -1- +1+1 3/2 - - (1- )= - 1 例13） 解：原式17+3*1+52例14）下列各式中，正確的是（ B ） 實數(shù)5例10）1/2的倒數(shù)是（ 2 ）例 實數(shù)6例15）如果a與1互為相反數(shù)，則a=( C )A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 例16）肇慶市經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，已完成固定資產(chǎn)投資快速增長，達(dá)240.31億元，用科學(xué)記數(shù)法可記作（ B ）240

29、.31108 B. 2.40311010 C. 2.4031109 D. 24.031109解：240.31億240 310 000 0002.40311010(即小數(shù)點之后有10個數(shù)位。例17）數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的實數(shù)分別是1和 ，若關(guān)于A點的對稱點C，則點C所對應(yīng)的實數(shù)是（ A ）解：高C點為X， 則有 XBBA ；即X 1X2 1 實數(shù)6例15）如果a與1互為相反數(shù)，則a=( C 實數(shù)7例18）已知 ABCDE為數(shù)軸上的五個點，且ABBCCDDE，則點P所表示的比較接近下列哪個數(shù) ( C ) -1 B. 1 C. 3 D. 5解：因為A點為5，E點為9， AE長為9（5）14，分為四段

30、，每段長為14 43.5 所以B、C、D 三點在數(shù)軸上的位置為 1.5， 2， 5.5 ，從數(shù)軸上看，點P是比2大點，應(yīng)最接近3，故應(yīng)選C例19）如果x-y1/2 那么 2-x+y=( )解：原式 2-(x-y) = 2-1/2 =3/2例20）已知a,b在數(shù)軸上的位置如圖18所示，試化簡解：原式 a+b - a-b =-(a+b)-(a-b)=-a-b-a+b=-2a例21）如果規(guī)定符號“*”的意義是a*b=(a.b)/(a+b),求2*（-3）*4值解：原式（2 （3）/(2-3)*4 =6*4=(6 4)/(6+4)=2.4 實數(shù)7例18）已知 ABCDE為數(shù)軸上的五個點，且AB 實數(shù)8

31、例23）已知實數(shù)x y滿足x-5+ =0 求代數(shù)式 的值。解： x-5 0 ；Y+4 0 所以 X5=0 ; Y+4=0 所以X5 ； Y4 ；X+Y1 （1）2012=1例22）比較2.5，3， 的大小，次序從小到大排列的是（ ）解：32.5 (因為 2.52=6.257)例24）計算 （1） （2） （3） （4） 解： （1）2 （2）2 （3） （4）3 實數(shù)8例23）已知實數(shù)x y滿足x-5+ 實數(shù) 中考-11已知 （ ） 解： 所以xy 實數(shù) 中考-11已知 實數(shù)奧1例3）三個互不相等的有理數(shù)，既可以表示為1，a+b,a 的形式，也可表示為0, b/a ,b形式，求 的值。解：可以

32、表示為兩種形式，也就是對應(yīng)的元素分別相等， 即a+b, a 中有一個是0 . b/a, b 中有一個是1. 又因 a分母，a0. 所以 只能是a+b=0 即a=-b ; b/a=-1 所以 只能是b=1, 則有a=-1所以 （1）2012+12012=1+1=2例4）求證任意兩個有理數(shù)之間都存在無窮多個有理數(shù)。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，至少存在兩個有理數(shù)a,b,它們之間只有有 限個（n個）有理數(shù)。它們的大小順序如下： aC1C2C3.Cnb,這時(Cn+b)/2b也為有數(shù)， 且 aCn (Cn+b)/2bb,即在a與b之間找到了第n+1個有理數(shù)， 即(Cn+b)/2b ，這與假設(shè)相予盾。所以：任意

33、兩個有理數(shù)之間都存在無窮多個有理數(shù)例1）一個數(shù)的相反數(shù)的負(fù)倒數(shù)是1/19,問這個數(shù)是多少？解：設(shè)這個數(shù)為b, 則有(1/(-b)）=1/19 所以b=19例2）若a是小于1的正數(shù)，試用“”號 將： a, -1/a, 1/a, -a , 0, -1 , 1 連結(jié)起來。解：-1/a-1-a0a10時，經(jīng)過一、三像限，隨著X的增大，Y值不斷增大。當(dāng)K0時，隨著X的增大，Y值不斷增大。當(dāng)K0時，隨著X值的增大，Y值不斷減小。4、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系；當(dāng)Y等于0時，一次函數(shù)也就是一元一次方程。5、對于兩條直線L1，y=k1X+b1 直線L2: Y=K2X+b2 (1) L1 L2,則k1K2 且

34、b1b2; (2) L1L2 則 k1 K2 1（3）L1與L2重合，則k1K2 且b1b2八年級（上冊）第14章 一次函數(shù) 11、對于X每一個確定的 一次函數(shù)（本1）例1）已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=2時,y的值為4，當(dāng)x=-2時,y的值為-2，求：k與b的值 。解：4k2+b ; -2=k(-2)+b 得 k= 3/2 ; b= 1 例2）一次函數(shù)過點（4，9）及（6，3） 求這個函數(shù)的解析式。解：設(shè)函數(shù)的解析式為：y=kx+b 則有 94x+b; 3=6x+b 解方程組得，k=-3/5 b=33/5 例3）一個函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線，并且這條直線過第四象限及點（2，3a）與點(a

35、,-6)，求這個函數(shù)解析式。解：因為圖象過原點，所以函數(shù)是正比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)為 y=kx 又圖象過（2，3a) ; (a,-6) 所以有 方程組 3a=2k 及 6ak 得 a=2或a=-2 , 又因a=2過第四象限，而a=-2時，點（2，3a） 在第一象限不符合要求，a=2 此時，K= -3 函數(shù)解析式為：y=-3x. 一次函數(shù)（本1）例1）已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=2一次函數(shù)（本1-1）例4）點P（x,y）在第一象限，且x+y=8, 點A的坐標(biāo)為（6，0） 設(shè)OPA的面積為S （1） 用含X的解析式表示S，寫出X的取值范圍，畫出函數(shù)S的圖象。（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為5時， OPA的面積

36、為多少？ （3） OPA的面積能大于24嗎？為什么？解： （1）因y=-x+8 S OPA =1/2 6 y =3 (-x+8)=-3x+24（0 x8）當(dāng)P的橫坐標(biāo)為5時 S3 5+249（3） 因0 x8 所以 0s0 , b0 (2) k0 ,b0(3) k0 (4) k0 ,b2 ）例6）在反比例函數(shù) 的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減少，則m的取值范圍是（ ）解：因y都隨x的增大而減少 ，因此1-m0 即 m1 一次函數(shù) （中考1）例3）已知直線y=kx+b 經(jīng) 一次函數(shù) （中考2）例1）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2，a）,在正比例函數(shù)y=（1/2）x的圖象上，則點Q（a,3a

37、-5）位于第（ ）象限解：當(dāng)x=2時，Y=1 所以點Q的坐標(biāo)為（1，2） 即在第四象限。例2）函數(shù) 中自變量X的取值范圍是（ ）解：x-20, 且 x-30 x2 且 x3 所以結(jié)果為x2 例3）正方形ABCD的邊長為2，動點P從C出發(fā)，在正方形邊上沿C B A的方向運(yùn)動，（點P與A不重合），設(shè)點的運(yùn)動路程為X，則 ADP的面積Y關(guān)于X的函數(shù)圖象是（ ）面積Y關(guān)于X的解析式為？解： （1） （2）例4）已知關(guān)于X的一次函數(shù)Ymx+n 的圖象如圖，則 可化簡為（ ）解：從圖象可知， m0 所以 n-m0 原式n-m-(-m)=n 一次函數(shù) （中考2）例1）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（2， 一次函數(shù)

38、 （中考3）例5）已知反比例函數(shù) y=1/x，下列結(jié)論不正確的是（ D ）A 圖象經(jīng)過點（1，1） B 圖象在第一、第三象限C 當(dāng)X1 時 0y1 D 當(dāng)X0時，y隨的X增大而增大。例6）已知一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=k/x，其中一次函數(shù)y=x+2的圖象過點P(k,5)(1)試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式 （2）若Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點，求點Q的坐標(biāo)。解： (1) 因P過y=x+2 所以5k+2 k=3; 反比例函數(shù)為y=3/x (2) 方程組y=x+2 ; y=3/x 交點為x=-3 ,y=-1 ; x=1,y=3 因交點 在第三象限 所以點Q的坐標(biāo)為（3，1）例

39、7）直線y=2x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B。（1）求A、B兩點的坐標(biāo)。（2）過B點作直線BP與x軸交于點P，且使OP=2OA，求ABP的面積。解： （1） B點的坐標(biāo)為（0，3） A點的坐標(biāo)為（ 3/2 ，0）(2)滿足條件的有兩點分別為 P（0，3）和P1（0，3）所以 ABP的面積 S11/2 (3+3/2) 3=27/4 S2=1/2 (3-3/2) 3=9/4 一次函數(shù) （中考3）例5）已知反比例函數(shù) y=1/x，下 一次函數(shù) （中考3）例8） 在一次運(yùn)輸任務(wù)中，一輛汽車將一批貨物從甲是運(yùn)往已地，到達(dá)缷貨后返回，設(shè)汽車從甲地出發(fā)X（h)時，汽車與甲地的距離為y(km), y 與

40、 x的函數(shù)關(guān)系如圖所示。根據(jù)圖象信息，解答下列問題：（1）這輛汽車的往、返速度是否相同？ 請說明理由。（2）求Y與X的函數(shù)表達(dá)式。（3） 求這輛汽車從甲地出發(fā)4小時與甲地的距離。解： （1） 不相同； 因為往、返的 路程相同，而所需的時不同，所以 速度也不相同。（2） 設(shè)y=kx+b 當(dāng)0 x2時， 直線過（0，0） （2，120）兩點， 因此 b =0 k=60 即方程為： y=60 x 當(dāng)2 x2.5時，直線過 （2，120） 、（2.5，120） ； 因此，可得 b=120 , k=0 即方程為： y=120 當(dāng)2.5x5時， 直線過（2.5，120） 、（0，5） 兩點，因此，可得 k

41、=-48 b=240 即方程為：y=-48x+240 (2.50,即函數(shù)數(shù)值大于0（小于0）時，自變量的取值范圍。例1）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+1的圖像與反比例函數(shù)Y=9/x的圖像在第一像限交于點A，過A點作X軸，Y軸的垂線，垂足為點B、C，如果四邊形為正方形，求一次函的關(guān)系式。解：依題意得,xy=9=OB*0C 又因為四邊形為正方形， 即OB=OC=3 ， 點（3，3）也過一次函數(shù)， 所以3K*3+1 得K2/3,一次函數(shù) 為y=2/3x+1例2)如圖：已知函數(shù)y=x+b 和 y=ax+3 圖像交點為P(x坐標(biāo)為1），則不等式x+bax+3的解集為（ x1 ） 一次函數(shù) （中考

42、4）任何一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等 一次函數(shù) （中考5）例3）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，直線L1：Y（k-2）x+k和L2：y=kx的位置可能為圖中的（ B ）A : B: C: D解：第一個圖：當(dāng)K0,k-20 K20時，即0k0 k-20時，即 k2時，也可符合。因為兩種以上不能確定，因而得另找它法。解方程：y =(k-2)x+k y=kx 得2x=k x=k/2 y= 即它們的交點為（k/2, ） 可得，交點必在第一或者第二像限，因此可排除C、D兩種情況，故只有B正確 一次函數(shù) （中考5）例3）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，直線L1：Y 一次函數(shù) 奧1例1）(1-) y與x-2成反比例，若X4，Y1/4,

43、求Y與X之間函數(shù)關(guān)系式。 (2-)若y+m與x+m成正比例，且當(dāng)x=1時，y=2; 當(dāng)x=-1時，y=1,求y與x之間函數(shù)關(guān)系式。 (3-) 已知函數(shù)y=y1+y2，其中y1是關(guān)于x的正比例函數(shù)，y2是關(guān)于x的反比例函數(shù)，且當(dāng)x=2 時y=8；x=4 時，y=13 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。解： (1) y=k/(x-2) 即 -1/4=k/(4-2) k=-1/2 所以y與x函數(shù)關(guān)系式：y=-1/(2x-4)被 (2-) y+m=k(x+m) 得 2+m=k(1+m); 1+m=k(-1+m) 所以 得k=1/2; m=-3 函數(shù)關(guān)系式為：y=1/2x+3/2 (3-) y=y1+y2=k1x

44、+k2/x 得 8k12+k2/2 ; 13=k14+k2/4 解方程得 k1=3 ; k2=4 函數(shù)式為：y=3x+4/x (這叫待定系數(shù)法）例2）如果一直線經(jīng)過不同三點A(a,b) , B( b,a) , C(a-b,b-a),那第直線l經(jīng)過第（ ）象限。解：設(shè)直線為y=kx+c ,依題意得：b=ka+c ; a=kb+c ; b-a=k(a-b)+c 若a=b, 即三點變?yōu)閮牲c（a,a）;(0,0), 與原題意過三點不符。所以ab. 由 b=ka+c ; a=kb+c 得 b-a=k(a-b) k=(b-a)/(a-b)=-1. 由a=kb+c k=-1 得 c=a+b 所以 b-a=-

45、1(a-b)+(a+b) 得 a+b=0 即c=0 Y與X的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x 圖象過二、四象限。 一次函數(shù) 奧1例1）(1-) y與x-2成反比例，若X 一次函數(shù) 奧23已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A、B兩點的坐標(biāo)分別是A(2,-3),B(4,-1)。 P(x,0) 是X軸上的一個動點， 當(dāng)X= 時， PAB的周長最短。解：作點B關(guān)于X軸的對稱點B ， 則B 的坐標(biāo)為（4，1） ，連結(jié)B A，與 X軸的交點即為所求。 因為過直線y=kx+b (將點A（2，-3），B （4，1）代入方程） 得 y=2x-7 ; 當(dāng)y=0時，X=7/2=3.5 4、不論k取何值 表示的函數(shù)的圖像經(jīng)過 一個定點，則這

46、個定點是（ ） 4、解：由 得 不論k 取何值 ，K都成立，這時解方程得所以這個點是（，）（解法二）K取二個特殊值，然后求出x ,y 的值 。 一次函數(shù) 奧23已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A、B兩點的坐標(biāo)分 一次函數(shù) 奧35已知 則一次函數(shù)y=kx+k的圖像與坐標(biāo) 軸圍成的面積是（ ） 解：由已知得，a=bk+ck ; b=ak+ck ; c =ak+bk 得 a+b+c=2k(a+b+c) 當(dāng)a+b+c=0時，a=-(b+c) 則k=a/(b+c)=a/-a=-1 函數(shù)y=-x-1的圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積是：1/2 當(dāng)a+b+c 0時，k=1/2 函數(shù)y=(1/2)x+1/2的圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積

47、是：1/4 一次函數(shù) 奧35已知 八年級（上冊）第15章 整式的乘除與因式分解慨念-11）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即 5）冪的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即： 4）積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。 即：6）單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項里含有字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。即 ：7）單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即：8）多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一多項的每一項，化成單項式與多項式相乘，再把所得的積相加。即：2*）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即 3）任何

48、不等于0的0次冪都等于1. 即：八年級（上冊）第15章 整式的乘除與因式分解慨念-1115章 整式的乘除與因式分解慨念-29）添括號時，如果括號里邊是正號，括到括號里邊的各項不變號。如果括號前邊是負(fù)號，括到括號里邊各項都改變符號。10）單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含月的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。11）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加12）因式分解的公式 (1)ab+ac+ad=a(b+c+d)(2) (3) (5) (6) (7) 15章 整式的乘除與因式分解慨念-29）添括號時，如果括號15章 整式的乘

49、除與因式分解慨念-312）多項式除以單項式，先把多項式的每一項除以這個單項式，現(xiàn)把所得的商相加。13）把一個多項式化成幾個整數(shù)的積的形式，叫做因式分解。也叫分解因式。它與整式的相乘是互為逆運(yùn)算。14）兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。也叫平方差公式。 即： 倒過來：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積 即：15）兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（減去它們積的2倍）。也叫完全平方公式。即： 倒過來：兩個數(shù)的平方加上（減去）這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方。即： 15章 整式的乘除與因式分解慨念-312）多項式除以單項式15章 整式的

50、乘除與因式分解慨念-416）同類項：所含的字母相同，并且字母的次數(shù)也相同的項。17）單項式的次數(shù)：所有字母指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù)。18）冪：幾個相同因數(shù)乘積的運(yùn)算叫乘方，運(yùn)算的結(jié)果叫冪。15章 整式的乘除與因式分解慨念-416）同類項：所含的字15章 整式的乘除與因式分解本-2例4）計算： 例5）分解因式： 解 （1） 原式x(x2-9)=x(x+3)(x-3)原式(2x)4-1=(2x)2+1) (2x)2-1) =(2x)2+1)(2x+1)(2x-1) (3)原式-y(3x)2-6xy+y2)=-y(3x-y)2(4)原式(2a)2+4ab+b2=(2a+b)2例7） 已知一個多項式與

51、 的和等于 這個多項式是（ 5x-1 ）例8）已知 的值是多少？（ 7/2 ）15章 整式的乘除與因式分解本-2例4）計算： 15章 整式的乘除與因式分解中考-1例1）已知 求代數(shù)式 的值( 5/12）解：設(shè)它們之比值為K ， 然后得x=2k y=3k z=4k 代入代數(shù)式計算即得所求的值。例2）若 的和是單項式，則 多少？ 解：因為和為單項式，所以指數(shù)相等，即可求出m和n. 例3）已知ABC的邊長分別為a,b,c,且 a,b,c 滿足 ，那么這個三角形是什么三角形？解：化簡后得 （a-b）2+(a-c)2+(b-c)2=0 即有a=b=c 三角形是等邊三角形。15章 整式的乘除與因式分解中考

52、-1例1）已知 15章 整式的乘除與因式分解中考-24、若的值（ ）A一定是負(fù)數(shù) B一定是正數(shù)C一定不是正數(shù) D不能確定4、解： （肇慶2009，八年級競賽）5若兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差為2012，則這兩個偶數(shù)中較大的一個 是 ( ) 5、答案：504 解析： (x+x-2) (x-x+2)=2012 (2x-2) 2=2012 x=50415章 整式的乘除與因式分解中考-24、若5若兩個連續(xù)偶15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)1例1）因式分解： 解：原式例2）因式分解： 解：設(shè)A=a+b B=b+c 則 A+B=a+2b+c原式 即有原式3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3）分解因式：解：

53、（a+b+c） =(a+b+c)例3的推論 （1）若a+b+c=0 即有 （2） 因 所以當(dāng)a+b+c0時， （3） 當(dāng) a+b+c 0，且 時，則有 a=b=c15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)1例1）因式分解： 15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)2例4）若a,b,c是三角形的三邊，證明： 證明：因a+b-c0 , a+c-b0 , a+b+c0 而a-b-c=-(b+c-a)0所以（ a+b-c） （a+c-b） （a+b+c） （ a-b-c ）0所以有 例5）分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 (四個連續(xù)的自然數(shù)相乘的積是一個完全平方）解：原式 例6）若ab , xbx

54、+ay 證明：只要將分解因式，根據(jù)已知條件，比較就可以得出結(jié)果了。證明：因為 ax+by-(bx+ay)=x(a-b)-y(a-b)=(a-b)(x-y) 又因為 ab ,x0 ; x-y 0 所以(a-b)(x-y)0因此 ax+bybx+ay成立。15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)2例4）若a,b,c是三15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)3例7）解方程： 解：設(shè)A11-x ,B=13-x ; A+B=24-2X即有 解得 化為 3AB(A+B)=0 即有 A=0 或 B=0 或 A+B=0 從11x=0 13-x=0 24-2x=0 得 x=11 , x=13 , x=12經(jīng)檢驗：11，12，

55、 13 都是完方程的解。例8） 已知非零的三個實數(shù)a,b,c 滿足 求證： a+b ,b+c ,c+a 中至少有一個是0.證明：要分式有意義，須a 0 ,b 0 c 0 a+b+c0 0 從 得 (bc+ac+ab) (a+b+c)=abc c(a+b)+ab (a+b)+c=abc C(a+b)2+ab(a+b) +c2(a+b)+abc=abc (a+b)c(a+b)+ab+c2)=0 (a+b)c2+c(a+b)+ab =0 (a+b)(c+a)(c+b)=0 即有：a+b=0 或 c+a=0 或 c+b=0 即a+b, b+c ,c+a 中至少有一個是0. 15章 整式的乘除與因式分解

56、奧數(shù)3例7）解方程： 15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)3-1例9）因式分解 ： 解： 原式15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)3-1例9）因式分解 15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)410、若 則 的值為-解：11、已知a ,b 為正整數(shù)，且滿足 則 a = ( ) b =( ) 解： 由 得 即（b+a)(b-a) =2011 1 所以只有 b+a=2011 b-a=1 解方程得 b=1006 a=100512如果實數(shù) （ ）A 7 B 8 C 9 D106、解：去分母得：（8m+m)(n+1)=(8n+m)(m+1) 8mn+8m+n2+n=8mn+8n+m2+m 8(m-n)+(n-m)(n+

57、m)+(n-m)=0 (n-m)(n+m-7)=0又因 mn 所以m-n0 ; 即有 n+m-7=0 即 n+m=715章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)410、若 15章 整式的乘除與因式分解奧數(shù)513、已知m,n 是整數(shù)，且 求m, n的值。解：由 得 即有： 所以 （n-2)2的值可取0或1 (1) 當(dāng)（n-2)2=0時，即n=2 這時（m+n)2=0或1。 如果n=2, (m+n)2=0 即 m=-2 如果n=2, (m+n)2=1, 即有m=-1; m=-3 當(dāng)n=2時有三組解，即（n=2,m=-2); (n=2, m=-1) ; (n=2, m=-3) (2) 當(dāng)（n-2)2=1時，即

58、n=3 ; 或 n =1 如果 n=3, 這時 0 (m+n)2 1 即(m+n)2=0 得m=-3 如果 n=1, 這時 0 (m+n)2 0, B0; 或 A0, B0, B0; 或A0利用分式的性質(zhì)，約去分式的分子和分母的公因式，這樣的變形叫約分。第16章 分式慨念1-2分式有意義、無意義、等于零的條第16章 分式-書本-1例1）兩個工程隊共同參與一項工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三份一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成，問哪個施工隊速度較快？解：設(shè)總程量為1，則甲的速度為 1/3 ; 乙的月工作速度為1/x ， 即半月為1/2x 依題意有 1/3+1/6+1

59、/2x=1 X=1 ; 11/3 所以乙的速度比甲快。 例2）從2008年3月起，動車平均提速V千米/小時，用相同的時間，列車提速前行駛S千米，提速后比提速前多行駛50千米，提速前列車的平均速度是多少？解：設(shè)提速前的速度為x千米/小時。 行駛時間（相同）=s/x 提速后的速度為 x+v ,行駛時間（相同）=(s+50)/(x+v); 依題意則有： s/x= (s+50)/(x+v); 解方程得 x=(sv)/50 (合題意）例3）解方程X（1） a/(x-a) +b=1 (b 1) (2) m/x n/(x+1)=0 (m n, mn 0)解： （1）原式 a/(x-a)=1-b x=(2a-

60、ab)/(1-b) (2) m/x= n/(x+1) nx= mx+m (n-m) x=m x =m/(n-m) 第16章 分式-書本-1例1）兩個工程隊共同參與一項工程第16章 分式-書本-2例3）甲、乙兩人分別從距目的地6千米和10千米的兩地同時出發(fā)，甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20分鐘到達(dá)目的地，求甲、乙的速度？解：設(shè)甲的速度為3v /小時 ,則的乙的速度為4v/小時. 依題意有 6/3v+20/60 =10/4v 解方程得 v=3/2甲速度為 3v=4.5km/h 乙的速度 4v =43/2=6km/h例4）張明4小時清點完一批圖書的一半，李強(qiáng)加入清點另一半圖書工作，兩人合作