函數(shù)周期對稱性

1、.-專題：函數(shù)的周期性對稱性1、周期函數(shù)的定義一般地，關于函數(shù)yf(x)，若是存在一個非零常數(shù)T，使適合x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)yf(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的一個周期。若是所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。顯然，若T是函數(shù)的周期，則kT(kz,k0)也是f(x)的周期。如無特別說明，我們后邊一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。說明：1、周期函數(shù)定義域必是無界的。2、周期函數(shù)不用然都有最小正周期。實行：若f(xa)f(xb)，則f(x)是周期函數(shù)，ba是它的一個周期；TTf(x)f(x)，則f(x)周期為T；

2、22f(x)的周期為Tf(x)的周期為T。2、常有周期函數(shù)的函數(shù)方程：（1）函數(shù)值之和定值型，即函數(shù)f(ax)f(bx)C(ab)關于定義域中任意x滿足f(ax)f(bx)C(ab)，則有fx(2b2a)f(x)，故函數(shù)f(x)的周期是T2(ba)特例：fxafx，則fx是以T2a為周期的周期函數(shù)；（2）兩個函數(shù)值之積定值型，即倒數(shù)或負倒數(shù)型若f(ax)f(bx)C(ab，C可正可負)，則得f(x2a)f(x2a)(2b2a)，因此函數(shù)f(x)的周期是T2(ba).-（3）分式型，即函數(shù)f(x)滿足f(xa)1f(xb)(ab)1f(xb)由f(xa)1f(xb)(ab)得f(x2a)1，進而

3、得1f(xb)f(x2b)f(x2a)f(x2b)1，由前面的結論得f(x)的周期是T4(ba)特例：fxa1x是以T2a為周期的周期函數(shù)；f，則fxf(xa)13a為周期的周期函數(shù).1，則fx是以Tf(x)f(xa)11x是以T3a為周期的周期函數(shù).，則ff(x)f(xa)1，則fx是以T3a為周期的周期函數(shù).1f(x)f(xa)1f(x)，則fx是以T4a為周期的周期函數(shù).1f(x)f(xa)f(x)1x是以T4a為周期的周期函數(shù).f(x)，則f1f(xa)f(x)1x是以T2a為周期的周期函數(shù).f(x)，則f1f(xa)1f(x)，則fx是以T2a為周期的周期函數(shù).f(x)4）遞推型：f

4、(xa)f(x)f(xa)（或f(x)f(xa)f(x2a)），則f(x)的周期T=6a（聯(lián)系數(shù)列）f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；yf(x)滿足f(xa)g(f(x)，(a0)，其中g1(x)g(x)，則yf(x)是以2a為周期的周期函數(shù)。.-3、函數(shù)的對稱性與周期性之間的聯(lián)系：雙對稱性函數(shù)的周期性擁有多重對稱性的函數(shù)必擁有周期性。即，若是一個函數(shù)有兩條對稱軸（或一條對稱軸和一個對稱中心、或兩個縱坐標相同的對稱中心），則該函數(shù)必為周期函數(shù)。相關結論以下：結論1：兩線對稱型：若是定義在R上的

5、函數(shù)f(x)有兩條對稱軸xa、xb，即f(ax)f(ax)，且f(bx)f(bx)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T2ab證明：f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2b2ax)函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2b2a是一個周期。【注意：上述2a有其他對稱軸，則b不用然是最小正周期。若題目所給兩條對稱軸xa、2ab是最小正周期。詳盡可借助三角函數(shù)來進行解析。下同。xb之間沒】結論2：兩點對稱型：若是函數(shù)同時關于兩點a,c、b,c（ab）成中心對稱，即f(ax)f(ax)2c和f(bx)f(bx)2c(ab)，那

6、么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T2ab證明：由f(af(bx)得f(2ax)f(ax)2cf(x)f(2af(bx)2cf(x)f(2bx)f(2bx)x)x)2c2c得f(x)f(2b2ax)函數(shù)yf(x)是以2b2a為周期的函數(shù)。結論3：一線一點對稱型：若是函數(shù)f(x)的圖像關于點a,c（a0）成中心對稱，且關于直線xb（ab）成軸對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T4ab證明：f(af(bf(4(bf(4a2c2cx)f(ax)f(ba)x)2bx)f(2b(2cfx)2cf(x)f(2ax)x)f(x)f(2bx)f(2b(4a2bx)f(2a(2b2ax)2c(2ax)2

7、cf(2ax)(x)2c2cf(x)f(x)2cf(2b2ax)推論1：若是偶函數(shù)f(x)其中一個周期T2a的圖像關于直線xa（a0）對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，.-推論2：若是偶函數(shù)f(x)的圖像關于直線a,c（a0）對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T4a推論3：若是奇函數(shù)f(x)的圖像關于直線xa（a0）對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T4a推論4：若是奇函數(shù)f(x)關于點a,c（a0）成中心對稱，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T2a【函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性的代數(shù)特色有相仿之處，這三性都是有函數(shù)方程決定的，方程的不相同特色決定了函數(shù)不相同的性質，要注意其共

8、性與個性。】【函數(shù)的奇偶性是函數(shù)對稱性中的特別情況，奇函數(shù)對稱中心為（0,0），偶函數(shù)對稱軸為y=0，帶入結論1-3，可得推論1-4，因此學生在記憶時只要記住結論1-3即可，減少工作量】【同理，教師可示范性給出一個結論的證明過程，其他可讓學生進行證明】典例精講一利用周期性求值：例1、（）函數(shù)f(x)關于任意實數(shù)x滿足條件f(x2)1，若f(1)5，則f(x)f(f(5)=_1_。-5例2、（）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為(B)、1、0、1D、2ABC例3、（）已知奇函數(shù)f(x)滿足且時x則的值為。f(x2)f(x),x(0,1),f(x)2,f(log

9、118)2解：Qf(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)，f(log118)f(log218)f(4log218)9)f(9)f(log2log2288999log28f(log28)28【提問：當所要求的值不在定義域中時，怎樣經(jīng)過變換將要求的函數(shù)值轉變到已知解析式的這一段定義域中去？除了充分利用周期性外，還要注意題中的已知條件，如奇偶性、對稱性等?！?-例4、（）f(x)的定義域是R，且f(x2)1f(x)1f(x),若f(0)2008求f(2008)的值。f(x4)11f(x2)1f(x4)11解：f(x)f(x4)1f(x8)f(x2)11f(x4)f(x4)1周期為，f(0)2008

10、8f(2008)二利用周期性求解析式：例5、（）已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當x(0,1)時，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：從解析式下手，由奇偶性結合周期性，將要求區(qū)間上問題轉變成已知解析式的區(qū)間上x(1,2),則x(2,1)2x(0,1),T2，是偶函數(shù)f(x)f(x)f(2x)2x13xx(1,2)解法2：f(x)f(x2)（從圖象下手也可解決，且較直觀）如圖：x(0,1),f(x)x1.是偶函數(shù)x(1,0)時f(x)f(x)x1又周期為2，x(1,2)時x2(1,0)f(x)f(x2)(x2)13x例6、（）已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期

11、T5，函數(shù)yf(x)(1x1)是奇函數(shù).又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x2時函數(shù)獲取最小值5.（1）證明：f(1)f(4)0；（2）求yf(x),x1,4的解析式；3）求yf(x)在4,9上的解析式.解：f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，且在1,1上是奇函數(shù)，f(1)f(1)f(51)f(4)，f(1)f(4)0.當x1,4時，由題意可設f(x)a(x2)25(a0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250，a2，f(x)2(x2)25(1x4).yf(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，可設f(x)kx(0 x1

12、)而f(1)2(12)253，k3，當0 x1時，f(x)3x，進而1x0時，f(x)f(x)3x，故1x1時，f(x)3x.當4x6時，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15.當6x9時，1x54，.-f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)253x15,4x6.f(x)7)25,6x2(x9【由以上兩例可以看出，已知周期函數(shù)某個周期內(nèi)的解析式，求另一個周期內(nèi)的解析式，只要看作是函數(shù)圖象的平移來做即可?！俊居捎诤瘮?shù)的性質：奇偶性、對稱性聯(lián)系親密，教師可引導學生在此回顧奇函數(shù)、偶函數(shù)怎樣求解對稱區(qū)間的解析式這類問題】三函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性的綜合運用例1、（）已知f(x)是

13、定義在R上的函數(shù)，f(10 x)f(10 x)且f(20 x)f(20 x)，則f(x)是（C）A.周期為20的奇函數(shù)B.周期為20的偶函數(shù)C.周期為40的奇函數(shù)D.周期為40的偶函數(shù)例2、（）定義域為R的函數(shù)fx滿足f4xfx8，且yfx8為偶函數(shù)，則f(x)（C）（A）是周期為4的周期函數(shù)（B）是周期為8的周期函數(shù)（C）是周期為12的周期函數(shù)（D）不是周期函數(shù)【熟記雙對稱函數(shù)的周期判斷方法，若是學生對函數(shù)的對稱性有所忘記，可在此回顧一下?！坷?、（）定義在R上的函數(shù)f(x)，給出以下四個命題：（1）若f(x)是偶函數(shù)，則f(x3)的圖象關于直線x3對稱（2）若f(x3)f(3x),則f(x

14、)的圖象關于點(3,0)對稱（3）若f(x3)=f(3x)，且f(x4)f(4x)，則f(x)的一個周期為2。（4）yf(x3)與yf(3x)的圖象關于直線x3對稱。其中正確命題的序號為（2）、（3）?！颈绢}中學生簡單錯選（4），究其原因，是沒有分清是一個函數(shù)自己的對稱，還是兩個函數(shù)之間的對稱，審題不清】例4、（）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(x)0，且函數(shù)fx3為奇函2.-數(shù)給出以下3個命題：函數(shù)f(x)的周期是6；函數(shù)f(x)的圖象關于點3，對稱；2函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，其中，真命題的個數(shù)是（A）A3B2C1D0例5、（）設函數(shù)f(x)在(,)上滿足f(2x)f(2x

15、)，f(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)f(3)0（）試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；（）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結論解：由f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)得函數(shù)yf(x)的對稱軸為x2和x7,進而知函數(shù)yf(x)不是奇函數(shù),f(2x)f(2x)f(x)f(4x)f(4x)f(14x)由x)f(7x)f(x)f(14x)f(7f(x)f(x10),進而知函數(shù)yf(x)的周期為T10又f(3)f(1)0,而f(3)f(7)0,故函數(shù)yf(x)是非奇非偶函數(shù);f(2x)f(2x)f(x)f(4x)f(4x)f(14x)(II

16、)由x)f(7x)f(x)f(14x)f(7f(x)f(x10)IIIQ函數(shù)周期為10，3,0關于x2對稱的區(qū)間為4,7，Qf(x)在0,7只有兩根1和3，4,7無根，3,0無根，f(x)在一個周期內(nèi)只有兩根；3,72005,2005共有個周期，f(x)在2005,2005共有個根。401802.【本題的要點是要說明在一個周期內(nèi)函數(shù)只有兩個根，也就是函數(shù)在7，10內(nèi)是無根的】例6、（）若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在1，0上是增函數(shù)，且f(x2)f(x).求f(x)的周期；證明f(x)的圖象關于點(2k,0)中心對稱;關于直線x2k1軸對稱,(kZ);談論f(x)在(1,2)上的單調性；解:

17、由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.設P(x,y)是圖象上任意一點,則yf(x),且P關于點(2k,0)對稱的點為P(4kx,y).P關于直線x2k1對稱的點為P2(4k2x,y)1f(4kx)f(x)f(x)y,點P1在圖象上,圖象關于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x2)f(x)f(x)f(4k2x)f(2x)f(x)y點P2在圖象上,圖象關于直線x2k1對稱.設1x1x22，則2x2x11，02x22x11.-f(x)在(1,0)上增,又f(x2)f(x)f(x)因此：f(x2)f(x1)，f(x)f(2x1)f(2x2)(*)f(2x1)f(x1),

18、f(2x2)f(x2).在(1,2)上是減函數(shù).例7、（）已知函數(shù)f(x)任意數(shù)x,y均有f(x)f(y)2f(xy)f(xy),f(0)0，且存在非零常數(shù)c,使f(c)0.221）求f(0)的；2）判斷f(x)的奇偶性并明；（3）求f(x)是周期函數(shù)，并求出f(x)的一個周期.解：（1）取，得f2(0)a0,b0f(0)f(0)2f(0)f(0),f(0)Qf(0)0,f(0)1f(x)是偶函數(shù)。證明：原式中，不變，取yx,得f(x)f(x)2f(x(x)x(x)x2)f(2即f(x)f(x)2f(0)f(x)2f(x),f(x)f(x)（3）令，yxc,則f(x)f(x2c)x(x2c)x

19、(x2c)2f(xc)f(c)0 x=x2f(2)f(2)f(x)f(x2c)0,將換成x，f(x2c)f(x2c2c)，f(x2c)f(x)0 x2c0f(x2c)f(x2c),再將換成x，得f(x)f(x4c)x2c的一個周期為4cf(x)【本第3關是怎樣利用f(c)0這個條件，在等式右邊湊出f(c)】堂1、（）已知函數(shù)f(x)是以2周期的偶函數(shù)，且當x0,1，f(x)2x1，f(log210)的（）A.3B.8C.3D.55583解：log2104,14log2100,Q3Q函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，f(log210)f(4log210)f(4log210),Q當x(0,1)是，

20、f(x)2x1,f(4log210)16113,105即f(log210)3.應選A.512、（）偶函數(shù)f(x)任意xR，都有f(x3)，且當x3,2，f(x).-f(x)2x，f(113.5)（D）22C.11A.B.5D.7753、（）函數(shù)f(x)是定在R上的奇函數(shù)，于任意的xR，都有f(x1)1f(x)，當0，f(x)2x，f(11.5)（A）1f(x)x1A.1B.1C.11D.224、（）已知函數(shù)f(x)R上的奇函數(shù)，且足f(x2)f(x)，當0 x1，f(x)x，f(7.5)等于(B)A.0.5B.0.5C.1.5D.1.55、（）f(x)是定在R上的奇函數(shù)，f(x4)f(x)且f

21、(3)5，f(21)_，f(2005)_答：5，56、（）f(x)是定在R上的偶函數(shù)，且足f(x2)1，當0 x1，2x，f(x)f(7.5)_答：17、（）f(x)是定在R上的奇函數(shù)，且f(x2)f(x2)，f(1)2，f(2)f(7)_答：28、（）fx是定域R的函數(shù)，且fx21fx1fx，又f222，f2006=(答：22)29、（）f(x)1x，又f1(x)f(x)，fk1(x)ffk(x)，k1,2，f2009(x)(D)1x1x11xAxBxC.x1D.1x【本屬于迭代周期型，也是常出的】10、（）已知定在R上的奇函數(shù)f(x)，足f(x4)f(x)，且在區(qū)0,2上是增函數(shù)，若方程f

22、(x)m(m0)在區(qū)8,8上有四個不相同的根x1，x2，x3，x4，x1x2x3x4_-8_.11、（）已知函數(shù)f(x)的定域R，且足f(x2)f(x)(1)求：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)奇函數(shù)，且當0 x1，f(x)12x，求使f(x)12在0,2009上的所有x的個.-數(shù)解析：(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)1(2)當0 x1時，f(x)2x，設1x0，則0 x1，11x.f(x)(x)22f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)111x，即f(x)x(1x0)故f(x)x(1x1)2221又設1x3，則1x21

23、，f(x2)2(x2)，又f(x2)f(2x)f(x)2)f(x)f(x)，11x3)f(x)(x2)，f(x)(x2)(12212x，1x11，解得x1.f(x).由f(x)21x2，1x32f(x)是以4為周期的周期函數(shù)故f(x)1的所有x4n1(nZ)21005令04n12009，則4n2.又nZ，1n502n(Z)，在0,2009上共有502個x使f(x)12課后習題1若函數(shù)f(x)2x3的圖像與g(x)的圖像關于直線yx對稱，則g(5)12設fx是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知x(0,1)，fxlog11x，則函2數(shù)fx在(1,2)上的解析式是【答案】ylog1x12.-17）已

24、知以4為周期的函數(shù)f(x)m1x2,x1,13（2013浦東二模理x,x，其cos1,32中m0。x恰有5個實數(shù)解，則m的取值范圍為（）若方程f(x)3(A)(15,8)(B)(15,7)(C)4,8(D)(4,7)333333【答案】Bm(1|x|),x1,14（2013浦東二模文17）已知以4為周期的函數(shù)f(x)x,x其cos1,32中m0，若方程f(x)x3恰有5個實數(shù)解，則m的取值范圍為（）(A)(4,)(B)4,)(C)4,8(D)4,8333333【答案】C新定義型5我們把定義在R上，且滿足f(xT)af(x)（其中常數(shù)a,T滿足a1,a0,T0）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)（1）若某個似

25、周期函數(shù)yf(x)滿足T1且圖像關于直線x1對稱求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；（2）當T1,a2時，某個似周期函數(shù)在0 x1時的解析式為f(x)x(1x)，求函數(shù)yf(x)，xn,n1,nZ的解析式；解：由于xR關于原點對稱，又函數(shù)yf(x)的圖像關于直線x1對稱，因此f(1x)f(1x)又T1，f(x1)af(x),用x代替x得f(x1)af(x),由可知af(x)af(x),a1且a0，.-f(x)f(x)即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；（2）當nxn1(nZ)時，0 xn1(nZ)f(x)2f(x1)22f(x2)2nf(xn)2n(xn)(n1x)；6、已知函數(shù)yf(x),xD，若是關于定義域D

26、內(nèi)的任意實數(shù)x，關于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f(xT)mf(x)成立，則稱函數(shù)f(x)是D上的m級類增周期函數(shù)，周期為T若恒有f(xT)mf(x)成立，則稱函數(shù)f(x)是D上的m級類周期函數(shù)，周期為T（1）試判斷函數(shù)f(x)log1(x1)可否為3,上的周期為1的2級類增周期函數(shù)？并2說明原因；（2）已知函數(shù)f(x)x2ax是3,上的周期為1的2級類增周期函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；解（1）(x11)(x1)2(x23x1)0，即(x11)(x1)2log1(x11)log1(x1)2，即log1(x11)2log1(x1)2222即f(x1)2f(x)對所有x3,恒成立，故f(

27、x)log1(x1)是3,上的周期為1的2級類增周期函數(shù)2（2）由題意可知：f(x1)2f(x)，即(x1)2a(x1)2(x2ax)對所有3,恒成立，x1ax22x1，x3ax22x1x122x12x1x1，x1令x1t，則t2,，g(t)t22,上單調遞加，在t因此g(t)ming(2)1，因此a1.-利用周期，奇偶性，稱性求解析式7定在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期4，且x0,2，f(x)2x4x1（1）判斷并明f(x)在0,2上的性，并求f(x)在2,2上的解析式；（2）當何，關于x的方程f(x)在2,6上有數(shù)解？解：（1）f(x)在0,2上減函數(shù)。分明以下：0 x1x22,2x12x20,12x1x20,(4x11)(4x21)0f(x1)f(x2)2x12x2(2x12x2)(12x1x2)4x114x21=21)0(4x11)(4xf(x1)f(x2),