數(shù)值分析課后答案1

1、第一章 習題解答ln xx0 x1 設， 的相對誤差限為 ，求的誤差。xx解：設 的準確值為 *( | x x | /|x*| ) 所以e(ln x)=| ln x ln x | =| x x | | (ln x)|( | x x | / | x*| ) *x=另解：e(ln x)=| ln x ln x | =| ln (x / x )|= | ln ( x x x / x ) |+ )*= | ln ( x x / x) | ( | x x | /|x)+1 *| ) *x = y =2.1200 都是由準確值經(jīng)四舍五入而得到的近似值。求絕對誤差限2 設( x )解：|2.18 和( y

2、)和。e(x) | = |e()|e(y) | = |e()|2.1200 0.00005 ，所以2.18 0.005 ，|( x )=0.005， ( y ) =0.00005。3 下近似值的絕對誤差限都是 0.005 ，問各近似值有幾位有效數(shù)字x =x = x =0.0312，1.38，0.00086123x xx有效解：根據(jù)有效數(shù)字定義，絕對誤差限不超過末位數(shù)半個單位。由題設知， ， ，123xxx數(shù)末位數(shù)均為小數(shù)點后第二位。故 具有三位有效數(shù)字， 具有一位有效數(shù)字， 具有零123位有效數(shù)字。x4 已知近似數(shù) 有兩位有效數(shù)字，試求其相對誤差限。e (x) |解：|5 設 5 10 2。r

3、y =y = y 783/( n = 12，)100y計算到28，按遞推公式100。若取0nn-1783 y27.982 將有多大的誤差？100y = 28783 x=27.982 所引起。記 27.982，解：由于初值沒有誤差，誤差是由。則利用理論準確成立的遞推式0= x 783y = y 783/100nn-1兩式相減，得Y = Y x / 100 ( Y = y )nn-100e( Y ) = Y y = Y y ( x 783)/ 100nnnn-1n-1所以，有e( Y ) = e( Y ) / 100nn-1利用上式求和 100100eY ) = eY )nn1n1n1化簡，得e(

4、 Y ) = e( Y ) = 1000y所以，計算的誤差界為100( ) 0.5 0.001 5 10Y = = 4100 x x + 1 = 02b 4ac至少6 求方程的兩個根，問要使它們具有四位有效數(shù)字，D=2要取幾位有效數(shù)字？ 如果利用韋達定理，D 又應該取幾位有效數(shù)字？解：在方程中，a = 1b = 56c= 1，故D= 56 455.96427，取七位有效數(shù)字。21由求根公式b+ b 4ac 56+55.96427 0.035732x =1=2a22具有四位有效數(shù)字，而b b 4ac 5655.96427 111.964272x =2=2a22則具有八位有效數(shù)字。x如果利用韋達定

5、理，首先計算出 ，利用212x =1=x56+ 56 42256 4 D=255.96 四位有效數(shù)字即可保證方程的兩個根均具有四位有效數(shù)x =x =55.98。字。此時有，0.01786，121s = gtg t t s2 的測量有0.1 增加時 的絕7 設2對誤差增加，而相對誤差減小。es) = g t e(，e () =2 (t) / t(t) t|0.1，所以，對這一問題，當 增加證明 由于。而|rs時 的絕對誤差增加，而相對誤差減小。 y y = 10y 1 (n =)y = 28 序列滿足遞推關系1，2， 。若取1.41（三y時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？nnn-10y 計算到0

6、10 x =e(x ) =2解 取得1.41，記1.41 。根據(jù)00 x = 10 x 1 (n = 1，2，)nn-1e(x ) = 10e(x ) ( n = 1，2，10)nn-1所以ye(x ) = 10 e(x )10100ye(x )| = 10 |e(x )|0.5108。10從 計算到時誤差估計為： |010100這是一個數(shù)值不穩(wěn)定的算法。f(x) =ln(x x 1)f( )92，求 30 的值，若開平方用六位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多大？若改用另一等價公式ln(x x 1) = ln(x+ x 1)22計算，求對數(shù)時誤差有多大？y = x x 1x= y=30 時， 30

7、29.9833=0.0167 有三位有效數(shù)字，其相對解 令2，則當誤差為 10-3。由第一題結論，求對數(shù)時誤差為 10 -3。z = x+ x 1x= y=30 時， 30 + 29.9833= 59.9833 有六若改用等價公式，令2，則當位有效數(shù)字，其相對誤差為 10-6。由第一題結論，求對數(shù)時誤差為 10-6。ni a b10 已知有求和式iji1 j1（1） 試統(tǒng)計需要用多少次乘法和加法才能計算出該和式的值；（2） 為了減少計算工作量，將和式作等價變換，變換后需要多少次乘法和加法。解 （1）所用乘法次數(shù)：1+2+3+n = n( n+ 1) /2，2(n 1) ( n 1) =( n

8、+ 2 ) ( n 1) /2；加法次數(shù)：0+1+2+ nia b （2）將和式等價變形為：iji1j1n次，加法次數(shù)不變，仍為( n + 2 ) ( n 1) /2。所用乘法為x x xxx11 試構造一個算法，對輸入的數(shù)據(jù) ， ， ， ，以及 012n( x x ) ( x x ) ( x x )( x x )為的計算結果。012n解 算法如下：第一步：輸入x；x x xx M (x x )；k 0；， ， ， ，012n0M M (x x )；k k+1；第二步：0nkM第三步：判斷，若 ，則轉第二步；否則輸出 ，結束。1 1 1=1 + +L12 利用級數(shù)公式可計算出無理數(shù) 的近似值。由于交錯級數(shù)的部43 5 7S| a |。分和數(shù)列在其極限值上下擺動，故截斷誤差將小于第一個被舍去的項的絕對值nn+1試分析，為了得到級數(shù)的三位有效數(shù)字近似值，應取多少項求和。解 由