高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案4．2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式》(含詳解)

1、42同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個(gè)等式：_；_(2)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：根據(jù)一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡(jiǎn)同角的三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)eq f(3,2)2(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指eq f(,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍

2、，則函數(shù)名稱_“符號(hào)看象限”是把當(dāng)成_時(shí)，原三角函數(shù)式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此時(shí)把120當(dāng)成了銳角來(lái)處理“原三角函數(shù)”是指等號(hào)左邊的函數(shù)(3)誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為_三角函數(shù)，因此常用于化簡(jiǎn)和求值，其一般步驟是：eq x(aal(任意負(fù)角的,三角函數(shù))eq o(,sup7(去負(fù)（化負(fù)角為正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函數(shù))eq o(,sup7(脫周),sdo5(脫去k360)eq x(aal(0到360的,三角函數(shù))eq o(,sup7(化銳),sdo5(（把角化為銳角 ）)eq x(銳角三角函數(shù))

3、3sincos，sincos，sincos三者之間的關(guān)系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自糾：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossinsincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不變銳角象限(3)銳角3(1)1sin2(2)1sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且為第四象限角，則 tan ()A.eq f(12,5)

4、Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因?yàn)閟ineq f(5,13)，且為第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故選D. (eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知sincoseq f(4,3)，則sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9) D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故選A. ( ()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（

5、2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故選A. (eq avs4al(2018蘭州一診)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(201

6、7鄭州質(zhì)檢)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，則eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值為_解：因?yàn)閏oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin2cos，則sin2cos，代入sin2cos21，得cos2eq f(1,5).所以eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5

7、,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)eq f(sin3cos,5sin3cos)eq f(8cos3cos,7cos)eq f(8,7)cos2eq f(1,7)eq f(3,35).故填eq f(3,35).類型一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值 (1)(eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan2，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由tan2得sin2cos.又sin2cos21，所以cos2eq f(1,5).因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(

8、0，f(,2)，所以coseq f(r(5),5)，sineq f(2r(5),5).因?yàn)閏oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coscoseq f(,4)sinsineq f(,4)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(2r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(3r(10),10).故填eq f(3r(10),10).(2)(eq avs4al(2018河南漯河統(tǒng)考)若點(diǎn)P(cos，sin)在直線y2x上，則coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2) ()Aeq

9、f(4,5) B.eq f(4,5) Ceq f(3,5) D.eq f(3,5)解：由題知sin2cos，sin2cos21，則4cos2cos21，所以cos2eq f(1,5).又coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin22sincos4cos2eq f(4,5).故選B.點(diǎn)撥：給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；另外可以變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的(1)設(shè)sineq f(,2)eq f(4,5)，且是第二象限角，則taneq f(,2)的值為_解：因?yàn)槭堑?/p>

10、二象限角，所以eq f(,2)是第一或第三象限角當(dāng)eq f(,2)是第一象限角時(shí)，有coseq f(,2)eq r(1sin2f(,2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)sup12(2)eq f(3,5)，所以taneq f(,2)eq f(sinf(,2),cosf(,2)eq f(4,3)；當(dāng)eq f(,2)是第三象限角時(shí)，與sineq f(,2)eq f(4,5)矛盾，舍去綜上，taneq f(,2)eq f(4,3).故填eq f(4,3).(2)已知sincoseq r(2)，(0，)，則tan_.解法一：由eq blc(avs4alco1(sincosr(

11、2)，,sin2cos21，) 得2cos22eq r(2)cos10，即(eq r(2)cos1)20，所以coseq f(r(2),2).又(0，)，所以eq f(3,4)，tantaneq f(3,4)1.解法二：因?yàn)閟incoseq r(2)，所以(sincos)22，得sin21.因?yàn)?0，)，所以2(0，2)，2eq f(3,2)，所以eq f(3,4)，tan1.故填1.類型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)(eq avs4al(2016全國(guó)卷)已知是第四象限角，且sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(

12、f(,4)_.解：由題意知，eq f(,4)是第一象限角，得coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4).所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)eq f(1,tanblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,3).故填eq f(4,3).(2)化簡(jiǎn)eq f(sin（2）cos（）cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(a

13、vs4alco1(f(11,2),cos（）sin（3）sin（）sinblc(rc)(avs4alco1(f(9,2)_.解：原式eq f(（sin）（cos）（sin）（sin）,（cos）sinsincos)tan.故填tan.點(diǎn)撥：應(yīng)用誘導(dǎo)公式要注意：三角式的化簡(jiǎn)通常先用誘導(dǎo)公式，將角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這可以避免交錯(cuò)使用公式時(shí)導(dǎo)致的混亂；在運(yùn)用公式時(shí)正確判斷符號(hào)至關(guān)重要；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值是三角函數(shù)中的基本問(wèn)題，也是高考常考的問(wèn)題，要予以重視；正確理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”可以提高解題效率(1)(eq avs4al(2017合肥一模)已知f(x)sinxcosx，則

14、下列結(jié)論成立的是 ()Af(x)sinxcosx Bf(x)sinxcosxCfeq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sinxcosx Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sinxcosx解：由f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)cosxsinx，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sineq b

15、lc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)cosxsinx.故選D.(2)(eq avs4al(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱若sineq f(1,3)，則cos()_.解：因?yàn)楹偷慕K邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以 2k，kZ，那么sinsineq f(1,3)，coscos，這樣cos()coscossinsin cos2sin22sin21eq f(7,9).故填eq f(7,9).類型三關(guān)于sin，cos的齊次式問(wèn)題已知eq f(tan,tan1)1，求下列各式的值(1)eq

16、f(sin3cos,sincos)；(2)sin2sincos2.解：由已知得taneq f(1,2).(1)eq f(sin3cos,sincos)eq f(tan3,tan1)eq f(5,3).(2)sin2sincos2eq f(sin2sincos,sin2cos2)2eq f(tan2tan,tan21)2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)f(1,2),blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)1)2eq f(13,5).點(diǎn)撥：形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分別稱為關(guān)于sin，cos的一次

17、齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以cos或cos2)求解如果分母為1，可考慮將1寫成sin2cos2.已知tanm的條件下，求解關(guān)于sin，cos的齊次式問(wèn)題，必須注意以下幾點(diǎn)：一定是關(guān)于sin，cos的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；因?yàn)閏os0，所以可以用cosn(nN*)除之，這樣可以將被求式化為關(guān)于tan的表達(dá)式，可整體代入tanm的值，從而完成被求式的求值運(yùn)算；注意1sin2cos2的運(yùn)用(eq avs4al(荊州2017屆質(zhì)量檢測(cè))已知tan(5x)2，則eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)_.解：tan(5x)2

18、，即tan(x)2，得tanx2.又因?yàn)?cos2eq f(x,2)1cosx，所以eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)eq f(cosxsinx,sinxcosx)eq f(1tanx,tanx1)3.故填3.1誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制都可表示，運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意函數(shù)名稱是否要改變以及正負(fù)號(hào)的選取2已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，這類問(wèn)題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，一般分為三種情況(1)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解(2)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位

19、置沒(méi)有給出，解答這類問(wèn)題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解(3)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，此類情況須對(duì)字母進(jìn)行討論，并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩組解3計(jì)算、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式常用技巧(1)減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及sin，cos的齊次分式問(wèn)題，常采用分子分母同除以cosn(nN*)，這樣可以將被求式化為關(guān)于tan的式子(2)巧用“1”進(jìn)行變形，如1sin2cos2 tan45等(3)平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取(4)熟悉sincos，sincos，sincos三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用(sin

20、cos)212sincos進(jìn)行和積轉(zhuǎn)換，可知一求二1(eq avs4al(福建四地六校2017屆月考)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，則sin2的值等于 ()Aeq f(24,25) B.eq f(24,25) Ceq f(12,25) D.eq f(12,25)解：由coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，得sineq f(4,5)，coseq f(3,5)，則sin22sincoseq f(24,25).故選A.2(eq avs4al(

21、2017寧波模擬)已知sineq f(m3,m5)，coseq f(42m,m5)，其中eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，則下列結(jié)論正確的是()Am5 B3m0，cos0.因?yàn)?sincos)212sincoseq f(7,4)，所以cossineq f(r(7),2).所以eq f(1tan,1tan)eq f(cossin,cossin)eq f(f(r(7),2),f(1,2)eq r(7).故選A.7已知是第三象限角，且sin2coseq f(2,5)，則sincos_.解：由平方關(guān)系得eq blc(rc)(avs4alco1(2cosf(2,5)eq sup12(

22、2)cos21，且cos0，解得coseq f(7,25)，從而sineq f(24,25)，故sincoseq f(31,25).故填eq f(31,25).8(eq avs4al(黃岡2017屆期末)已知函數(shù)ysin(x)2cos(x)(0)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則sin2_.解：yf(x)sin(x)2cos(x)eq r(5)sin(x)，其中sineq f(2,r(5)，coseq f(1,r(5)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，所以yf(1)eq r(5)，即eq f(,2)k，kZ，sin2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k)sin(22k)sin(2

23、)sin22sincos2eq f(2,r(5)eq f(1,r(5)eq f(4,5).故填eq f(4,5).9已知sin(3)eq f(1,3)，求值：.解：所以原式eq f(cos,cos（cos1）)eq f(cos,cos（cos）cos)eq f(1,1cos)eq f(1,1cos)eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)eq f(2,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)18.10(eq avs4al(2018吉林長(zhǎng)春月考)已知關(guān)于x的方程2x2(eq r(3)1)xm0的兩個(gè)根為sin和cos，(0，2)，求：(1)eq f(sin,1f

24、(1,tan)eq f(cos,1tan)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及的值解：(1)由已知得eq blc(avs4alco1(sincosf(r(3)1,2)，,sincosf(m,2)，)則eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)eq f(sin2,sincos)eq f(cos2,cossin)eq f(sin2cos2,sincos)sincoseq f(r(3)1,2).(2)將式兩邊平方得12sincoseq f(2r(3),2).所以sincoseq f(r(3),4).由式得eq f(m,2)eq f(r(3),4)，所以meq f(r(3),2

25、).(3)由(2)可知原方程變?yōu)?x2(eq r(3)1)xeq f(r(3),2)0，解得x1eq f(r(3),2)，x2eq f(1,2).所以eq blc(avs4alco1(sinf(r(3),2)，,cosf(1,2)或eq blc(avs4alco1(cosf(r(3),2)，,sinf(1,2).)又(0，2)，所以eq f(,3)或eq f(,6).11(1)已知tan3，求eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2的值；(2)已知eq f(1,tan1)1，求eq f(1,1sincos)的值解：(1)eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2eq f(

26、f(2,3)sin2f(1,4)cos2,sin2cos2)eq f(f(2,3)tan2f(1,4),tan21)eq f(f(2,3)32f(1,4),321)eq f(5,8).(2)由eq f(1,tan1)1得tan2，eq f(1,1sincos)eq f(sin2cos2,sin2cos2sincos)eq f(tan21,tan2tan1)eq f(221,2221)eq f(5,7). (eq avs4al(2018四川宜賓月考)是否存在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，(0，)，使等式sin(3) eq r(2)coseq blc(rc)(a

27、vs4alco1(f(,2)，eq r(3)cos()eq r(2)cos()同時(shí)成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：假設(shè)存在角，滿足條件，則由已知條件可得eq blc(avs4alco1(sinr(2)sin，,r(3)cosr(2)cos.)由22，得sin23cos22.所以sin2eq f(1,2)，所以sineq f(r(2),2).因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，所以eq f(,4).當(dāng)eq f(,4)時(shí)，由式知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此時(shí)式成立；當(dāng)eq f(,4)時(shí)，由式知coseq f

28、(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此時(shí)式不成立，故舍去所以存在eq f(,4)，eq f(,6)滿足條件42同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個(gè)等式：_；_(2)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：根據(jù)一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡(jiǎn)同角的三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)eq f(3,2)2(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中“奇變偶不變”中的奇、

29、偶分別是指eq f(,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱_“符號(hào)看象限”是把當(dāng)成_時(shí)，原三角函數(shù)式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此時(shí)把120當(dāng)成了銳角來(lái)處理“原三角函數(shù)”是指等號(hào)左邊的函數(shù)(3)誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為_三角函數(shù)，因此常用于化簡(jiǎn)和求值，其一般步驟是：eq x(aal(任意負(fù)角的,三角函數(shù))eq o(,sup7(去負(fù)（化負(fù)角為正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函數(shù))eq o(,sup7(脫周),sdo5(脫去k360)eq

30、 x(aal(0到360的,三角函數(shù))eq o(,sup7(化銳),sdo5(（把角化為銳角 ）)eq x(銳角三角函數(shù))3sincos，sincos，sincos三者之間的關(guān)系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自糾：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossinsincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不變銳角象限(3)銳角3(1)1sin2(2)1

31、sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且為第四象限角，則 tan ()A.eq f(12,5) Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因?yàn)閟ineq f(5,13)，且為第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故選D. (eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知sincoseq f(4,3)，則sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9) D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故選A. (

32、()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故選A. (eq avs4al(2018蘭州一診)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq

33、blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(2017鄭州質(zhì)檢)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，則eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值為_解：因?yàn)閏oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin2cos，則sin2cos，代入sin2cos2

34、1，得cos2eq f(1,5).所以eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)eq f(sin3cos,5sin3cos)eq f(8cos3cos,7cos)eq f(8,7)cos2eq f(1,7)eq f(3,35).故填eq f(3,35).類型一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值 (1)(eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan2，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由ta

35、n2得sin2cos.又sin2cos21，所以cos2eq f(1,5).因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以coseq f(r(5),5)，sineq f(2r(5),5).因?yàn)閏oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coscoseq f(,4)sinsineq f(,4)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(2r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(3r(10),10).故填eq f(3r(10),10).(2)(eq avs4al(2018河南漯河

36、統(tǒng)考)若點(diǎn)P(cos，sin)在直線y2x上，則coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2) ()Aeq f(4,5) B.eq f(4,5) Ceq f(3,5) D.eq f(3,5)解：由題知sin2cos，sin2cos21，則4cos2cos21，所以cos2eq f(1,5).又coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin22sincos4cos2eq f(4,5).故選B.點(diǎn)撥：給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；另外可以變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)

37、到解題的目的(1)設(shè)sineq f(,2)eq f(4,5)，且是第二象限角，則taneq f(,2)的值為_解：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以eq f(,2)是第一或第三象限角當(dāng)eq f(,2)是第一象限角時(shí)，有coseq f(,2)eq r(1sin2f(,2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)sup12(2)eq f(3,5)，所以taneq f(,2)eq f(sinf(,2),cosf(,2)eq f(4,3)；當(dāng)eq f(,2)是第三象限角時(shí)，與sineq f(,2)eq f(4,5)矛盾，舍去綜上，taneq f(,2)eq f(4,3).故填eq f(4,3)

38、.(2)已知sincoseq r(2)，(0，)，則tan_.解法一：由eq blc(avs4alco1(sincosr(2)，,sin2cos21，) 得2cos22eq r(2)cos10，即(eq r(2)cos1)20，所以coseq f(r(2),2).又(0，)，所以eq f(3,4)，tantaneq f(3,4)1.解法二：因?yàn)閟incoseq r(2)，所以(sincos)22，得sin21.因?yàn)?0，)，所以2(0，2)，2eq f(3,2)，所以eq f(3,4)，tan1.故填1.類型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用(1)(eq avs4al(2016全國(guó)卷)已知是第四象限角，且sin

39、eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，則taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由題意知，eq f(,4)是第一象限角，得coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4).所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)eq f(1,tanblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,3).故填eq f(4,3

40、).(2)化簡(jiǎn)eq f(sin（2）cos（）cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(11,2),cos（）sin（3）sin（）sinblc(rc)(avs4alco1(f(9,2)_.解：原式eq f(（sin）（cos）（sin）（sin）,（cos）sinsincos)tan.故填tan.點(diǎn)撥：應(yīng)用誘導(dǎo)公式要注意：三角式的化簡(jiǎn)通常先用誘導(dǎo)公式，將角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這可以避免交錯(cuò)使用公式時(shí)導(dǎo)致的混亂；在運(yùn)用公式時(shí)正確判斷符號(hào)至關(guān)重要；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值是三角函數(shù)中的基本問(wèn)題，也是高考?？嫉膯?wèn)題，要予以重視；正確理

41、解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”可以提高解題效率(1)(eq avs4al(2017合肥一模)已知f(x)sinxcosx，則下列結(jié)論成立的是 ()Af(x)sinxcosx Bf(x)sinxcosxCfeq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sinxcosx Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sinxcosx解：由f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)coseq blc(rc)(

42、avs4alco1(xf(,2)cosxsinx，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)cosxsinx.故選D.(2)(eq avs4al(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱若sineq f(1,3)，則cos()_.解：因?yàn)楹偷慕K邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以 2k，kZ，那么sinsineq f(1,3)，coscos，這樣cos()coscossinsin cos2sin22sin21eq f(7,9).

43、故填eq f(7,9).類型三關(guān)于sin，cos的齊次式問(wèn)題已知eq f(tan,tan1)1，求下列各式的值(1)eq f(sin3cos,sincos)；(2)sin2sincos2.解：由已知得taneq f(1,2).(1)eq f(sin3cos,sincos)eq f(tan3,tan1)eq f(5,3).(2)sin2sincos2eq f(sin2sincos,sin2cos2)2eq f(tan2tan,tan21)2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)f(1,2),blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)1)2

44、eq f(13,5).點(diǎn)撥：形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分別稱為關(guān)于sin，cos的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以cos或cos2)求解如果分母為1，可考慮將1寫成sin2cos2.已知tanm的條件下，求解關(guān)于sin，cos的齊次式問(wèn)題，必須注意以下幾點(diǎn)：一定是關(guān)于sin，cos的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；因?yàn)閏os0，所以可以用cosn(nN*)除之，這樣可以將被求式化為關(guān)于tan的表達(dá)式，可整體代入tanm的值，從而完成被求式的求值運(yùn)算；注意1sin2cos2的運(yùn)用(eq avs4al(荊州2017

45、屆質(zhì)量檢測(cè))已知tan(5x)2，則eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)_.解：tan(5x)2，即tan(x)2，得tanx2.又因?yàn)?cos2eq f(x,2)1cosx，所以eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)eq f(cosxsinx,sinxcosx)eq f(1tanx,tanx1)3.故填3.1誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制都可表示，運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意函數(shù)名稱是否要改變以及正負(fù)號(hào)的選取2已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，這類問(wèn)題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，一般分為三種情況(1)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的

46、象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解(2)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置沒(méi)有給出，解答這類問(wèn)題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解(3)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，此類情況須對(duì)字母進(jìn)行討論，并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩組解3計(jì)算、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式常用技巧(1)減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及sin，cos的齊次分式問(wèn)題，常采用分子分母同除以cosn(nN*)，這樣可以將被求式化為關(guān)于tan的式子(2)巧用“1”進(jìn)行變形，如1sin2cos2 tan45等(3)

47、平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取(4)熟悉sincos，sincos，sincos三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用(sincos)212sincos進(jìn)行和積轉(zhuǎn)換，可知一求二1(eq avs4al(福建四地六校2017屆月考)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，則sin2的值等于 ()Aeq f(24,25) B.eq f(24,25) Ceq f(12,25) D.eq f(12,25)解：由coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，得sineq

48、 f(4,5)，coseq f(3,5)，則sin22sincoseq f(24,25).故選A.2(eq avs4al(2017寧波模擬)已知sineq f(m3,m5)，coseq f(42m,m5)，其中eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，則下列結(jié)論正確的是()Am5 B3m0，cos0.因?yàn)?sincos)212sincoseq f(7,4)，所以cossineq f(r(7),2).所以eq f(1tan,1tan)eq f(cossin,cossin)eq f(f(r(7),2),f(1,2)eq r(7).故選A.7已知是第三象限角，且sin2coseq f(2

49、,5)，則sincos_.解：由平方關(guān)系得eq blc(rc)(avs4alco1(2cosf(2,5)eq sup12(2)cos21，且cos0，解得coseq f(7,25)，從而sineq f(24,25)，故sincoseq f(31,25).故填eq f(31,25).8(eq avs4al(黃岡2017屆期末)已知函數(shù)ysin(x)2cos(x)(0)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則sin2_.解：yf(x)sin(x)2cos(x)eq r(5)sin(x)，其中sineq f(2,r(5)，coseq f(1,r(5)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，所以yf(1)eq r(5)，即e

50、q f(,2)k，kZ，sin2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k)sin(22k)sin(2)sin22sincos2eq f(2,r(5)eq f(1,r(5)eq f(4,5).故填eq f(4,5).9已知sin(3)eq f(1,3)，求值：.解：所以原式eq f(cos,cos（cos1）)eq f(cos,cos（cos）cos)eq f(1,1cos)eq f(1,1cos)eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)eq f(2,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)18.10(eq avs4al(2018吉林長(zhǎng)春月

51、考)已知關(guān)于x的方程2x2(eq r(3)1)xm0的兩個(gè)根為sin和cos，(0，2)，求：(1)eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及的值解：(1)由已知得eq blc(avs4alco1(sincosf(r(3)1,2)，,sincosf(m,2)，)則eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)eq f(sin2,sincos)eq f(cos2,cossin)eq f(sin2cos2,sincos)sincoseq f(r(3)1,2).(2)將式兩邊平方得12sincoseq f(2r(3),2)

52、.所以sincoseq f(r(3),4).由式得eq f(m,2)eq f(r(3),4)，所以meq f(r(3),2).(3)由(2)可知原方程變?yōu)?x2(eq r(3)1)xeq f(r(3),2)0，解得x1eq f(r(3),2)，x2eq f(1,2).所以eq blc(avs4alco1(sinf(r(3),2)，,cosf(1,2)或eq blc(avs4alco1(cosf(r(3),2)，,sinf(1,2).)又(0，2)，所以eq f(,3)或eq f(,6).11(1)已知tan3，求eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2的值；(2)已知eq f(1,

53、tan1)1，求eq f(1,1sincos)的值解：(1)eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2eq f(f(2,3)sin2f(1,4)cos2,sin2cos2)eq f(f(2,3)tan2f(1,4),tan21)eq f(f(2,3)32f(1,4),321)eq f(5,8).(2)由eq f(1,tan1)1得tan2，eq f(1,1sincos)eq f(sin2cos2,sin2cos2sincos)eq f(tan21,tan2tan1)eq f(221,2221)eq f(5,7). (eq avs4al(2018四川宜賓月考)是否存在eq blc(rc

54、)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，(0，)，使等式sin(3) eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，eq r(3)cos()eq r(2)cos()同時(shí)成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：假設(shè)存在角，滿足條件，則由已知條件可得eq blc(avs4alco1(sinr(2)sin，,r(3)cosr(2)cos.)由22，得sin23cos22.所以sin2eq f(1,2)，所以sineq f(r(2),2).因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，所以eq f(,4).當(dāng)eq f(,4)時(shí)，由式

55、知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此時(shí)式成立；當(dāng)eq f(,4)時(shí)，由式知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此時(shí)式不成立，故舍去所以存在eq f(,4)，eq f(,6)滿足條件42同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個(gè)等式：_；_(2)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：根據(jù)一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡(jiǎn)同角的三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,

56、2)eq f(3,2)2(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指eq f(,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱_“符號(hào)看象限”是把當(dāng)成_時(shí)，原三角函數(shù)式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此時(shí)把120當(dāng)成了銳角來(lái)處理“原三角函數(shù)”是指等號(hào)左邊的函數(shù)(3)誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為_三角函數(shù)，因此常用于化簡(jiǎn)和求值，其一般步驟是：eq x(aal(任意負(fù)角的,三角函數(shù))eq o(,sup7

57、(去負(fù)（化負(fù)角為正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函數(shù))eq o(,sup7(脫周),sdo5(脫去k360)eq x(aal(0到360的,三角函數(shù))eq o(,sup7(化銳),sdo5(（把角化為銳角 ）)eq x(銳角三角函數(shù))3sincos，sincos，sincos三者之間的關(guān)系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自糾：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函數(shù)sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossin

58、sincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不變銳角象限(3)銳角3(1)1sin2(2)1sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且為第四象限角，則 tan ()A.eq f(12,5) Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因?yàn)閟ineq f(5,13)，且為第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故選D. (eq avs4al(2017全國(guó)卷)已知sincoseq f(4,3)，則sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9)

59、 D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故選A. ( ()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故選A. (eq avs4al(2018蘭州一診)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(

60、f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(2017鄭州質(zhì)檢)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，則eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值為_解：因?yàn)閏oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2