二次型化為標準型三種方法

1、關(guān)于二次型化為標準型的三種方法1第1頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四2定理 任何一個二次型都可以通過非退化線性替換 化為標準形。(1)若aii不全為零,設(shè)a110則上式可寫成第2頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四3配方第3頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四4第4頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四5它是非退化的,代入后對y2,y3,yn的二次型.第5頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四6當(dāng)aii不全為零時,繼續(xù)上述方法.否則用下述(2)(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一

2、個aij0,設(shè)a120,則第6頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四7它是非退化線性的替換,代入后第7頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四8反復(fù)使用(1)與(2),可以在有限步內(nèi)將二次型化為標準形.因為 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0則 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化線性替換.第8頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四9以上做法中,每一步都是非退化線性替換.因此可以找到一個非退化線性替換化為二次型為標準形.定理 對任意對稱陣A,存在可逆陣C使得CTAC為對角陣. 即任何對稱矩陣合同于一個對角陣.上述定理的證明實

3、績上給出了一種化二次型為標準型的方法：配方法.第9頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四1.若二次型含有 的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形 . 拉格朗日配方法的步驟例1第10頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四解含有平方項去掉配方后多出來的項第11頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四所用變換矩陣為第12頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四13解:配方化簡第13頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四14代入可得

4、標準形為第14頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四15非退化線性替換矩陣為第15頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四162.若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按 1 中方法配方.第16頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四解例3由于所給二次型中無平方項，所以第17頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四再配方，得第18頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四所用變換矩陣為第19頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四20第20頁，共29頁，

5、2022年，5月20日，18點2分，星期四21第21頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四用正交變換化二次型為標準形的具體步驟第22頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四解step1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例()()9182-=ll從而得特征值第23頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四step2求特征向量得正交向量組step3將特征向量正交化第24頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四step4將正交向量組單位化，得正交矩陣P第25頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四于是所求正交變換為第26頁，共29頁，2022年，5月20日，18點2分，星期四27第27頁，共29頁，2022年，5月20