游龍板運(yùn)動(dòng)分析

1、-. z.2014年數(shù)學(xué)建模論文第九套題 目： 二輪滑板的最正確運(yùn)動(dòng)方式 專業(yè)、*： 儀126 關(guān)姍 專業(yè)、*： 自122 牛佳偉 專業(yè)、*： 機(jī)124 趙茜 二輪滑板的最正確運(yùn)動(dòng)方式摘要游龍板是一項(xiàng)新型體育運(yùn)動(dòng)，他利用了巧妙的力學(xué)原理，借助于兩輪的擺動(dòng)產(chǎn)生前進(jìn)的動(dòng)力。本文主要研究人體扭動(dòng)角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型；針對(duì)問題，由于游龍板有兩個(gè)特殊的輪子，可以將板的橫向擺動(dòng)轉(zhuǎn)化成向前的推動(dòng)力。首先我們通過分析其中一個(gè)輪子的構(gòu)造得出推動(dòng)力產(chǎn)生的原因：一是支持力對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進(jìn)而推出水平方向的分力推動(dòng)力與旋轉(zhuǎn)角度

2、的關(guān)系；接著我們得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(t)的關(guān)系，即加速度a與時(shí)間t的關(guān)系，畫圖并截取一個(gè)周期，通過多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)，得出加速度a與時(shí)間t的一元二次方程，加速度a對(duì)時(shí)間t求積分得到前進(jìn)速度v與t的關(guān)系；最后我們把t=代回得到前進(jìn)速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系：畫出圖像得到：當(dāng)=57.3時(shí)，前進(jìn)速度v最大為0.898m/s。關(guān)鍵詞：二輪滑板的最正確運(yùn)動(dòng)方式 推動(dòng)力 多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)一、問題重述二輪滑板又稱作為兩輪滑板、陸地沖浪板是一種新型的滑板，和普通的四輪滑板不一樣，它只有兩個(gè)輪。因其運(yùn)動(dòng)起來像龍和蛇一樣扭動(dòng)，所以國內(nèi)多大稱為游龍板或活力板。它以人體運(yùn)動(dòng)理論和巧妙的力學(xué)原理，主要

3、利用身體(腰部及臀部)、雙腳扭動(dòng)及手的擺動(dòng)來驅(qū)動(dòng)活力板前進(jìn)。使滑板運(yùn)動(dòng)得到淋漓盡致的發(fā)揮?，F(xiàn)請(qǐng)建立人身體扭動(dòng)角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型，并找到最正確扭動(dòng)角度。二、符號(hào)說明 靜摩擦力 F旋轉(zhuǎn)角度支持力對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L加速度a時(shí)間t靜摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角周期T三、問題假設(shè)游龍板前后兩輪機(jī)構(gòu)一樣，人體用力均勻。輪子的旋轉(zhuǎn)角度與時(shí)間t成正弦函數(shù)?；寮拜喿拥馁|(zhì)量完好不會(huì)隨外界的影響而損壞。四、問題分析本文主要研究人體扭動(dòng)角度與平底滑板前進(jìn)速度的關(guān)系模型；針對(duì)問題，由于游龍板有兩個(gè)特殊的輪子，可以將板的橫向擺動(dòng)轉(zhuǎn)化成向前的推動(dòng)力。首先我們通過分析其中一個(gè)輪子的構(gòu)造得出推動(dòng)力產(chǎn)

4、生的原因：一是支持力對(duì)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩L,二是靜摩擦力F對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩L；其次令L=L，得到靜摩擦力F與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，進(jìn)而推出水平方向的分力推動(dòng)力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系；接著我們假設(shè)支持力N=,=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(t)的關(guān)系，即加速度a與時(shí)間t的關(guān)系，畫圖并截取一個(gè)周期T=0-1.6，通過多元線性回歸和殘差檢驗(yàn)，得出加速度a與時(shí)間t的一元二次方程，加速度a對(duì)時(shí)間t求積分得到前進(jìn)速度v與t的關(guān)系；最后我們把t=代回得到前進(jìn)速度v與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，并得出結(jié)果。五、模型建立與求解5.1建立推動(dòng)力與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系模型5.1.1 輪子的構(gòu)造分析由于游龍板前后兩個(gè)輪子構(gòu)造

5、一樣，只分析其一即可。輪子是通過輪架和一傾斜的轉(zhuǎn)軸安裝在板上，輪子和輪架可以繞轉(zhuǎn)軸的軸線pp自由轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖1示：圖1中用線段AB和BO代表轉(zhuǎn)軸和輪架，O點(diǎn)為輪子的圓心，D點(diǎn)為輪子的觸地點(diǎn)，C點(diǎn)為AB的延長線與地面的交點(diǎn)。輪子的特殊構(gòu)造表達(dá)在兩個(gè)地方：一是轉(zhuǎn)軸AB是傾斜的，設(shè)與豎直方向的夾角為；二是C點(diǎn)與D點(diǎn)是不重合的。且落在D點(diǎn)前面。當(dāng)人站在板上時(shí)，地面對(duì)后輪D點(diǎn)的支持力設(shè)為N。人的雙腳在板面上與前進(jìn)方向相垂直的的方向擺動(dòng)，輪子和輪架就會(huì)繞轉(zhuǎn)軸PP擺動(dòng)進(jìn)而產(chǎn)生向前的推動(dòng)力。5.1.2推動(dòng)力產(chǎn)生原因分析如圖2所示：設(shè)輪架繞轉(zhuǎn)軸PP擺過任意角度，輪子擺過一定角度后，C,D兩點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，設(shè)

6、為C和D。輪子受地面支持力N的方向豎直向上，D點(diǎn)與地面間靜摩擦力設(shè)為F，與水平前進(jìn)方向夾角為90-，做直線DT/pp，DS與滑板前進(jìn)方向一致。1支持力N對(duì)轉(zhuǎn)軸PP的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計(jì)算支持力N產(chǎn)生使輪子繞轉(zhuǎn)軸PP回?cái)[的轉(zhuǎn)矩。N在垂直于DT方向的分力N(也垂直于pp)是使輪子繞pp轉(zhuǎn)動(dòng)的有效力，其大小為Nsin。產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計(jì)算將圖2對(duì)應(yīng)的局部放大如圖3所示。做DH垂直于滑板前進(jìn)方向的水平線CH與H點(diǎn)，則DH垂直于面BCH。由于兩平面TDN和BCH平行，所以DN/平面BCH，則分力N所在直線到轉(zhuǎn)軸pp的距離就等于D點(diǎn)到平面BCH的距離。即DH的長度。由圖可知：DH=CDsin即為N對(duì)轉(zhuǎn)軸p

7、p的力臂。則，支持力N對(duì)轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩L為：L=NsinDH=NsinCDsin(2)靜摩擦力F對(duì)轉(zhuǎn)軸pp的轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力的計(jì)算如圖4，靜摩擦力F產(chǎn)生阻止輪子回?cái)[的力矩，F(xiàn)在垂直于DT的方向的分力F也垂直于pp為產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的有效力。做輔助線TSDS于S點(diǎn)，TRDF于R點(diǎn)，連接SR，可證明：SRDF.從而可以求出F與DT的夾角TDR的大小，設(shè)為，可求出：cos=所以sin=則F=Fsin=F產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的力臂的計(jì)算如圖4，轉(zhuǎn)軸pp平行于平面TDF，所以，F(xiàn)對(duì)pp傳動(dòng)力臂為pp到平面TDF的距離、過C點(diǎn)做平面TDF的垂線交平面TDF于點(diǎn)G，連接G、D兩點(diǎn)，CG即為力臂?？梢宰C明：CDG=SRT,設(shè)為，

8、由圖知：tg=所以 sin=則CG=CDsin=可以導(dǎo)出F阻止輪架回?cái)[的力矩L:L=FCG=CDF(3)推動(dòng)力大小令12中的L=L,可求出：F=在輪子繞轉(zhuǎn)軸擺過任意角度時(shí)，滑板受到推動(dòng)力實(shí)際上是F在水平前進(jìn)方向上的分力。F水平=Fsin=5.2 前進(jìn)速度v與輪子旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系模型5.1.1 加速度與旋轉(zhuǎn)角度關(guān)系假設(shè)支持力N=, 轉(zhuǎn)軸與豎直方向夾角=30，輪子的旋轉(zhuǎn)角速度=2，得出加速度a與旋轉(zhuǎn)角度=sin(2t)的關(guān)系： a=得到加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式：a=根據(jù)加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式，我們畫出圖5：圖5加速度a與時(shí)間t的關(guān)系由圖可知：加速度a與時(shí)間t呈周期性變換，我們?nèi)r(shí)間的一個(gè)周期T=0-

9、1.6；得到圖6:；由于加速度a與時(shí)間t的關(guān)系式過于復(fù)雜，我們進(jìn)展線性回歸分析，并對(duì)其進(jìn)展殘差分析，如圖7，圖8；得出系數(shù)b1的置信區(qū)間為-0.5819 0.0202，系數(shù)b2的置信區(qū)間為4.5273 6.2727,系數(shù)b3的置信區(qū)間為-3.9392 -2.8867；,接近于1，說明回歸方程顯著，F(xiàn)= 96.9017,F越大，方程越顯著，p= 0.0467,小于0.05，說明回歸模型成立?；貧w方程為：對(duì)加速度關(guān)于時(shí)間t積分可得：最后，由=sin2t得t=,將其代回上式，得：用matlab畫出圖9由圖可看出，當(dāng)=57.3時(shí)，v最大為0.898m/s.。即在輪子旋轉(zhuǎn)了一個(gè)周期T內(nèi)，前進(jìn)速度v隨旋轉(zhuǎn)

10、角度的增大而增大，當(dāng)=57.3時(shí)，v最大為0.898m/s.，隨后速度幾乎不變；假設(shè)考慮旋轉(zhuǎn)角度為0時(shí)，即，輪子停頓旋轉(zhuǎn)時(shí)，前進(jìn)速度會(huì)隨時(shí)間的增大而減小，此時(shí)的阻力F=六、模型評(píng)價(jià)使游龍板前進(jìn)的推動(dòng)力來源于輪子與地面間的靜摩擦力。輪子的構(gòu)造決定了只要輪子繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，輪子與地面間就會(huì)有靜摩擦力F,F沿運(yùn)動(dòng)方向的水平方向驅(qū)動(dòng)游龍板前進(jìn)，所以在光滑的路面上，靜摩擦力不存在，游龍板無法前進(jìn)。擦作者的雙腳在板面上要不斷的用力前后擺動(dòng)，目的是保持一直存在，所以必須依靠外力才能夠保持，即F腳。如圖2，F(xiàn)腳=Fcos所以，系統(tǒng)的動(dòng)能還是來源于人做功。輪子的構(gòu)造使變化時(shí)，會(huì)牽扯到系統(tǒng)重心上下變化。=0時(shí)

11、，系統(tǒng)重心最低，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，=180時(shí)，系統(tǒng)重心最高，處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。所以，游龍板只能朝一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，不能倒滑。4未考慮到游龍板停頓擺動(dòng)時(shí)，前進(jìn)速度會(huì)隨時(shí)間的增大而減小。我們僅考慮的是輪子在一個(gè)周期內(nèi)速度隨旋轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系。七、參考文獻(xiàn)【1】錢明 創(chuàng)新教材豐富教學(xué)資源游龍板案例分析期刊論文中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊201033【2】王占軍 一種群眾的極限運(yùn)動(dòng)工程活動(dòng)板期刊論文運(yùn)動(dòng)20099【3】苗英愷 活力板推動(dòng)力來源分析期刊論文科教文匯200825附錄加速度a與時(shí)間t的關(guān)系t=0:0.1:5;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)

12、/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)一個(gè)周期內(nèi)加速度a與時(shí)間t的關(guān)系t=0:0.1:1.6;a1=2.5*sin(sin(2*t).2;a2=(1-0.25*(sin(sin(2*t).2)/(1+(cos(sin(2*t).2)/3)(0.5);a=a1./a2plot(t,a)回歸分析與殘差檢驗(yàn)t=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6;a=0 0.1124 0.4161 0.8266 1.2476 1.6049 1.8606 2.0056 2.0429 1.9746 1.7974 1.5100 1.1286 0.7015 0.3120 0.0571 0.0098;T=ones(17,