專題04根與系數關系培優(yōu)專題

1、專題04根與系數關系閱讀與思考根與系數的關系稱為韋達定理，其逆定理也成立，是由16世紀的法國數學家韋達所發(fā)現的.韋達定 理形式簡單而內涵豐富，在數學解題中有著廣泛的應用，主要體現在：.求方程中字母系數的值或取值范圍；.求代數式的值；.結合根的判別式，判斷根的符號特征；.構造一元二次方程；.證明代數等式、不等式.當所要求的或所要證明的代數式中的字母是某個一元二次方程的根時，可先利用根與系數的關系找 到這些字母間的關系，然后再結合已知條件進行求解或求證，這是利用根與系數的關系解題的基本思路， 需要注意的是，應用根與系數的關系的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，所以，應用根與系數的 關系解題時，必

2、須滿足判別式三0.例題與求解【例1】設關于x的二次方程(m2 -4)x2 + (2m-1)x +1 = 0 (其中m為實數)的兩個實數根的倒數和為s，則s的取值范圍是.【例2】如果方程(X-1)(x2 - 2x + m) = 0的三個根可以作為一個三角形的三邊長，那么，實數m的取值范圍是A. 0 A. 0 m 13 m 143 m B .不解方程，求-+ 3p 2的值.st + 4 s +1【例4】 設實數s, t分別滿足19s2 + 99s +1 = 0,12 + 991 +19 = 0并且st 1,求的值.tb 1 a 1【例5】 若實數a, b滿足a2 + 5 = 8a , b2 + 5

3、 = 8b，求代數式+ 的值；a 1 b 13 x + 2 y + z - a(2)關于x, y,z的方程組|有實數解(x, y, z)，求正實數a的最小值；xy + 2 yz + 3 zx - 6(3)已知x, y 均為實數，且滿足xy + x + y -17，x2y + xy2 - 66，求x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 的值.【例6】a,b,c為實數，ac 0，且：2a + 1的一切實數6.設6.設xx2是關于x的一元二次方程x2 + x + n 2 = mx的兩個實數根 )且 x 0, x 3x 0)的兩根之差為1,那么p等于()A. 2B. 4C. b ,且方程

4、3 x2 + 3( a + b) x + 4 ab = 0的兩個根a, P滿足關系式a(a +1) +P (P +1) = (a+ 1)(P +1) .試求所有整數點對(a, b).若方程x2 + 3x +1 = 0的兩根a,p也是方程x6 - px2 + q = 0的兩根，其中p, q均為整數，求p, q的值.11.設a, b是方程x2 - 3 x +1 = 0的兩根，d是方程X 2 4 x + 2 = 0的兩根，a b c d+ - += M . b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c求證:(1)a 2b 2c 2d 2+b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c(2)a 3b 3c 3d 3+b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c=49M - 68 .12.設m是不小于-1的實數，使得關于x的一元二次方程x2 + 2(m - 2)x + m2 - 3m +1 = 0有兩個不相等實數根5, x2.(1)若 x 2 + x 2 = 6，求 m 的值； 12mx 2 mx 2(2)求+”的最大值.1 - x 1 - x13