余弦定理在生活中應(yīng)用

1、關(guān)于余弦定理在生活中的應(yīng)用第1頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四1、向量的數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證明：余弦定理的著推導(dǎo)過(guò)程第2頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理的著推導(dǎo)過(guò)程思考題：若 ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：第3頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知三邊求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和

2、其他兩個(gè)角。推導(dǎo)公式：第4頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四ABCabc余弦定理的證明證明：以CB所在的直線為X軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：坐標(biāo)法第5頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理的證明bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：坐標(biāo)法第6頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理的證明ABCabcD當(dāng)角C為銳角時(shí)證明：過(guò)A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中三角法第7頁(yè)，

3、共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理的證明當(dāng)角C為鈍角時(shí)證明：過(guò)A作AD CB交BC的延長(zhǎng)線于D在Rt 中在 中bAacCBD第8頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四例.已知b=8,c=3,A=600求a. a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 定理的應(yīng)用解：a=7第9頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四余弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用 正、余弦定理在測(cè)量、航海、物理、幾何、天體運(yùn)行等方面的應(yīng)用十分廣泛，解這類應(yīng)用題需要我們吃透題意，對(duì)專業(yè)名詞、術(shù)語(yǔ)要能正確理解，能將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題.求解此類

4、問(wèn)題的大概步驟為： （1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；第10頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形；（3）將要求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，演算過(guò)程要簡(jiǎn)練，計(jì)算要準(zhǔn)確，最后作答.第11頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四1.測(cè)量中余弦定理的應(yīng)用例1某觀測(cè)站在目標(biāo)南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測(cè)得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達(dá)，此時(shí)測(cè)得距離

5、為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據(jù)已知作出示意圖， 分析已知及所求，解，求角. 再解，求出，再求出，從而 求出（即為所求）.第12頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四解：由圖知，在 中，由余弦定理，得.即.整理，得， 解得 或 （舍）.故 （千米）.答：此人所在D處距還有15千米.評(píng)注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理.東北第13頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四 2.航海中余弦定理的應(yīng)用例2在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北

6、偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以海里/小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時(shí)間？分析：注意到最快追上走私船， 且兩船所用時(shí)間相等，可畫(huà)出 示意圖，需求的方位角及由到 所需的航行時(shí)間.第14頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四解：設(shè)緝私船追上走私船所需時(shí)間為小時(shí)，則有 ，在 中， ， ， ，根據(jù)余弦定理可得.根據(jù)正弦定理可得. ，易知方向與正北方向垂直，從而.在 中，根據(jù)正弦定理可得： ， ， ，則有 ， 小時(shí) 分鐘.所以緝私船沿北偏東 方向，需 分鐘才能追上走私船.評(píng)注：認(rèn)真分析

7、問(wèn)題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應(yīng)用的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.第15頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四3.航測(cè)中余弦定理的應(yīng)用例3飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過(guò)秒后又看到山頂?shù)母┙菫椋笊巾數(shù)暮０胃叨龋ň_到m）.分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形， 如圖，這樣可在和中解出山頂?shù)?航線的距離，然后再根據(jù)航線的 海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?第16頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四解：設(shè)飛行員的兩次觀測(cè)點(diǎn)依次為 A和B，

8、山頂為 ，山頂?shù)街本€的距離為 .如圖，在 中，由已知，得 ， ， .又 （km）,根據(jù)正弦定理，可得 ，進(jìn)而求得， （m）,可得山頂?shù)暮０胃叨葹?（m）.評(píng)注：解題中要認(rèn)真分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形，正確運(yùn)用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問(wèn)題的答案. 第17頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四4.炮兵觀測(cè)中余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)和處，已知米，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得，（如圖），求炮兵陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，題中的四點(diǎn)、可構(gòu)成四個(gè)三角形.要求的長(zhǎng)，由于，只需知道和的長(zhǎng)，這樣可選擇在和中應(yīng)用定理求解.第18頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四第19頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四綜上，通過(guò)對(duì)以上例題的分析，要能正確解答實(shí)際問(wèn)題需：（1）準(zhǔn)確理解有關(guān)問(wèn)題的陳述材料和應(yīng)用的背景；（2）能夠綜合地，靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決帶有實(shí)際意義的與生產(chǎn)、生活、科學(xué)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題.第20頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)33分，星期四定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減 去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。推導(dǎo)公式：小結(jié)：第21頁(yè)，共23頁(yè)，2022年，5月20日，