排列與組合知識點(diǎn)

1、.word.word.排列與組合一、兩個根本計數(shù)原理：排列與組合的根底1、分類加法計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有勺種不同的方法，在第二類方法中有m種不同的方法，在第n類方法中有m種不同的方法，那2n么完成這件事共有N=m+mHFm種不同方法.12n2、分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m種不同的方法，做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有2nN=mxmxxm種不同的方法.12n二、排列與組合1排列定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m&n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的

2、一個排列；排列數(shù)用符號Am表示n對排列定義的理解：1、定義中包括兩個根本容：取出元素按照一定順序。因此，排列要完成的“一件事情是“取出m個元素，再按順序排列2、一樣的排列：元素完全一樣，并且元素的排列順序完全一樣。假設(shè)只有元素一樣或局部一樣，而排列順序不一樣，都是不同的排列。比方abc與acb是兩個不同的排列描述排列的根本方法：樹狀圖排列數(shù)公式：Am=n(n-1)(n一2)(n-m+1)(n,mwN*)我們把正整數(shù)由1到n的連乘n積，叫做n的階乘，用n!表示，即n!=nx(n1)x(n2)x.x2x1，并規(guī)定0!=1。全排列數(shù)公式可寫成An=n!.nn!由此，排列數(shù)公式可以寫成階乘式：Am=n

3、(n-1)(n-2)(n-m+1)=主要用n(n-m)!于化簡、證明等排列應(yīng)用題的主要解題方法有：直接法、間接法排除法、優(yōu)先法、捆綁法、插空法、定序問題除法處理1、直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算2、間接法排除法：先不考慮題目中的限制條件，求出所有的排列數(shù)，然后從中減去不符合條件的排列數(shù)，從而得到所求的排列數(shù)。因此間接法又稱排除法。3、優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置。例題：由0,1,2,3,4,5共六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中小于50萬又不是5個倍數(shù)的數(shù)有多少個？分別用直接法、優(yōu)先法、間接法4、捆綁法：在實際排列問題中，某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看成一個整體，

4、與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的部排序，這種方法稱為捆綁法，即“相鄰元素捆綁法例2：3名男生，4名女生，全體站成一排，男生必須在一起，有幾種排列方案？5、插空法：某些元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當(dāng)，也叫“不相鄰元素插空法例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相鄰，有幾種站法？6、定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前不一定相鄰，那么共有多少種不同的站法？(二)組合定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m&n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；組合

5、數(shù)用符號Cm表示n對組合定義的理解：(1)取出的m個元素不考慮順序，也就是說元素沒有位置要求，無序性是組合的特點(diǎn).(2)只要兩個組合中的元素完全一樣，那么不管元素的順序如何，都是一樣的組合.只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全一樣時，才是不同的組合排列與組合的區(qū)別：主要看交換元素的順序?qū)Y(jié)果是否有影響，有影響就是“有序，是排列問題；沒影響就是“無序，是組合問題。組合數(shù)公式：Amn(n1)(n2)(nm+1)n!Cm=n-=(n,meN*mn)nAmm!m!(nm)!m變式：Cm變式：Cmnn!n(n一1)(n-2)(m+1)m!(n一m)!(n一m)!二Cn一m(n,mgN*,且m,通常不直接計算Cm

6、,而改為計算Cn-m,這樣可以減少計算量n2nn為了使這個公式在m=n時也成立，我們規(guī)定C0=1，這只是一個規(guī)定，并沒有實際的n組合意義2、Cm=Cm+Cm-1n+1nn例：假設(shè)C3=C3+C4，那么n的值為nn一1n一1A.8B.7C.6口.不存在組合應(yīng)用題主要解題方法：直接法、間接法排除法、隔板法1、直接法、間接法見上例：在100個零件中有80個正品、20個次品，從中任意選2個進(jìn)展檢測，其中至少有一個次品的選法有多少種？2、隔板法：解決類似不定方程整數(shù)解的個數(shù)問題例：求方程x1+x2+x3+x4=10的正整數(shù)解的組數(shù)變式：將組成籃球隊的10個名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個名額，問名額的分

7、配方式有多少種？排列組合高考題一L、選擇題：1、（2021年高考全國卷理科7）某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，那么不同的贈送方法共有0A.4種B.10種C.18種D.20種2021年高考卷理科8某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在第四位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙不能排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有0A.36種B.42種C.48種D.78種2021年高考全國卷I理科6某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，假設(shè)要求兩類課程中各至少選一門，那么不同的選法共有0A.30種B35種C.

8、42種D.48種4、（2021年高考XX卷理科10）如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、F、F六個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色。那么不同的涂色方法共有00A.288種B.264種C.240種D.168種5、（2021年高考數(shù)學(xué)卷理科8現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加世博會志愿者效勞活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，那么不同安排方案的種數(shù)是0A.152B.126C.90D.546、（2021年高考卷理科7）在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列

9、數(shù)字也許重復(fù)表示一個信息，不同排列表示不同信息，假設(shè)所用數(shù)字只有。和1,那么與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字一樣的信息個數(shù)為0A.10B.llC.12D.15A.10B.llC.12D.152021年高考卷理科10由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是0A.72B.96C.108D.1442021年高考卷理科48名學(xué)生和2位第師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為A.A8A2B.A8C2C.A8A2D,A8C2898987879、（2021年高考全國2卷理數(shù)6將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6卡片放入3個不同的信封中.彳民設(shè)每個信封放2,其中

10、標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有A.12種B.18種C.36種D.54種10、（2021年高考市理科9）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，彳民設(shè)7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有0A.504種B.960種C.1008種D.1108種2021卷理2021年亞運(yùn)會組委會要從小、小、小、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作，假設(shè)其中小和小只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，那么不同的選派方案共有0A.36種B12種C.18種D.48種202

11、1卷理用。到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為0A.324B.328C.360D.6482021全國卷I理甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。假設(shè)從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有0A.150種B.180種C.300種D.345種14、（2021卷理）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，那么不同分法的種數(shù)為A.18B.24C.30D.3615、2021全國卷口理甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。那么甲、乙所選的課程中至少有1門不一樣的選法共有A.6

12、種B.12種C.30種D.36種16、2021卷理從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，那么不同的組隊方案共有A.70種B80種C.100種D.140種17、（2021卷理）從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，那么甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位0A85B56C49D282021卷理3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，假設(shè)男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，那么不同排法的種數(shù)是0A.360B.188C.216D.96二、填空題：1、（2021年高考卷理科12）用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個。2、2021年高考卷17有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重“立定跳“肺活量、“握力、“臺階五個工程的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個工程，且不重復(fù)。假設(shè)上午不測“握力工程，下午不測“臺階工程，其余工程上下午都各測試一人，那么不同的安排方式共有種。3、2021年高考卷理科14將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館效勞，不同的分配方案有種。4、2021卷理7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動。假設(shè)每