XX8屆清華大學中學生標準學術能力診斷性測試(11月)數(shù)學(理)試卷

1、中學生標準學術能力診療性測試2017年11月測試數(shù)學理科試卷第卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項切合題目要求.1.已知會合Mx|yln32xx2，會合Ny|y4x2，則圖中暗影部分表示的會合為A.1,0U3,B.0,3C.0,3D.1,0U3,2.已知命題p：若kx2y2在x軸上的8，則方程kk1表示焦點358雙曲線；命題q：在ABC中，若sinAsinB，則AB，則以下命題為真命題的是A.qB.pqC.pqD.pq3.魏晉時期數(shù)學家劉徽開創(chuàng)割圓術，他在九章算術方田章圓填術中指出：“割之彌細，所失彌少。割之又割，12以致于不可

2、以割，則與圓周合體而無所失矣?！边@是一種無窮與有限的轉變過程，比方在正數(shù)中的121L1“”代表無窮次重復，設x12，則可利用方程x12求得x，近似的可得正數(shù)555L121x1L1A.3B.5C.7D.94.如圖，在矩形OABC中的曲線分別是ysinx,ycosx,A,0,C0,1，在矩形OABC內(nèi)隨機取2一點，則此點取自暗影部分的概率為431421A.B.C.431D.4215.下邊的程序框圖的算法思路根源于我國古代數(shù)學名著九章算術中的“更相減損術”。若輸入a,b的分別為98和63，履行該程序框圖后，輸出a的值6.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的最長棱為A.19B.22C.5D.277

3、.數(shù)列an中，a11且anan12n1n2，則數(shù)列2n1的anan1前n項和為A.11B.112n12n11C.11111122nD.122n18.已知雙曲線x2y2A1,A2，虛軸的兩個端點分別為B1,B2，若四邊形a21a0的左、右極點分別為54A1B1A2B2的內(nèi)切圓的面積為18，則雙曲線的離心率為A.2B.3C.2D.51x3在x0處的切線與直線nx1n9.已知函數(shù)fx3sinxy60平行，則x2的睜開式中6x的常數(shù)項為A.-20B.20C.-15D.1510.將函數(shù)ysin2x3cos2x1的圖象向左平移個單位，再將全部點的橫坐標縮短為本來的1，縱122坐標不變，獲得函數(shù)ygx的圖象

4、，則下邊對于函數(shù)ygx的表達不正確的選項是A.函數(shù)gx的周期為2B.函數(shù)gx的一個對稱中心為,08C.函數(shù)gx在區(qū)間4,內(nèi)單一遞加2D.當xkz時，函數(shù)gx有最小值-14k211.已知定義在R上的函數(shù)fx知足fx4fx2,gxsinx2，若函數(shù)fx的圖象與函數(shù)gxn圖象的交點為x1,y1,x2,y2,L,xn,yn，則xiyii1A.nB.2nC.3nD.4n12.設點Mx,fx,Nx,gx2分別是函數(shù)fxlnx1x2和gx2x6圖象上的點，1122x11,x21，若直線MN/x軸，則M,N兩點間距離的最小值為5B.9C.59A.42D.42二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.rr

5、rrrrr13.已知a,b的夾角為，且b2a，則2ba與a的夾角的正切值為.4xy414.已知變量x,y知足xy3，則x25xyy2的取值范圍為.x1,y1xy15.已知正四周體ABCD的棱長為，四個極點都在球心O的球面上，點P為棱BC的中點，過P作球O的截面，則截面面積的最小值為.16.過拋物線x24y的焦點F作直線l與拋物線交于A,B兩點，記拋物線在A,B兩點處的切線l1,l2的交點為P,則ABP面積的最小值為.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必需的文字說明或推理、驗算過程.17.（此題滿分12分）已知ABC的面積為S,其外接圓半徑為R,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,

6、b,c,2Rsin2Asin2C3absinB.，1）求角C;S2（2）若sin22，求c及ABC的面積AsinBsinC,a42R18.（此題滿分12分）如圖，多面體APCBE中，四邊形PCBE是直角梯形，且PCBC,PE/BC，平面PCBE平面ABC,ACBE,M是AE的中點，N是PA上的點.（1）若MN/平面ABC，求證：N是PA中點；（2）若PE1BC，且ACBCPC，求二面角EABC的3余弦值.19.（此題滿分12分）某電視廠家準備在元旦時期舉辦促銷活動，現(xiàn)依據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確立此次廣告費支出。廣告費支出xi和銷售量yi（萬臺）的數(shù)據(jù)以下：（1）若用線性回歸模型擬合y與

7、x的關系，求出y對于x的線性回歸方程；（2）若用ycdx模型擬合y與x的關系可得回歸方程y?1.630.99x，經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請用R2說明選擇哪個回歸模擬模型更好。3）已知收益z與x,y的關系為z200yx2（，依據(jù)（）的結果回答以下問題：廣告費x20時，銷售量及收益的預告值是多少？廣告費x為什么值時，收益的預告值最大？（精準到0.01）20.（此題滿分12分）已知圓B:x22216，定點A2,0，P是圓周上隨意一點，線段yAP的垂直均分線與BP交于點Q.（1）求點Q的軌跡C的方程；（2）直線l過點A且與x軸不重合，直線l交曲線C于M,N兩點，過A且

8、與l垂直的直線與圓B交于D,E兩點，求四邊形MDNE面積的取值范圍.21.（此題滿分12分）已知函數(shù)fxln1ax2x.x（1）議論fx的單一性；（2）若fx在定義域內(nèi)有兩個極值點x1,x2，求證：fx1fx232ln2.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，假如兩題都做，則依據(jù)所做的第一題給分；作答時，請用2B鉛筆將答題卡上相應的題號涂黑。22.（此題滿分10分）選修4-4：參數(shù)方程與極坐標系在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為x3t（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的y3t正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為2cos222sin23.1）求曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；2）過曲線C上隨意一點P作與l夾角為45o的直線，交l于點A，求PA的最大值與最小值.23.（此題滿分1