人教版初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點難點總結(jié)

1、初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的張口方向和大小.當(dāng)a0時,二次函數(shù)圖像向上張口;當(dāng)aVO時,拋物線向下張口.|a|越大,那么二次函數(shù)圖像的張口越小.1、決定對稱軸地點的要素一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的地點.當(dāng)a與b同號時即ab0,對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊那么對稱軸小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號可簡單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號時即ab0,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時即abV0,對稱軸在y軸右.事實上,b有其自己的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)分析式一次函數(shù)的斜率k的值.可經(jīng)過對

2、二次函數(shù)求導(dǎo)獲取.2、決定二次函數(shù)圖像與y軸交點的要素常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點.二次函數(shù)圖像與y軸交于0,c一、二次函數(shù)見解：1.二次函數(shù)的見解：一般地,形如,=?+法+c“,.是常數(shù),“二0的函數(shù),叫做二次函數(shù).這里需要重申：和一元二次方程近似,二次項系數(shù).0,而,c能夠為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).22.二次函數(shù)y=ax+/?+c的構(gòu)造特色：等號左邊是函數(shù),右邊是對于自變量X的二次式,X的最高次數(shù)是2?,人c是常數(shù),.是二次項系數(shù),是一次項系數(shù),.是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的根本形式1.二次函數(shù)根本形式：),=小的性質(zhì)：a的絕對值越大,拋物線的張口越小.的符張口方極點坐對稱性質(zhì)向

3、標(biāo)軸A-00+,y隨X的增大而增大；x0向上時,y隨x的增大而減??；x=0時,(0,0),軸y有最小值0.x0時,y隨x的增大而減??；x0時,y隨x的增大而增大；x=0時,6/0時,y隨.V的增大而增大；x0向上0,.y軸X=0時,y有最小值C.x0時,y隨x的增大而減??；4/?時,y隨X的增大而增大；x0,0X=h向上x=/?時,y時,y隨x的增大而減??；有最小值0.xh時,y隨x的增大而減?。粁ha/?時,y隨X的增大而增大；x0向上,kX=hx=/?時,y時,y隨x的增大而減??；有最小值k.xh時,y隨x的增大而減小；xh40向下,kX=hx=h時,y時,y隨x的增大而增大；有取大值k.

4、三、二次函數(shù)國象的平移.平移步驟：方法一：將拋物線分析式轉(zhuǎn)變?yōu)闃O點式),=4(爐+女,確立其極點坐標(biāo)(八)；保持拋物線y=/的形狀不變,將其極點平移到(人A)處,詳細(xì)平移方法以下：向上伏0)【或向下伏V.)】平移?個單位-向右(/0)或左仍向右50)【或左(0)】平移同個單位向右仇0)【或左(k0)】平移陽個堆位0)平移陽個玳位向上(Q0)【或下伏0)】Vy=?(.v-/j)4向上代0)【或下(代0)】平移次I個單位比妒+4y=ax-2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移,負(fù)左移；值正上移,負(fù)下移歸納成八個字“左加右減,上加下減.方法二：y=?+Z?x+c沿y軸平移：向上(下)平移?個單位

5、,y=x?+x+c變?yōu)閥=ax2+bx+c+in(或y=ax2+bx+c-m)y=ax2+/?x+c沿軸平移：向左(右)平移1個單位,y=ax2+bx+c變?yōu)閥=a(x+m)2+b(x+in)+c(或y=a(x-m)2+bx-m)+c)四、二次函數(shù)y=.刀-力-+A與y=?+x+c的比較從分析式上看,=“.L/7+A與=?+法+C是兩種不同樣的表達(dá)形式,后者經(jīng)過配方能夠獲取前者,即y=/x+3j+牛生,此中/?=_2,人僅二5.I2a4a2a4a五、二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化為極點式y(tǒng)=ax-hy+k,確立其張口方向、對稱軸及極

6、點坐標(biāo),此后在對稱軸雙側(cè),左右對稱地描點繪圖.一般我們采納的五點為：極點、與y軸的交點O,c、以及O,c對于對稱軸對稱的點2/?.c、與x軸的交點芭,0,占,0假定與x軸沒有交點,那么取兩組對于對稱軸對稱的點.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：張口方向,對稱軸,極點,與x軸的交點,與,軸的交點.六、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)1.留意.時,拋物線張口向上,對稱軸為極點坐標(biāo)為一身片Z當(dāng)X_2時,y隨X的增大而增大；2a2a當(dāng)X=_2時,y有最小值小二生.2a-4a2.當(dāng)4-時,2ay隨x的增大而減小;2a當(dāng)尤=_,時,有最大值當(dāng)主.2a.4a七、二次函數(shù)分析式的表示方法2+bx+c(a,b,e為常數(shù)

7、,“O)；H2.極點式：y=a(x-h)2+k(a,h,H左為常數(shù),“O)；3.兩根式：y=“-N(x)(x72)(“H.,N,七是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)).注意：任何二次函數(shù)的分析式都能夠化成一般式或極點式,但其實不是全部的二次函數(shù)都能夠?qū)懗山稽c式,只有拋物線與X軸有交點,即-44之0時,拋物線的分析式才能夠用交點式表示.二次函數(shù)分析式的這三種形式能夠互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項系數(shù)a二次函數(shù)y=I?+6+c中,a作為二次項系數(shù),明顯“H0.(1)當(dāng)0時,拋物線張口向上,a的值越大,張口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大；當(dāng)“o的前提下,當(dāng)0時,-A0,即拋物線對稱

8、軸在),軸的右邊.2ci-在“0時,-0,即拋物線的對稱軸在y軸右邊；2ci-當(dāng))=0時,-A=0,即拋物線的對稱軸就是),軸；2a當(dāng)/?o時,0,在),軸的右邊那么av0,2a歸納的說就是“左同右異總結(jié)：3.常數(shù)項c(1)當(dāng)c0時,拋物線與,軸的交點在x軸上方,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)0=0時,拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0；當(dāng)c0時,圖象落在x軸的上方,不論x為任何實數(shù),都有),0；2,當(dāng)“0拋物線與x軸二次三項式的值有兩個交點可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根A=0二次三項式的值一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根A3,與y軸交點的縱坐標(biāo)是一1

9、確立拋物線的分析式；2用配方法確立拋物線的張口方向、對稱軸和極點坐標(biāo).5.察看代數(shù)與幾何的綜合水平,常有的作為專項壓軸題.【例題經(jīng)典】由拋物線的地點確立系數(shù)的符號例11二次函數(shù)v=/+bx+c的圖像如圖1,那么點MS,在aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2二次函數(shù)y二ax,bx+ca、a#=0的圖象如圖2所示,那么以下結(jié)論：b同號；當(dāng)x=1和x=3時,值只好函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2時,x的取0.此中正確的個數(shù)是D.4個A.1個B.2個C.3個【談?wù)摗颗鍜佄锞€的地點與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的要點.例2.二次函數(shù)尸ax?+bx+c的圖象與x軸交于點-2,

10、0、xi,0,且1xK2,與y軸的正半軸的交點在點0,2的下方.以下結(jié)論：ab0;4a+c0,此中正確結(jié)論的個數(shù)為A1個B.2個C.3個D.4個會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)分析式例3.：對于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,那么拋物線的極點坐標(biāo)為A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)答案：C例4、如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形挪動,直到AB與CD重合.設(shè)x秒時,方形重疊三角形與正局部的面積為ym2.(1)寫出y與x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x=2,時,y分別是多少(3)當(dāng)重疊局部的

11、面積是正方形面積的一半時,三角形挪動了多長時間求拋物線極點坐標(biāo)、對稱軸.例5、拋物線y=x2+x-?22(1)用配方法求它的極點坐標(biāo)和對稱軸.(2)假定該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.【談?wù)摗勘绢}(1)是對二次函數(shù)的“根本方法的察看,第(2)問主要察看二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.例6、函數(shù)),=,/+以+c的圖象經(jīng)過點A(c,-2),2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x二3.題目中的矩形框局部是一段被墨水污染了沒法識其他文字.(1)依據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有的信息,你可否求出題中的二次函數(shù)分析式假定能,請寫出求解過程,并畫出二次函數(shù)圖象；假定不可以夠,請說明原因.(2)請你依據(jù)已有的

12、信息,在原題中的矩形框中,填加一個適合的條件,把原題增補圓滿.談?wù)摚簩τ诘?小題,要依據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)分析式,就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3看作來用,再聯(lián)合條件“圖象經(jīng)過點Ac,2,就能夠列出兩個方程了,而分析式中只有兩個未知數(shù),所以能夠求出題中的二次函數(shù)分析式.對于第2小題,只需給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)分析式是第1小題中的分析式就能夠了.而從不同樣的角度考慮能夠增添出不同樣的條件,能夠考慮再給圖象上的一個隨意點的坐標(biāo),能夠給出極點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等.解答1依據(jù)y=L2+bx+c的圖象經(jīng)過點Ac,-2,圖象的對稱軸是x=3,2所以所求二次函

13、數(shù)分析式為,=Ld-31+2.圖象以以下列圖.22在分析式中令尸0,得:一一3工+2=0,解得再=3+?工2=3-6所以能夠填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是3+6,0或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是3-6,0.令x=3代入分析式,得,=-工2所以拋物線y=L/一3工+2的極點坐標(biāo)為3,-3,22所以也能夠填拋物線的極點坐標(biāo)為3,-*等等.2函數(shù)主要關(guān)注：經(jīng)過不同樣的門路圖象、分析式等認(rèn)識函數(shù)的詳細(xì)特色；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程,變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；滲套函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與有關(guān)知識的聯(lián)系.用二次函數(shù)解決最值問題例1邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形AB上求一點

14、P,使矩形PNDM有最大面積.ABCDE如圖,此中AF=2,BF=1.試在【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題,把相像三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的聯(lián)合在一同,能很好察看學(xué)生的綜合應(yīng)用水平.同時,也給學(xué)生研究解題思路留下了思想空間.例2某產(chǎn)品每件本錢10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x元與產(chǎn)品的日銷售量y件之間的關(guān)系以下表：X123?假定日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).元500?1求出日銷售量y件與銷售價x元的函數(shù)關(guān)系y件221?式；500?2要使每天的銷售收益最大,每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元此時每天銷售收益是多少元【分析】1設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為尸kx+b.那么口即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.2

15、設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元,所獲銷售利泗為w元w=x-1040-x=-X2+50X-400=-X-252+225.產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元,此時每天獲取最大銷售收益為225元.【談?wù)摗拷鉀Q最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題近似,也有差別,主要有兩點：1設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為什么值時,什么最大或最小、最省的設(shè)問中,“某某要設(shè)為自變量,“什么要設(shè)為函數(shù)；2問的求解依賴配方法或最值公式,而不是解方程.二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1.二次函數(shù)y=Y-4x-7的極點坐標(biāo)是A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3)2.把拋物線,=-2/向上平移1個單位,獲取的拋物線是A.y=-2(

16、xB.y=-2(x-l)2C.y=-2x2+1D.y=-2x2-1+1)23.函數(shù)y=kx1-k和y=&%W0在同一x角坐標(biāo)系中圖象能是圖中的4.二次函數(shù)產(chǎn)/+以+心工.的圖象以以下列圖,那么以下結(jié)論:a,b同號；當(dāng)x=l和x=3時,函數(shù)值相等；4+=0當(dāng)y=-2時,x的值只好取0.此中正確的個數(shù)是個個C.3個D.4個5.二次函數(shù)y=點+/+caW0的極點坐標(biāo)-1,及局部圖象如圖,由圖象可知對于x的一元二次方程以+c=o的兩個才艮分另是凡=1-3和叫=6.二次函數(shù),=公+/?+0的圖象以以下列圖,那么點ac*c在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.方程2入-/=2的正根的個數(shù)為X

17、個個個.3個8.拋物線過點A2,0,B-1,0,與,軸交于點C,且0C=2.那么這條拋物線的分析式為A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2C.y=x2-x-2y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2y=x2+x+2二、填空題9.二次函數(shù)y=/+bx+3的對稱軸是x=2,那么=o10.拋物線尸-2x+32+5,假如y隨x的增大而減小,那么x的取值范圍是.11.一個函數(shù)擁有以下性質(zhì)：圖象過點一1,2,當(dāng)XV0時,函數(shù)值y隨自變量X的增大而增大；知足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的分析式是只寫一個即可.12.拋物線y=2x-2尸-6的極點為C,直線丁=-履+3過點C,那么這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積

18、為O13.二次函數(shù),=2/-4工-1的圖象是由,=2/+加+.的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位獲取的,那么b=,c=o14.如圖,一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是16米,跨度是40米,在線段AB上離中央M處5米的地方,橋的高度是TT取.三、解做題：15.二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3=O,圖象經(jīng)過且與,軸的交點為0,3.2c_1求這個二次函數(shù)的分析式；ab當(dāng)X為什么值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化叱這個函數(shù)的函數(shù)值,隨x的增大而增大16.某種鞭炮點燃后,其上漲高度h米和時間t秒符合關(guān)系式力=心娟0t2W2,此中重力加快度g以10米/秒2計算.這類鞭炮點燃后以v0=20米/

19、秒的初速度上升,1這類鞭炮在地面上點燃后,經(jīng)過多少時間隔地15米2在鞭炮點燃后的秒至秒這段時間內(nèi),判斷鞭炮是上漲,或是降落,并說明原因.17.如圖,拋物線y=/+法-.經(jīng)過直線1=工-3與坐標(biāo)1y軸的兩個交點A、B,此拋物線與x軸的另一個交點為-C,拋物線極點為D./1求此拋物線的分析式；8/2點P為拋物線上的一個動點,求使S?“：S?m=5：4的點P的坐標(biāo).18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑資料(這里的代銷是指廠家先免費供給貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)辦理).當(dāng)每噸售價為260元時,月銷售量為45噸,該建材店為提高經(jīng)營收益,準(zhǔn)備采納降價的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場檢查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每降落10元時,月銷售量就會增添7.5噸.綜合考慮各樣要素,每售出一噸建筑資料共需支付廠家及其他開銷100元.設(shè)每噸資料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月收益為y(元).(1)當(dāng)每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍)